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第十六章 偏导数与全微分

第十六章 偏导数与全微分

§1偏导数与全微分概念

这部分要掌握的

1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义;

2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系;

二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切勿混淆。考虑函数),(y x f 在),(00y x 点的情形,则它们分别为:

),(y x f 在点),(00y x 连续定义为: ),(),(lim 000

0y x f y x f y y x x =→→

),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为:

00000)

,(),(lim

),(0

x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000

00000),(),(lim

),(0

y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ?-?+=→)

,(),(lim ),(0000000

),(y x f 在点),(00y x 可微定义为:

0),(),(),(),(lim

2

2

000000000

=?+??-?--?+?+→?→?y

x y

y x f x y x f y x f y y x x f y x y x

因此,要讨论),(y x f 点),(00y x 的可微性,首先要求),(00y x f x ,),(00y x f y 。这三个概念之间的关系可以用下图表示(在),(00y x 点)

第十六章 偏导数与全微分

在上述关系中,反方向均不成立。下面以)0,0(),(00=y x 点为例,逐一讨论。

4?2 ,4?3 例1:??

???=+≠++=0 ,00 ,),(22222

2y x y x y x xy

y x f

这是教材中的典型例题,0)0,0()0,0(==y x f f 均存在,但),(y x f 在)0,0(点不可微,且

),(lim 0

y x f y x →→不存在,即),(y x f 在)0,0(点不连续。

3?4 ,3?2例2:22),(y x y x f +=

,这是上半圆锥,显然在)0,0(点连续,

)0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→

但 ??

?<->===-0

,10

,1||)0,0()0,(2x x x x x x x f x f 故)0,0(x f 不存在。由y x ,的对称性,)0,0(y f 不存在。从而,),(y x f 在)0,0(点不可微(否则,)0,0(x f ,)0,0(y f 均存在)

。 2?1 例3:??

???=+≠+++=0 ,00 ,1sin )(),(22222

22

2y x y x y x y x y x f

01

sin

lim )

0,0()0,(lim

)0,0(2200

==-=→→x

x x x

f x f f x x x ,

由y x ,的对称性,0)0,0(=y f 。

2

2

)0,0()0,0()0,0(),(y

x y

f x f f y x f y x +---

01

sin

1sin )(2

2222

22

222→++=+++=

y

x y x y x y x y x (00→→y x ) 故),(y x f 在)0,0(点可微。且=)0,0(df +dx f x )0,0(0)0,0(=dy f y

??

???=+≠+++-+=0 ,00 ,1cos 21sin 2),(222

22

22222y x y x y x y x x y x x y x f x

取点列),(n n n y x P ,π

n x n 21=

,0=n y ,显然))(0,0(),(∞→→n y x P n n n

)(2cos 22),(∞→-∞→-=n n n y x f n n x ππ

故),(lim 0

y x f x y x →→不存在,从而),(y x f x 在)0,0(点不连续。由y x ,的对称性,),(y x f y 在)0,0(点

也不连续。

对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微?可导。但对二元函数,可微与偏导存在

并不等价,即:可微?偏导存在,反之未必。应特别引起注意。

§2 复合函数与隐函数微分法

求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用链式法则。 例1 设c c

r

t g r v ),(1-=

为常数,函数g 二阶可导,222z y x r ++=,证明 2

222222221t v

c z v y v x v ??=

??+??+?? 证 变量之间的关系为 ??????????

??t z

y

x r v 注意这里g 是某变量u 的一元函数,而c r t u -=。

因为 x r r v x v ????=??, 2222222)(x r r v x

r r v x v ????+????=?? 由z y x ,,的对称性得 2

222222)(y r

r v y r r v y v ????+????=??, 2222222)(z r r v z r r v z v ????+????=?? 而 r x x r =??, 2

22r

x r

x

r x r ??-=??32222r x r r r x r -=-=, 由z y x ,,的对称性得 r y y r =??, =??22y

r 32

2r y r -, r z z r =??, =??22z

r 32

2r z r -。 于是 ][])()()[(2222222222222222

2z

r

y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v ??+??+????+??+??+????=??+??+?? 3

2

2222223])()()[(r

r r r v r z r y r x r v -??+++??= r r v r

v 2

22??+??=

又因为

)(1)(12c

r

t g cr c r t g r r v -'---=?? )(1)(2)(2223

22c r

t g r c c r t g cr c r t g r r v -''+-'+-=??

