[理学]群论群论基础

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

《群论基础》习题

《群论基础》习题 1．讨论以下集合是否构成群： （1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法； （2）1的任何次根（n k i n e π 21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法； （3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法； （4）m ?n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）； 2．回答问题： （1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。 （2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。 （3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。 （4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？ （5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有 何特点？ 3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？ (1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i (5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i 4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于 哪一个点群。 5．确定以下分子所属点群： （1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇 （3）8-羟基喹啉 （4）肼 （5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯 （7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°） （8）环戊二烯 （9）环丁烷 （10）六氯乙烷 （11）丁二烯 6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。 7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。 8．利用C 2h 的特征标表说明： （1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。 （2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。 9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。 11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示： A 1g ? B 1g A 1u ? A 1u B 2u ? E 1g E 1g ? E 2u E 1g ? B 2g A 2u ? E 1u 12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。（D 2点群）

北师大 结构化学 第4章 分子对称性和群论

北师大 结构化学 课后习题 第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ?C 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ??(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?()010001h xy σ=- 则 21 00100100???()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=--

学习群论后的体会

学习群论后的体会 群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用。这门课的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。这门课主要介绍了群论的基本理论及某些应用。主要内容有：首先介绍群、子群、群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作详细讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理，从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用。 利用群的子群研究群的性质与结构是群论研究的一个常用方法.正规子群是群论中的一个核心概念,它在群论研究中起着极其重要的作用,它的重要性在于由它及群G本身可得到阶比|G|小且与G的运算密切相关的一个新的群。 群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要

的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构。在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。另外，群的自同构和自同态也是研究群的重要手段。 群在集合上的作用及群作用是研究有限群的一个有效工具，其中有Sylow定理的证明使用的是群在集合上的作用这一有效工具来证明的，Sylow定理是有限群研究的基石，不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质，还提供了群的算术性质和结构性质之间的精巧联系,它是有限群最基本的结果之一。Sylow定理在有限群的单性、可解性、幂零性等许多方面都有着广泛的应用。因而Sylow定理作为研究群论特别是有限群的重要工具,因此对Sylow定理的深刻理解对从事有限群论的研究有着重要的意义。 群论思想的产生和发展对数学产生的重大的影响,群论也是关于运算及运算规则的研究,但它是关于一般的元素集合上的运算和运算规则的研究,使得新的数学对像如矩阵,变换等的运算有了理论依据,从而把数学理论抽象到新的层次.

群论的发展历史及基础知识

第一章群论的发展历史及基础知识 1.1群论的发展历史 早在古巴比伦时期，人们就能用根式求解一元二次方程的解，并随着时间的推移，可以对一些特殊的一元三次方程做出求解，但是一直无法找出一般的解法。直到十六世纪初，意大利人才解决了一元三次方程的一般解法。然后意大利人似乎不满足于一元三次方程，也是在十六世纪初，意大利人费尔拉里又求解出一元四次方程的根是由系数的函数开四次方所得。 1770年前后，法国数学家拉格朗日提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，虽然他一度认为四次以上代数方程不可能有根式解，但是其思维方法和研究根的置换方法给后人以启发，相继的，鲁菲尼和高斯在一元n次方程的一般解做出研究。 随着时间的推移，1824年到1826年期间，挪威数学家阿贝尔着手考察可用根式求解的方程具有何种共性，并且严格证明了，如果一个方程可以用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理证明了著名的阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数的求解。并且解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，这类方程后来被称为阿贝尔方程。 虽然阿贝尔解决了构造任意次数可解的问题的方法，但是却没能给出已知方程是否可以用根式求解的问题。 这时，群的发明者伽罗华继承阿贝尔的事业，然而这位英年早逝的才子只是在他死后留下的遗书中为以后的数学发展做出贡献。在他的遗书中，他提出了群的概念，用群的方法彻底解决了根式求解方程的问题，并且发展出一套关于群和域的理论。正是这套理论为此后的数学发展提供了重要的工具——群论，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。 伴随着群论的发展，作为其他学科重要工具的数学，自然而然的群论成为其他学科，包括物理、化学、生物等学科，重要的研究工具，并且为这些学科的发展起到了不可磨灭的推动作用。 1.2 群论基础 群的定义：设G是一个非空集合，如果再G上定义一个代数运算，成为乘