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第十六章偏导数与全微分

§1偏导数与全微分概念

这部分要掌握的

1、连续、偏导数、可微三个概念的定义；

2、连续、偏导数、可微三个概念之间的关系；

二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数),(y x f 在),(00y x 点的情形，则它们分别为：

),(y x f 在点),(00y x 连续定义为： ),(),(lim 000

0y x f y x f y y x x =→→

),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：

00000)

,(),(lim

),(0

x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000

00000),(),(lim

),(0

y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ?-?+=→)

,(),(lim ),(0000000

),(y x f 在点),(00y x 可微定义为：

0),(),(),(),(lim

000000000

=?+??-?--?+?+→?→?y

x y

y x f x y x f y x f y y x x f y x y x

因此，要讨论),(y x f 点),(00y x 的可微性，首先要求),(00y x f x ，),(00y x f y 。这三个概念之间的关系可以用下图表示（在),(00y x 点）

在上述关系中，反方向均不成立。下面以)0,0(),(00=y x 点为例，逐一讨论。

4?2 ，4?3 例1：??

???=+≠++=0 ,00 ,),(22222

2y x y x y x xy

y x f

这是教材中的典型例题，0)0,0()0,0(==y x f f 均存在，但),(y x f 在)0,0(点不可微，且

),(lim 0

y x f y x →→不存在，即),(y x f 在)0,0(点不连续。

3?4 ，3?2例2：22),(y x y x f +=

，这是上半圆锥，显然在)0,0(点连续，

)0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→

但 ??

?<->===-0

,10

,1||)0,0()0,(2x x x x x x x f x f 故)0,0(x f 不存在。由y x ,的对称性，)0,0(y f 不存在。从而，),(y x f 在)0,0(点不可微（否则，)0,0(x f ，)0,0(y f 均存在）

。 2?1 例3：??

???=+≠+++=0 ,00 ,1sin )(),(22222

2y x y x y x y x y x f

sin

lim )

0,0()0,(lim

)0,0(2200

==-=→→x

x x x

f x f f x x x ，

由y x ,的对称性，0)0,0(=y f 。

)0,0()0,0()0,0(),(y

x y

f x f f y x f y x +---

sin

1sin )(2

2222

222→++=+++=

x y x y x y x y x （00→→y x ）故),(y x f 在)0,0(点可微。且=)0,0(df +dx f x )0,0(0)0,0(=dy f y

???=+≠+++-+=0 ,00 ,1cos 21sin 2),(222

22222y x y x y x y x x y x x y x f x

取点列),(n n n y x P ，π

n x n 21=

，0=n y ，显然))(0,0(),(∞→→n y x P n n n

)(2cos 22),(∞→-∞→-=n n n y x f n n x ππ

故),(lim 0

y x f x y x →→不存在，从而),(y x f x 在)0,0(点不连续。由y x ,的对称性，),(y x f y 在)0,0(点

也不连续。

对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微?可导。但对二元函数，可微与偏导存在

并不等价，即：可微?偏导存在，反之未必。应特别引起注意。

§2 复合函数与隐函数微分法

求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则。例1 设c c

t g r v ),(1-=

为常数，函数g 二阶可导，222z y x r ++=，证明 2

222222221t v

c z v y v x v ??=

??+??+?? 证变量之间的关系为 ??????????

??t z

x r v 注意这里g 是某变量u 的一元函数，而c r t u -=。

因为 x r r v x v ????=??， 2222222)(x r r v x

r r v x v ????+????=?? 由z y x ,,的对称性得 2

222222)(y r

r v y r r v y v ????+????=??， 2222222)(z r r v z r r v z v ????+????=?? 而 r x x r =??， 2

22r

x r

r x r ??-=??32222r x r r r x r -=-=，由z y x ,,的对称性得 r y y r =??， =??22y

r 32

2r y r -， r z z r =??， =??22z

r 32

2r z r -。于是 ][])()()[(2222222222222222

y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v ??+??+????+??+??+????=??+??+?? 3

2222223])()()[(r

r r r v r z r y r x r v -??+++??= r r v r

v 2

22??+??=

又因为

)(1)(12c

t g cr c r t g r r v -'---=?? )(1)(2)(2223

22c r

t g r c c r t g cr c r t g r r v -''+-'+-=??