)(1c r t g r t v -'=??, )(122c r t g r t

v -''=?? 故 r r v r

v 22

2??+??)(12c r t g r c -''=2221t v

c ??=。 注1 在求22x

v ??时,要特别注意r v ??的函数关系仍然是???

???????

????t z y

x

r r v

注2 在求

r v ??时,注意正确使用导数符号)(c r t g -',不要写成

g

v ??)

(c

r

t g -??,也不要写成

)

(c

r

t g -??或

r g ??。事实上,

=??r

g )(1c r

t g c -'-。 注3 上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是222222z

v

y v x v ??+??+??,函数v 作为自变量

z y x ,,的函数,是由中间变量222z y x r ++=

复合而成,利用

1)()()(222=??+??+??z r y r x r , r z

r y r x r 2

222222=??+??+?? 我们得到了 222222z v y v x v ??+

??+??r

r v r v 2

22??+??= 这样把求v 对自变量z y x ,,的偏导数转化为对中间变量r 的偏导数,从而使计算简单了。试比较

直接求222222z

v

y v x v ??+??+??的情形。

x r c r t g cr x r c r t g r x v ??-'-??--=??)(1)(12)()(23c

r t g cr x c r t g r x -'---= )()(3)(1343

22c r

t g x r cr x c r t g x r r x c r t g r x v -'??+-??+--=??

)()(2)(12

232c r t g x r r c x c r t g x r cr x c r t g cr

-''??+-'??+-'-

)(]31[523c r t g r x r -+-=)()(]31[322422c r

t g r c x c r t g cr

x cr -''+-'+-+

由z y x ,,的对称性得

2

2y

v

??)(]31[523c r t g r y r -+-=)()(]31[322422c r t g r c y c r t g cr y cr -''+-'+-+ 22z v ??)(]31[5

23c r t g r z r -+-=)()(]31[322422c r

t g r c z c r t g cr z cr -''+-'+-+ 则 22222

2z

v

y v x v ??+??+??)(12c r t g r c -''=2221t v c ??=。 例2 设),(y x u 的所有二阶偏导数都连续,

02222=??-??y

u

x u , x x x u =)2,(, 2)2,(x x x u x = 试求)2,(x x u xx ,)2,(x x u xy ,)2,(x x u yy 。 证 注意|2)2,(x y x x

u

x x u =??=

)2,(1x x u =,是),(y x u 对x 求偏导数之后,令x y 2=所得的函数,而不是)2,(x x u 作为x 的一元函数对x 的导函数。

在 x x x u =)2,(两边对x 求导,得 1)2,(2)2,(21=+x x u x x u 将 21)2,(x x x u =代入,得 221)2,(2x x x u -=

上式两边对x 求导,得 x x x u x x u -=+)2,(2)2,(2221 在2

1)2,(x x x u =两边对x 求导,得 x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=+

因为),(y x u 有连续的二阶偏导数,则)2,()2,(2112x x u x x u =,又已知0)2,()2,(2211=-x x u x x u ,将上两式联立解得

x x x u x x u 35)2,()2,(2112=

=, x x x u x x u 34

)2,()2,(2211-==。 即 x x x u x x u yx xy 35)2,()2,(==, x x x u x x u yy xx 3

4

)2,()2,(-==。

例3 若函数),,(z y x f 对任意正实数t 满足关系),,(),,(z y x f t tz ty tx f n

=,则称),,(z y x f 为n

次奇次函数。设),,(z y x f 可微,试证明),,(z y x f 为n 次齐次函数的充要条件是

),,(z y x nf z

f z y f y x f x

=??+??+?? 证 ""? 令 n

t

tz ty tx f t G )

