2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质

【典型例题】

[例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱

AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP

.

?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,

AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC

.

?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：

①B,C,H,G四点共面；

②平面EF A1∥平面BCHG .

?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：

①EG∥平面BB1D1D；

②平面BDF∥平面B1D1H

.

【变式训练】

1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1

的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.

2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外

一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平

面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH

.

3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱

A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1

相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1

.

4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E

在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝

1,H是B1C1的中点.

(1)求证：E,B,F,D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .

题型2：直线、平面垂直的判断及性质

【典型例题】

[例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点.

证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE

.

?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面

P AD ,AB ∥CD ,PD ＝AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF

＝12AB ,PH 为△P AD 中AD 边上的高.

①证明：PH ⊥平面ABCD ； ②证明：EF ⊥平面P AB .

[例2]?(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB ＝BC ＝BD ＝2,

∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.

(I)求证：EF ⊥平面BCG ； (II)求三棱锥D -BCG 的体积

.

?(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝1

2AA 1,D 是棱AA 1的中点. (I)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；

(II)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

?(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD ＝DC ＝BC ＝1,AB ＝2,AB ∥DC ,∠BCD ＝90°. ①求证：PC ⊥BC ；

②求点A 到平面PBC 的距离.

【变式训练】

1.如图,四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E

在线段AD 上,且CE ∥AB .

(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A =AB =1,AD =3,CD =2,∠CDA =45°,求四棱锥P -ABCD 的体积.

2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A - BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；

(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.

3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ＝PB ＝AB ＝BC ,∠PBC ＝90°,D 为AC 的中点,AB ⊥PD . (1)求证：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)如果三棱锥P -BCD 的体积为3,求P A .

4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,B 1C 的中点为O ,且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；

(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,BC ＝1,求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高.

☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合

【典型例题】

[例1]?(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的

平面,下列命题中真命题是(写出序号).

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,则α∥β；

②若l?α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；

③若α∥β,l∥α,则l∥β；

④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.

?(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n?α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

?(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a?α,a?β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()

A.相交或平行

B.相交或异面

C.平行或异面

D.相交、平行或异面

?(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则()

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

?(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m?α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相

等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]?(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱

垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为

A1C1,BC的中点.

(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(II)求证：C1F∥平面ABE；

(III)求三棱锥E-ABC的体积

.

?(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；

(II)平面BDE⊥平面ABC.

[例3]?(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四

面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

(I)求四面体ABCD的体积；

(II)证明：四边形EFGH是矩形

.

?(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

(I)求证：DE∥平面A1CB；

(II)求证：A1F⊥BE；

(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

【变式训练】

1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a?α,b?β,α∩β＝c.给出下列命题：

①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；

②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；

③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

2.(2012·四川)下列命题正确的是()

A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行

C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()

A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α

B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α

C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α

D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α

5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()

A.若a ∥α,b ∥α,则a ∥b

B.若a ∥α,b ⊥a ,则b ⊥α

C.若a ?α,b ?α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥α

D.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件

B.当m ?α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C.当m ?α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件

D.当m ?α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )

A.m ∥l

B.m ∥n

C.n ⊥l

D.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,

CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；

(3)平面BEF ⊥平面PCD

.

9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC

＝1

2AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC

.

10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.

(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.

11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ；

(2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .

12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝3

4,求A

到平面PBC 的距离.

13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知

AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.

14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；

(3)求点C 到平面PDA 的距离.

15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过

点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π

2,

AB =BC =1

2AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE

沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；

(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．

17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′

(2)若AB =5,AC =6,AE =5

4,OD ′=22,求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．

18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面

ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．

19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的

体积为83,求该四棱锥的侧面积.

20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为

等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =1

2AD , ∠BAD =∠ABC =90°.

(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;

(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.

21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )

A.A 1E ⊥DC 1

B.A 1E ⊥BD

C.A 1E ⊥BC 1

D.A 1E ⊥AC

22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .

(1)证明：AC ⊥BD ；

(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

立体几何证明方法汇总

G P A B C D F E A B C D E F ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形 ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平 面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中 点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别 是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： //1O C 面11AB D ． ③比例关系 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．

最新空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招

2018年高考数学压轴 题突破140之立体几何五种动态问题和解题 绝招 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招中高考数学名师张芙华2018-01-29 06:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题

【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。 类型二立体几何中动态问题中的距离问题

空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面 ←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→? 线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面???ααα a b α 线面平行的性质： αααβαβ∥面，面，∥?=? b a b 三垂线定理（及逆定理）： PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥?? α a P O 线面垂直： a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥?=?αα a O α b c 面面垂直： a a ⊥面，面⊥αββα??

a a a l l =?? 面⊥面，，，⊥⊥ αβαβαβ αa l β ⊥面，⊥面∥ αα? a b a b a a? 面⊥，面⊥∥ αβαβ a b α 定理： 1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。 2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。 推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； b.经过两相交直线，有且只有一个平面； c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 作用：a.判定两个不重合平面是否相交； b.判断点在直线上。 4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。

5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6.（直线与平面平行的判定定理） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。 条件：a.一条直线在平面外； b.一条直线在平面内； c..这两条直线互相平行。 7.（平面与平面平行的判定定理） 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 条件：a.两条相交直线； b.相交直线在一个平面内； c.对应平行。 8.（直线与平面平行的性质定理） 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 条件：a.一条直线与一个平面平行； b.过这条直线的任一个平面与此平面相交； c.交线与直线平行。 9.（平面与平面平行的性质定理） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3 b.平面1与3相交，平面2与3相交 c.交线平行

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直） 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高一数学常考立体几何证明题及答案

高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F

求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行

答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

空间立体几何点线面判断与证明

常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系 相交关系 独有关系 (1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α (2)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面； 对于选项C，还可以是n?α； 对于选项D，还可以是n∥α或n?α或n与α相交． (2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线， ∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C. 【答案】(1)B(2)C 【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利

用正方体(或长方体)模型辅助空间想象． 解决空间位置关系问题的方法 (1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决． (2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题． 考向2 异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈? ? ???0，π2. 2．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． (2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面． (1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则 异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.3 6 C.13 D.33 (2)如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两

【新课标】备战高考数学专题复习测试题_立体几何(文科)

高考第一轮复习专题素质测试题 立体几何（文科） 班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚） 一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（10全国Ⅱ）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱 AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 2.（09福建）设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线， 则//αβ的一个充分而不必要条件是（ ） A. 1////m l βα且 B. 12////m l l 且n C. ////m n ββ且 D. 2////m n l β且 3.（08四川）直线l α?平面，经过α外一点A 与l α、都成30?角的直线有且只有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.（08宁夏）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5.（10湖北）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ； ④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .其中真命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 6．（10新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为（ ） A.3πa 2 B.6πa 2 C.12πa 2 D. 24πa 2 7．（08全国Ⅱ）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥的体积

立体几何证明方法大全

（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行

两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。

公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

2018高考数学立体几何含答案(最新整理)

5 ??n ? ? 2018 高考数学立体几何答案 1.（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC ，D ，E ，F ，G 分别为 AA 1 ，AC ， A 1C 1 ， BB 1 的中点，AB=BC = ，AC = AA 1 =2． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面 BEF ； （Ⅱ）求二面角 B?CD ?C 1 的余弦值； （Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交． 【解析】（1）在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， Q CC 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴ 四边形 A 1 ACC 1 为矩形．又 E ， F 分别为 AC ， A 1C 1 的中点， ∴ AC ⊥ EF ， Q AB = BC ，∴ AC ⊥ BE ， ∴ AC ⊥ 平面 BEF ． （2）由（1）知 AC ⊥ EF ， AC ⊥ BE ， EF ∥CC 1 ． 又CC 1 ⊥ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ 平面 ABC ． Q BE ? 平面 ABC ，∴ EF ⊥ BE ． 如图建立空间直角坐称系 E - xyz ． 由题意得 B (0, 2, 0) ， C (-1, 0, 0) ， D (1, 0,1) ， F (0, 0, 2) ， G (0, 2,1) ， ∴CD =(2, 0,1) ， CB =(1, 2, 0) ，设平面 BCD 的法向量为 n = (a , b , c ) ， u u u r CD = 0 ∴? uur n ? ，∴?2a + c = 0 ， a + 2b = 0 ? ? CB = 0 ? 令 a = 2 ，则b = -1 ， c = -4 ，∴ 平面 BCD 的法向量 n = (2, - 1，, - 4) ，