)(1c r t g r t v -'=??， )(122c r t g r t

v -''=?? 故 r r v r

v 22

2??+??)(12c r t g r c -''=2221t v

c ??=。注1 在求22x

v ??时，要特别注意r v ??的函数关系仍然是???

???????

????t z y

r r v

注2 在求

r v ??时，注意正确使用导数符号)(c r t g -'，不要写成

v ??)

t g -??，也不要写成

)

t g -??或

r g ??。事实上，

=??r

g )(1c r

t g c -'-。注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是222222z

y v x v ??+??+??，函数v 作为自变量

z y x ,,的函数，是由中间变量222z y x r ++=

复合而成，利用

1)()()(222=??+??+??z r y r x r ， r z

r y r x r 2

222222=??+??+?? 我们得到了 222222z v y v x v ??+

??+??r

r v r v 2

22??+??= 这样把求v 对自变量z y x ,,的偏导数转化为对中间变量r 的偏导数，从而使计算简单了。试比较

直接求222222z

y v x v ??+??+??的情形。

x r c r t g cr x r c r t g r x v ??-'-??--=??)(1)(12)()(23c

r t g cr x c r t g r x -'---= )()(3)(1343

22c r

t g x r cr x c r t g x r r x c r t g r x v -'??+-??+--=??

)()(2)(12

232c r t g x r r c x c r t g x r cr x c r t g cr

-''??+-'??+-'-

)(]31[523c r t g r x r -+-=)()(]31[322422c r

t g r c x c r t g cr

x cr -''+-'+-+

由z y x ,,的对称性得

??)(]31[523c r t g r y r -+-=)()(]31[322422c r t g r c y c r t g cr y cr -''+-'+-+ 22z v ??)(]31[5

23c r t g r z r -+-=)()(]31[322422c r

t g r c z c r t g cr z cr -''+-'+-+ 则 22222

y v x v ??+??+??)(12c r t g r c -''=2221t v c ??=。例2 设),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，

02222=??-??y

x u ， x x x u =)2,(， 2)2,(x x x u x = 试求)2,(x x u xx ，)2,(x x u xy ，)2,(x x u yy 。证注意|2)2,(x y x x

x x u =??=

)2,(1x x u =，是),(y x u 对x 求偏导数之后，令x y 2=所得的函数，而不是)2,(x x u 作为x 的一元函数对x 的导函数。

在 x x x u =)2,(两边对x 求导，得 1)2,(2)2,(21=+x x u x x u 将 21)2,(x x x u =代入，得 221)2,(2x x x u -=

上式两边对x 求导，得 x x x u x x u -=+)2,(2)2,(2221 在2

1)2,(x x x u =两边对x 求导，得 x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=+

因为),(y x u 有连续的二阶偏导数，则)2,()2,(2112x x u x x u =，又已知0)2,()2,(2211=-x x u x x u ，将上两式联立解得

x x x u x x u 35)2,()2,(2112=

=， x x x u x x u 34

)2,()2,(2211-==。即 x x x u x x u yx xy 35)2,()2,(==， x x x u x x u yy xx 3

)2,()2,(-==。

例3 若函数),,(z y x f 对任意正实数t 满足关系),,(),,(z y x f t tz ty tx f n

=，则称),,(z y x f 为n

次奇次函数。设),,(z y x f 可微，试证明),,(z y x f 为n 次齐次函数的充要条件是

),,(z y x nf z

f z y f y x f x

=??+??+?? 证 ""? 令 n

tz ty tx f t G )