,,()(=

,则

0)

,,()],,(),,(),,([)(1

321=-++=

'+n t tz ty tx nf t tz ty tx zf tz ty tx yf tz ty tx xf t G ,

故)(t G 与t 无关,从而),,()1()(z y x f G t G ==,即 ),,(),,(z y x f t tz ty tx f n =

""? 方程 ),,(),,(z y x f t tz ty tx f n = 两边分别对t z y x ,,,求导,得

),,(),,(1z y x f t tz ty tx tf x n =,

),,(),,(2z y x f t tz ty tx tf y n =, ),,(),,(3z y x f t tz ty tx tf z n =,

),,(1321z y x f nt zf yf xf n -=++, 将前面三式代入第四式即得

),,(z y x nf z

f z y f y x f x

=??+??+??。 或在上面四式中令1=t ,得

x f f =1,y f f =2,z f f =3,),,(321z y x nf zf yf xf =++

即 ),,(z y x nf z

f z y f y x f x =??+??+??。

变换微分方程 例4 设2y x u +=

,2

y x v -=,y ze w =,变换方程 z x z

y x z x

z =??+???+??22

2 (假设出现的导数都连续)。 解 这里既有自变量的变换2y x u +=

,2

y x v -=,也有函数的变换y ze w =。自变量由原来的y x ,变换为v u ,,函数由原来的z 变换为w 。为了把原来的函数),(y x z 变换为函数),(v u w w =,

可以把原来的函数),(y x z 视为如下的复合

y

we

z -=, ),(v u w w =, 2y x u +=

, 2

y

x v -=

即 ???????????????

???????y

y x v y x u w z

][21][v

w

u w e x v v w x u u w e x z y y ??+??=????+????=??-- ])([212222222x v v w x v x u v u w x u u w e x z y ????+??+?????+????=??-]2[4122222v w v u w u w e y ??+???+??=-

])([21222222y v

v w y v y u v u w y u u w e y x z y ????+??+?????+????=???-][

21v w u w e y ??+??-- ][412

222v w

u w e y ??-

??=-][21v w u w e y ??+??-- 故 =??+???+??x z y x z x

z 22

2z v u w

u w e y =???+??-][21222 即

w v

u w

u w 2222=???+?? 例5 设0),(=++z y z x F ,求yy xy xx z z z z d ,,,2

证 方程0),(=++z y z x F 确定了函数),(y x z ,在方程两边求微分,得

0)()(21=+++F dz dy F dz dx ? )(1

212

1dy F dx F F F dz ++-=

两边再求微分,得 +z d F 2

1)]()()[(1211dz dx F dz dy F dz dx ++++

++z d F 220)]()()[(2221=++++dz dy F dz dy F dz dx

解得 22212112222112

12

)2([1

dz F F F dy F dx F F F z d +++++-=

dz dx F F dy F F dxdy F ])()[(222111221212+++++

)2([12212112

2221121F F F dy F dx F F F +++++-=2

21221)

()(F F dy F dx F ++

]

)()[(222111221212dx F F dy F F dxdy F +++-+2

121F F dy

F dx F ++

22

212212112121211111121))

()2()(2[(1

dx F F F F F F F F F F F F F F ++++++-+-= +++++++-+222122121122212212222))()2()(2(dy F F F F F F F F F F F F

]))

()2()()((22

212

122121121211122212112dxdy F F F F F F F F F F F F F F F F ++++++++-

+ 故 ])()2()(2[1

2

212212112121211111121F F F F F F F F F F F F F F z xx ++++++-+-=

])

()2()(2[12

212212112221221222221F F F F F F F F F F F F F F z yy

++++++-+-= ])()2()()([2

2

2121221211212111222121121F F F F F F F F F F F F F F F F F F z xy ++++++++-+-=

§4 方向导数

对多元函数)(P f u =,前面曾讨论了它在某点),(00y x 的可微、偏导数、连续之间的关系。下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图

