高等数学期末复习(1)

高数期末复习（1）

一、函数

1、函数定义域的计算：1）偶次根式中被开方数0≥；2）分母不能为0；3）对数中真数＞0；

4）反正弦、反余弦函数

1x ≤。

（解联列不等式组得到公共解） 实例：1）x x y sin ln 162

+-= 2）1

1)51ln(-+-=x x y

3）3

1

arcsin

-=x y 2、判断函数奇偶性、有界性、周期性

1）奇偶性：在对称区间内：①若)()()(x f x f x f =-为偶函数。例：2,cos x y x y == ②若)()

()(x f x f x f -=-为奇函数。例：3,

sin x y x y ==

③若)()

()()(x f x f x f x f ≠-≠-为非奇非偶函数。例：x x y 2?=

实例：1）x x y sin = 2）x

x y -+=11lg

3）)1lg(2

++=x x y

4）x

x y -?=3

2）有界性：M x f ≤)(。例：①x x f 2cos 1)(+=有界，2)(≤x f 。

②x x x f sin )(=无界，对任一M ，总可找到M k x >+

=2

20π

π，使M k x f >+

=2

2)(π

π

3）周期性：)()(x f T x f =+，两周期函数的和或积的周期为这两个周期函数的最小公倍数，

例：2tan

sin x x y +=，x sin 周期π，2

tan x

周期2π，故函数周期2π。 2

c o s s i n x

x y ?=π，x sin 周期2π，2

cos

x

?π周期4，故函数无周期。

x y sin =，定义域[)+∞,0，无周期（周期函数定义域无上下界）。

3、复合函数的复合过程

[])(x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，u 是中间变量（熟练掌握）

。 例：)3(cos sin 2x y =，是由x w w v v u u y 3,cos ,sin ,2

====复合而成。 实例：写出复合过程 1）2

)2

(arccos x

y =

2）2

sin ln x y =

3）x

y 2sin 3

=

4、经济函数 Q —需求量、销售量或产量； P —商品价格； C —成本； R —收益； L —利润 1）需求函数：)(P Q Q =单调减少函数；价格函数：)(Q P P =

2）成本函数：)()(10Q C C P C C +== （0C --固定成本；1C --可变成本） 3）收益函数：PQ R = （P 可从需求函数中得到）

4）利润函数：)()()(Q C Q R Q L -=， 利润函数=收益函数-成本函数 二、极限与连续 1、函数的极限

当)(0∞→x x 时，函数)(x f 无限趋向于一个确定的数值A ，则A 为)(x f 当)(0∞→x x 时的极限，记：A x f x x =→)(lim 0

。A x f x x =→)(lim 0

的充要条件是=-→)(lim 0

x f x x A x f x x =+→)(lim 0

掌握下列极限：2

arctan lim π

=

+∞

→x x ；2

arctan lim π

-

=-∞→x x ；+∞=+∞

→x x e lim ；0lim =-∞

→x

x e

lim (1)x

x a a →+∞

=+∞> l i m 0

(1)x

x a a →-∞

=> l i m 0(01x

x a a →+∞

=<<

l i m (01)

x

x a a →-∞

=+∞<

< 2、无穷小量、无穷大量、无穷小量比较

1）无穷小量：若0)(lim 0

=→x f x x ，则称)(x f 为当)(0∞→x x 时的无穷小量。

2）无穷大量：若∞=→)(lim 0

x f x x ，则称)(x f 为当)(0∞→x x 时的无穷大量。

3）无穷小与无穷大的关系：一般地，两者互为倒数。若0)(lim 0

=→x f x x ，则∞=→)

(1

lim

x f x x 。 4）无穷小量性质：①有限个无穷小量的和仍为无穷小量；②有限个无穷小量的积仍为无穷小量； ③有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 5）无穷小量比较：设)(x α与)(x β为同一变化趋势下的两个无穷小量。

①0lim

=βα，则α是比β高阶的无穷小量； ②∞=βα

lim ，则β是比α高阶的无穷小量；

③C =β

αlim

，则α是β同阶的无穷小量； ④1lim =βα

，则α与β是等价无穷小量。

实例：1）无穷小量比较：0→x 时，x

x 1

sin 2

与x ；x x --+11与x 。

3-→x 时，962

++x x 与3+x 比较。

3、极限的计算方法

1）直接代入法：适用于)(x f 在0x x =处连续的条件下，)()(lim 00

x f x f x x =→

2）消去致零因子法：适用于当0x x →时，“

”型未定式。一般采用因式分解，分子、分母有理化消去致零因子，也可采用罗必达法则。

实例：1）2

10

3lim 222---+→x x x x x

2）4

1

5lim 22-+--→x x x x 3）1

1

lim 221-+-→x ax x x 存在，求a 。 3）无穷小量析出法：适用于当∞→x 时，“

∞

∞

” 型未定式，也可采用罗必达法则。一般采用分子分母同除x 最高次项后，得到无穷小量后可求出。

实例：1）2310

32lim 22----∞→x x x x x 2）x

x x 14lim 2+∞→

3）1(lim 22+-

+∞

→x x x x ）

4）重要极限法 重要极限一： 1s i n lim

0=→x x x ， 1)()(s i n lim 0)(=→x x x ααα， 1t a n l i m 0=→x x x ， 1a r c s i n

lim 0=→x

x x

适用于“

”型含有x x tan ,sin 等三角函数式的极限。 重要极限二：e x

x x =+∞→)1

1(lim ，

e x x x =+→1

0)1(lim ， e x f x f x f =+∞→)()())(11(lim ，e x f x f x f =+→)(1

0)())(1(lim 适用于∞

+)01(未定式极限。

实例：1）x

x x )