,,()(=

，则

,,()],,(),,(),,([)(1

321=-++=

'+n t tz ty tx nf t tz ty tx zf tz ty tx yf tz ty tx xf t G ，

故)(t G 与t 无关，从而),,()1()(z y x f G t G ==，即 ),,(),,(z y x f t tz ty tx f n =

""? 方程 ),,(),,(z y x f t tz ty tx f n = 两边分别对t z y x ,,,求导，得

),,(),,(1z y x f t tz ty tx tf x n =，

),,(),,(2z y x f t tz ty tx tf y n =， ),,(),,(3z y x f t tz ty tx tf z n =，

),,(1321z y x f nt zf yf xf n -=++，将前面三式代入第四式即得

),,(z y x nf z

f z y f y x f x

=??+??+??。或在上面四式中令1=t ，得

x f f =1，y f f =2，z f f =3，),,(321z y x nf zf yf xf =++

即 ),,(z y x nf z

f z y f y x f x =??+??+??。

变换微分方程例4 设2y x u +=

，2

y x v -=，y ze w =，变换方程 z x z

y x z x

z =??+???+??22

2 （假设出现的导数都连续）。解这里既有自变量的变换2y x u +=

，2

y x v -=，也有函数的变换y ze w =。自变量由原来的y x ,变换为v u ,，函数由原来的z 变换为w 。为了把原来的函数),(y x z 变换为函数),(v u w w =，

可以把原来的函数),(y x z 视为如下的复合

z -=， ),(v u w w =， 2y x u +=

， 2

x v -=

即 ???????????????

???????y

y x v y x u w z

则

][21][v

u w e x v v w x u u w e x z y y ??+??=????+????=??-- ])([212222222x v v w x v x u v u w x u u w e x z y ????+??+?????+????=??-]2[4122222v w v u w u w e y ??+???+??=-

])([21222222y v

v w y v y u v u w y u u w e y x z y ????+??+?????+????=???-][

21v w u w e y ??+??-- ][412

222v w

u w e y ??-

??=-][21v w u w e y ??+??-- 故 =??+???+??x z y x z x

z 22

2z v u w

u w e y =???+??-][21222 即

w v

u w

u w 2222=???+?? 例5 设0),(=++z y z x F ，求yy xy xx z z z z d ,,,2

。

证方程0),(=++z y z x F 确定了函数),(y x z ，在方程两边求微分，得

0)()(21=+++F dz dy F dz dx ? )(1

212

1dy F dx F F F dz ++-=

两边再求微分，得 +z d F 2

1)]()()[(1211dz dx F dz dy F dz dx ++++

++z d F 220)]()()[(2221=++++dz dy F dz dy F dz dx

解得 22212112222112

)2([1

dz F F F dy F dx F F F z d +++++-=

dz dx F F dy F F dxdy F ])()[(222111221212+++++

)2([12212112

2221121F F F dy F dx F F F +++++-=2

21221)

()(F F dy F dx F ++

]

)()[(222111221212dx F F dy F F dxdy F +++-+2

121F F dy

F dx F ++

212212112121211111121))

()2()(2[(1

dx F F F F F F F F F F F F F F ++++++-+-= +++++++-+222122121122212212222))()2()(2(dy F F F F F F F F F F F F

]))

()2()()((22

212

122121121211122212112dxdy F F F F F F F F F F F F F F F F ++++++++-

+ 故 ])()2()(2[1

212212112121211111121F F F F F F F F F F F F F F z xx ++++++-+-=

])

()2()(2[12

212212112221221222221F F F F F F F F F F F F F F z yy

++++++-+-= ])()2()()([2

2121221211212111222121121F F F F F F F F F F F F F F F F F F z xy ++++++++-+-=

§4 方向导数

对多元函数)(P f u =，前面曾讨论了它在某点),(00y x 的可微、偏导数、连续之间的关系。下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图

1?4 课本定理

3?5 由偏导数定义和方向导数定义即得。

4?3，5?3 例：函数2

y x z +=在)0,0(0P 点沿任意方向l

的方向导数存在，

10lim )()

(22220

0=+-+=??→y

x y x l P f ρ z

特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为

1||0||lim )()(00=?-?=±??→?x x i P f x ， 1||0

||lim )

()(00=?-?=±??→?y y j P f x 。

但

x x x P f x ?-?=??→?0||lim )(00不存在。同理，y

P f ??)(0不存在。从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论：

x P f ??)(0，y P f ??)(0存在?

)()(0i P f ±??，)

()

(0j P f ±??存在，且 =??i P f )(0)()(0i P f -??-，=??j P f )(0)

()

(0j P f -??- 这时有

x P f ??)(0i P f ??=)(0，y P f ??)(0j

P f ??=

)

(0。

4?1 否则有4?3，与4?3矛盾

4?2 例： ??