第十六章 偏导数与全微分

1?4 课本定理

3?5 由偏导数定义和方向导数定义即得。

4?3,5?3 例:函数2

2

y x z +=在)0,0(0P 点沿任意方向l

的方向导数存在,

10lim )()

(22220

0=+-+=??→y

x y x l P f ρ z

特别地,沿坐标轴正、负向的方向导数为

第十六章 偏导数与全微分

1||0||lim )()(00=?-?=±??→?x x i P f x , 1||0

||lim )

()(00=?-?=±??→?y y j P f x 。

y

x x x P f x ?-?=??→?0||lim )(00不存在。同理,y

P f ??)(0不存在。 从上面的讨论不难看出,关于3、5有以下结论:

x P f ??)(0,y P f ??)(0存在?

)()(0i P f ±??,)

()

(0j P f ±??存在,且 =??i P f )(0)()(0i P f -??-,=??j P f )(0)

()

(0j P f -??- 这时有

x P f ??)(0i P f ??=)(0,y P f ??)(0j

P f ??=

)

(0。

4?1 否则有4?3,与4?3矛盾

4?2 例: ??

?

??=+≠++=0 ,00 ,),(y x y x y x xy

y x f

k kx kx x x y x f x kx

x y x 1

)(lim ),(lim 22002

-=+-=→+-=→ 故),(y x f 在)0,0(0P 点不连续。但任意方向)sin ,(cos θθ=l ,当4

7,43π

πθ≠时, =

+=-→→)sin (cos sin cos lim )

0,0()sin ,cos (lim

2200

θθρθ

θρρ

θρθρρρf f θ

θθθsin cos sin cos +, 当47,43ππθ=

时, 00

0l i m )0,0()s i n ,c o s (l i m

00=-=-→→ρρ

θρθρρρf f , 即),(y x f 在)0,0(0P 点沿任意方向l

的方向导数都存在

?

?=≠+=??47,43

,047,43 ,sin cos sin cos ππθππθθθθ

θl

f

5?2 否则有4?2,与4?2矛盾。或否则与 3?2矛盾。 2?4 例: 设3

/122

)

(),(y x y x f +=,显然),(y x f 在)0,0(0P 点连续,但沿任意方向l

的方向导数不存在,事实上

6

/10

1

lim

)

0,0()sin ,cos (lim

ρρ

θρθρρρ→→=-f f 不存在。

3?4 例: 设?

?

?=≠=0 ,00 ,1),(xy xy y x f ,则0)

0,0()0,0(=??=??y f x f ,但

23,,2,0πππθ≠时, ρρ

θρθρρρ1

lim )0,0()sin ,cos (lim 00→→=-f f 不存在。

§5 Taylor 公式

Taylor 公式的几种形式

若函数),(y x f 在),(000y x P 点的某领域内有直到1+n 阶连续偏导数,则 (1)n k n

k R y x f y y x x k y y x x f y x f +???+???=

?+?+=∑=),()(!

1),(),(00000 其中 ),()()!1(1001y y x x f y

y x x n R n n ?+?+??

?+???+=

+θθ

(2)为方便,记y k x h ?=?=,,则

n k n

k R y x f y k x h k k y h x f y x f +??

+??=++=∑=),()(!

1),(),(00000

其中 ),()()!1(1001k y h x f y

k x h n R n n θθ++??

+??+=

+

(3) n k

n

k R y x f d k y y x x f y x f +=

?+?+=∑=),(!

1),(),(00000 其中 ),()!

1(1

001y y x x f d n R n n ?+?++=

+θθ

这是用微分表示的Taylor 公式,它与一元函数的Taylor 公式在形式上更为接近,由此也可以看到一元函数中)()

(x f

n 在二元函数的对应物是),()(y x df n 。

例1 设函数),(y x f 有直到n 阶连续偏导数,试证),()(kt b ht a f t u ++=的n 阶导数

),()()()

(kt b ht a f y

k x h

t u

n n ++??

+??=。

证 对n 用数学归纳法。1=n 时,显然 ),()()(kt b ht a f y

k x h

t u ++??