sin(sin lim 0→

2）)2

tan(

)1(lim 1

x x x π

-→

3）x

x x x )1

1(lim -+∞→

4）1

31

lim -→x x x

其他方法：1）无穷小量替代法：利用等价无穷小量替代，一般适用于“

”型，要熟知一些等价无穷小。 当0→x 时：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x

e

x cos 1-～2

2x ；1)1(-+α

βx ～x αβ（0,0≠≠βα）

实例：①)

31ln(tan sin lim 30x x

x x +-→

②??

????-+∞

→x e x x x 1

)2(lim 2）利用无穷小量性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 例如：2

1

111

lim tan()sin

1

x x x e

e x --→-=-0

3）罗必达法则：适用于“00”型或“∞

∞

” 型未定式（需满足三个条件），可多次重复使用。

=→)()(lim

x g x f x x )()

()(lim 0∞=''→A x g x f x x 实例：1）x

x x 2sin 1

1lim 0-+→

2）)ln 1

1(lim 1x

x x x --→

3）x

e e x x x 20sin 2

lim -+-→ 4、函数的连续性

1）函数连续的定义：设)(x f 在点0x 处及其近旁有定义，若y x ?→?0

lim []0)()(lim 000

=-?+=→?x f x x f x ，

则函数)(x f y =在点0x 处连续。

2）函数)(x f y =在0x 处连续必须满足三个条件： ①)(x f y =在点0x 处及其近旁有定义；

②)(lim 0

x f x x →存在（=-→)(lim 0

x f x x A x f x x =+→)(lim 0

） ③)()(lim 00

x f x f x x =→

3）函数的间断点

第一类间断点：)(x f 在点0x 处左右极限都存在，但不相等（跳跃间断点），或左右极限相等但不等

于0x 处函数值)(0x f （可去间断点）。

第二类间断点：)(x f 在点0x 处左右极限至少有一个不存在。 实例：1）x

e y 1

=

2）x

x

y sin =

3）x

x

y sin =

4）2

4

-=

x y 5、闭区间上连续函数性质

1）最值定理：闭区间上的连续函数必存在最大值M 和最小值m 。 2）有界性定理：闭区间上的连续函数必有界。

3）介值定理：若)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，)()(b f a f ≠，则对)(a f 与)(b f 之间的任何数μ，

总存在ξ，使得μξ=)(f 。

4）零点定理：若)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在),(b a 内至少有一点ξ，

使得

0)(=ξf

三、导数与微分

1、导数的定义：设函数)(x f y =在0x 的近旁有定义，若x

y

x ??→?0lim

存在，则称函数)(x f y =在点0x 处

的导数存在或可导，记为：x y

dx

dy x f x x x ??==

'→?=00lim

)(0

x

x f x x f x ?-?+=→?)()(lim

000 导数定义表示的其它形式：h

x f h x f x f h )

()(lim

)(000

0-+='→；000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→

2、导数的几何意义：)(0x f '是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，)(0x f k '= 实例：求曲线2+-=x y 在点1=x 处切线方程。

导数的物理意义：1）变速直线运动物体在t 时刻的速度是路程对时间的一阶导数：)()(t s t v '=。 2）变速直线运动物体在t 时刻的加速度是速度对时间的一阶导数：)()(t v t a '=。 3、可导与连续的关系：若函数)(x f y =在0x x =处可导，则)(x f 在0x 处必连续；但若)(x f 在0x 处

连续，其在该点的导数不一定存在。即：可导一定连续，但连续不一定可导。

例如，1-=x y 在1=x 处连续，但不可导。 4、求导公式、求导法则

5、求导方法

1）复合函数求导：一般采用逐层求导法。 例：)12ln(cos +=x y

解： []1

2)

12ln(sin 2)12(121)12ln(sin )12ln()12ln(sin ++-

='+?+?

+-='

++-='x x x x x x x y 实例：求导数：1）x y ln 1arctan -= 2）x y ln cos 2

=，求e

x y =' 3）x

x y 2tan 44

2tan +=

2）隐函数求导：方程两边同时对x 求导，遇到y 看成是x 的复合函数，对y 求导后乘上y '。移项

整理求出y '。

例：y

x e

y +=arcsin ，求y '

解：两边对x 求导：

)1(12

y e

y

y y

x '+=-'+，移项得：y

x y x e

y e y y ++---=

'2

2111

实例：求y '：1）xy

e

y x tan 22

2=+ 2）02

=-+e xy e y

3）分段函数求导：若)(x f y =为分段函数，0x 为分点。用导数定义求出)(x f 在0x 点的左右导数

)(0x f -'，)(0x f +'，只有当)(0x f -'=)(0x f +'时，)(x f 在0x 点的导数才存在。

例：讨论??