??=+≠++=0 ,00 ,),(y x y x y x xy

y x f

k kx kx x x y x f x kx

x y x 1

)(lim ),(lim 22002

-=+-=→+-=→ 故),(y x f 在)0,0(0P 点不连续。但任意方向)sin ,(cos θθ=l ，当4

7,43π

πθ≠时， =

+=-→→)sin (cos sin cos lim )

0,0()sin ,cos (lim

2200

θθρθ

θρρ

θρθρρρf f θ

θθθsin cos sin cos +，当47,43ππθ=

时， 00

0l i m )0,0()s i n ,c o s (l i m

00=-=-→→ρρ

θρθρρρf f ，即),(y x f 在)0,0(0P 点沿任意方向l

的方向导数都存在

?=≠+=??47,43

,047,43 ,sin cos sin cos ππθππθθθθ

θl

5?2 否则有4?2，与4?2矛盾。或否则与 3?2矛盾。 2?4 例：设3

/122

)

(),(y x y x f +=，显然),(y x f 在)0,0(0P 点连续，但沿任意方向l

的方向导数不存在，事实上

/10

lim

)

0,0()sin ,cos (lim

ρρ

θρθρρρ→→=-f f 不存在。

3?4 例：设?

?=≠=0 ,00 ,1),(xy xy y x f ，则0)

0,0()0,0(=??=??y f x f ，但

23,,2,0πππθ≠时， ρρ

θρθρρρ1

lim )0,0()sin ,cos (lim 00→→=-f f 不存在。

§5 Taylor 公式

Taylor 公式的几种形式

若函数),(y x f 在),(000y x P 点的某领域内有直到1+n 阶连续偏导数，则（1）n k n

k R y x f y y x x k y y x x f y x f +???+???=

?+?+=∑=),()(!

1),(),(00000 其中 ),()()!1(1001y y x x f y

y x x n R n n ?+?+??

?+???+=

+θθ

（2）为方便，记y k x h ?=?=,，则

n k n

k R y x f y k x h k k y h x f y x f +??

+??=++=∑=),()(!

1),(),(00000

其中 ),()()!1(1001k y h x f y

k x h n R n n θθ++??

+??+=

（3） n k

k R y x f d k y y x x f y x f +=

?+?+=∑=),(!

1),(),(00000 其中 ),()!

1(1

001y y x x f d n R n n ?+?++=

+θθ

这是用微分表示的Taylor 公式，它与一元函数的Taylor 公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中)()

(x f

n 在二元函数的对应物是),()(y x df n 。

例1 设函数),(y x f 有直到n 阶连续偏导数，试证),()(kt b ht a f t u ++=的n 阶导数

),()()()

(kt b ht a f y

k x h

t u

n n ++??

+??=。

证对n 用数学归纳法。1=n 时，显然 ),()()(kt b ht a f y

k x h

t u ++??

+??=' 设 ),()()()

(kt b ht a f y

k x h

t u

n n ++??

+??=，则 )],()[()()

1(kt b ht a f y

k x h dt d t u

n n ++??