+??=' 设 ),()()()

(kt b ht a f y

k x h

t u

n n ++??

+??=,则 )],()[()()

1(kt b ht a f y

k x h dt d t u

n n ++??

+??=

+ ),(0kt b ht a f y

x k h C dt d i

n i n

n i i n i i n ++???=-=-∑ )],(),([11

110kt b ht a f y

x k kt b ht a f y x h k

h C i n i n i n i n n

i i

n i

i

n

++???+++???=+-+-++=-∑ ),(),(1

10

1

11111

1kt b ht a f y x k h C kt b ht a f y x k h C i n i n n

i i n i i n i n i n n i i n i

i n

++???+++???=+-+=+-+-++=+--∑∑),()(1

1

1

1

1

kt b ht a f y x k

h C C

i n i n n

i i n i i n

i n

++???+=+-+=+--∑

),(),(11

1111

kt b ht a f y

k kt b ht a f x h

n n n n n n ++??+++??+++++++ ),(1

1

10

1

1

kt b ht a f y

x k

h C i n i n n i i n i

i n ++???=+-++=+-+∑),()(1kt b ht a f y k x h n ++??+??=+ 例2 证明Taylor 公式的唯一性:若

)0(,0)(0

→=+∑=+ρρn n

j i j

i ij

y

x A

其中22y x +=

ρ,求证0=ij A j i ,(为非负整数,n j i ,,1,0 =+),并利用唯一性求

)1ln(),(y x y x f ++=带拉格朗日余项的n 阶Taylor 展开式。

证 对j i +用数学归纳法。在

0)(0

=+∑=+n n

j i j

i ij y

x A ρ 中令0→ρ即得000=A 。设

n k j i ≤<+时0=ij A ,则

0)(=+∑=+n n

k

j i j

i ij

y

x A ρ ,进而

0)(=+-=+∑k n n

k

j i k

j

i ij

y x A

ρρ 。

在上式中令0→ρ,因为1||

≤ρ

x

,1||

≤ρ

y

,故k j i >+时,

)0(0→→ρρ

k

j

i y x ,从而

)0(0)(1

→→+-+=+∑

ρρρk n n

k j i k

j

i ij y x A

而k j i =+时,k

j

i y x ρρ0

lim

→不存在,故必有0=ij A (k j i =+)。由数学归纳法即得证。

令t y x =+,由一元函数的Taylor 公式及上面Taylor 公式的唯一性得

∑∑=-=-++-=+-=+=++=n

k n k k n n

k k k R k y x R k t t y x y x f 1

11

1

)()1()

1()1ln()1ln(),( 其中 t t n n n t n t R θ=++++=|)]1[ln()!1()1(111

)

1(!)1()!1(1+++-+=n n n t t n n θ1

))(1(1)1(+++++-=n n y x y x n θ 问题1 不用Taylor 公式的唯一性,试求)1ln(

),(y x y x f ++=的Taylor 展开式。 令t y x =+,则 )0,0(f y

x i

n i n

-???0)(|)]1[ln(=+=t n t )!1()1(1--=-n n ,(1≥n ) 故 =++=)1

l n (),(y x y x f n k

n

k R f y y x x k +??+??∑=)0,0()(!

10 n i

k i k

i k i k i i k n

k R f y x y x C k +???=--==∑∑)0,0(!10

1 n k i k i k i i k n

k R k y x C k +--=--==∑∑)!1()1(!1100∑=-++-=n

k n k k R k y x 1

1)()1( 其中 ),()()!1(11y x f y

y x x n R n n θθ+??

+??+=

),()!1(1111101y x f y

x y x C n i

n i n i n i n i i n θθ-++-++=+???+=∑ )()1(110

1|)]1[ln()!1(1y x t n i n i n i i n t y x C n +=+-++=+++=∑θ 1

1

)())

(1(!)1()!1(1+++++-+=n n n y x y x n n θ1))(1(1)1(+++++-=n n y x y x n θ 显然,用Taylor 公式的唯一性,计算要简单得多。