+??=

+ ),(0kt b ht a f y

x k h C dt d i

n i n

n i i n i i n ++???=-=-∑ )],(),([11

110kt b ht a f y

x k kt b ht a f y x h k

h C i n i n i n i n n

i i

n i

++???+++???=+-+-++=-∑ ),(),(1

11111

1kt b ht a f y x k h C kt b ht a f y x k h C i n i n n

i i n i i n i n i n n i i n i

i n

++???+++???=+-+=+-+-++=+--∑∑),()(1

kt b ht a f y x k

h C C

i n i n n

i i n i i n

i n

++???+=+-+=+--∑

),(),(11

1111

kt b ht a f y

k kt b ht a f x h

n n n n n n ++??+++??+++++++ ),(1

kt b ht a f y

x k

h C i n i n n i i n i

i n ++???=+-++=+-+∑),()(1kt b ht a f y k x h n ++??+??=+ 例2 证明Taylor 公式的唯一性：若

)0(,0)(0

→=+∑=+ρρn n

j i j

i ij

x A

其中22y x +=

ρ，求证0=ij A j i ,(为非负整数，n j i ,,1,0 =+），并利用唯一性求

)1ln(),(y x y x f ++=带拉格朗日余项的n 阶Taylor 展开式。

证对j i +用数学归纳法。在

0)(0

=+∑=+n n

j i j

i ij y

x A ρ 中令0→ρ即得000=A 。设

n k j i ≤<+时0=ij A ，则

0)(=+∑=+n n

j i j

i ij

x A ρ ，进而

0)(=+-=+∑k n n

j i k

i ij

y x A

ρρ 。

在上式中令0→ρ，因为1||

≤ρ

，1||

≤ρ

，故k j i >+时，

)0(0→→ρρ

i y x ，从而

)0(0)(1

→→+-+=+∑

ρρρk n n

k j i k

i ij y x A

而k j i =+时，k

i y x ρρ0

lim

→不存在，故必有0=ij A （k j i =+）。由数学归纳法即得证。

令t y x =+，由一元函数的Taylor 公式及上面Taylor 公式的唯一性得

∑∑=-=-++-=+-=+=++=n

k n k k n n

k k k R k y x R k t t y x y x f 1

)()1()

1()1ln()1ln(),( 其中 t t n n n t n t R θ=++++=|)]1[ln()!1()1(111

)

1(!)1()!1(1+++-+=n n n t t n n θ1

))(1(1)1(+++++-=n n y x y x n θ 问题1 不用Taylor 公式的唯一性，试求)1ln(

),(y x y x f ++=的Taylor 展开式。令t y x =+，则 )0,0(f y

x i

n i n

-???0)(|)]1[ln(=+=t n t )!1()1(1--=-n n ，（1≥n ）故 =++=)1

l n (),(y x y x f n k

k R f y y x x k +??+??∑=)0,0()(!

10 n i

k i k

i k i k i i k n

k R f y x y x C k +???=--==∑∑)0,0(!10

1 n k i k i k i i k n

k R k y x C k +--=--==∑∑)!1()1(!1100∑=-++-=n

k n k k R k y x 1

1)()1( 其中 ),()()!1(11y x f y

y x x n R n n θθ+??

+??+=

。

),()!1(1111101y x f y

x y x C n i

n i n i n i n i i n θθ-++-++=+???+=∑ )()1(110

1|)]1[ln()!1(1y x t n i n i n i i n t y x C n +=+-++=+++=∑θ 1

)())

(1(!)1()!1(1+++++-+=n n n y x y x n n θ1))(1(1)1(+++++-=n n y x y x n θ 显然，用Taylor 公式的唯一性，计算要简单得多。

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分

同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！

偏导数与全微分习题

偏导数与全微分习题 1. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 2. 习题8 17题。 3. 设?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x y y x f ，考察f (x , y )在点（0,0）的偏导数。 4. 考察?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x xy y x f 在点（0,0）处的可微性。 5. 证明函数 ?? ???=+≠+++=0 001sin )(),(222 22 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。 }

1．设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 y y x y x y y x f x 1) (2111 )1(1),(21 ??- -+='- ∴ 1)1,(='x f x 。： &

2.习题8 17题。 17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明 02 22 2=??+??y z x z 。先化简函数 ))()ln((2 1 22b y a x z -+-=，， 2 222)()() ()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--= -+--?=??， 2222) ()() ()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--?=??， 2 22 2 222 2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x z -+----+-= ?? 2 22 22) )()(()()(b y a x a x b y -+----= ， 2 222 222 2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y z -+----+-= ?? 2 2222) )()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02 22 2=??+ ??y z x z 。 3. $

十偏导数与全微分(学生用)

第十四章偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctan x u y =； (4) sin()xy u xye =. 2．设22 22 221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3 ．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = (2) yz x u xe e y -=++.

5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u =在点(1,1,1)； (2) (u x y =+-0，1）. 6．证明函数22222 22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7 ．证明：函数22 220(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微. 8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m n x y ++的近似公式：

9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u x y +???. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数：（1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求, u v ?Φ?Φ ??. （2）设),,22(xyz z y x f z --=求x z ?? 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) 2 2 (,)u f xy x y =，22u x ?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u x y ???； (3) 2 2 2 ()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u y x ???.

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的（B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系朱丽娜郑州工业安全职业学院 451192 摘要本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。关键词全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的．一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在．定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分．读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微．偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续．二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系

定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在，由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在．但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为即任意方向上的方向导数存在．三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为：这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续．定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在．证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

第十六章偏导数与全微分

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