?<≥+=0

0)

31ln()(x x

x x x f 在0=x 处的可导性。（)(x f 在0=x 处连续）

解： 0)0()(lim )(00--='-

→-x f x f x f x =--=-→01

ln lim 0x x x 1

)(0x f +'0)0()(lim 0--=-+→x f x f x 33lim 1ln )31ln(lim 00==-+=+-+→→x x

x

x x x

)(0x f -'≠)(0x f +'，所以)(x f 在0=x 处不可导。 实例：讨论??

?<≥-=1

12)(2x x

x x

x f 在1=x 处可导性。

4）对数求导法：目的为简化求导运算（适用于幂指函数、一些分式函数的求导） 如：1）x

x y sin )

1(+=

2）2

4)

1()12(1

x x x y --+=

步骤：①两边取自然对数，2）式右端尽量化简；②两边对x 求导；③化简整理 对于幂指函数，也可先写成指数函数形式再求导。例：sin sin ln(1)(1)

x

x x y x e +=+=

7、高阶导数：若)(x f y =的导数)(x f '仍然可导，则)(x f '的导数叫做)(x f y =的二阶导数，记作

22),(,dx y d x f y ''''，依次可对函数连续多次的求导数，得到n 阶导数n n n n dx

y d x f y 或)(,)

()(。

常见函数的高阶导数： 1）n n n n

a x a x a x a y ++???++=--11

10，0,!)1(0)(==+n n y n a y 特别地：0)(,!)()1()(==+n n n n x n x

2）x a a n x n x ln )

()

(=， x n x e e =)()(

3）)2sin()(sin )

(πn x x n +

=， )2c o s ()(c o s )(π?+=n x x n 4) n n n x n x )!

1()1()(ln 1

)

(--=- 6、微分

1）设函数)(x f y =在任意点x 可导，则称dx x f )('为函数)(x f 在x 处的微分。记作：dx x f dy )('= 2）函数的增量与微分的关系：)()(x o dx x f y ?+'=?，dx x f dy )('=是y ?的线性主部。 可微与可导之间关系：)(x f 在0x 处可微的充要条件是)(x f 在0x 处可导。 微分的计算：求出)(x f '，微分为：dx x f dy )('=，或用微分公式与法则计算。

7、导数的经济应用

1）边际分析：分别对需求函数、成本函数、收益函数、利润函数求导后便得到边际需求、边际成本、

边际收益和边际利润。它反映了函数的变化率。

2）弹性分析：表示函数的相对增量和相对变化率。

函数)(x f y =的弹性函数：

)

()(x f x x f Ex Ey '=

x x Ex

Ey =为)(x f y =在0x x =处弹性值，表示在0x 处，当x 变动1%时，y 近似地变动

x x Ex

Ey

=%。

需求弹性：-=)(0P η)

()(00

0P f P P f ' 四、中值定理与导数应用

1、中值定理

1）Rolle 中值定理：若)(x f 满足条件：①在[]b a ,上连续；②在),(b a 可导；③)()(b f a f =，则在),(b a

内至少存在一点ξ，使得：0)(='ξf

2）Lagrange 中值定理：若)(x f 满足条件：①在[]b a ,上连续；②在),(b a 可导，则在),(b a 内至少存

在一点ξ，使得：a

b a f b f f --=

')

()()(ξ

3）Cauchy 中值定理：若)(x f 、)(x g 满足条件：①在[]b a ,上连续；②在),(b a 可导，且0)(≠'x g ，

则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得：

)

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=

''ξξ 实例：证明方程 0sin cos =-x x x 在区间)2

,0(π

中至少有一个实根。

2、L ’Hospital 法则：对于)()(lim

x g x f a

x →形式，若满足三个条件：①00或∞

∞

型未定式，②)(x f '和)(x g ' 存在，且0)(≠'x g ，③A x g x f x x =''→)

()(lim

（或∞）。则)()

(lim

)()(lim 00x g x f x g x f x x x x ''=→→。 对于∞?0，∞-∞，0

0，∞1，0∞型未定式，必须先转成“

00”型或“∞

∞

” 型后再用法则。 1）对∞?0型：1

2

lim x x e

x →2

1

01lim

2

x e x

x →=3

3

1

0)(1

)2

(lim x

x e x x --

=→∞

∞

∞==→10lim x x e

2）对∞-∞型，通分化为

00或∞

∞

型。 3）对∞

1，0

0，0

∞型，方法相同：

例：求)

1ln(1

lim -→+x

e

x x

。设)

1ln(1

-=e

x y ，先两边取对数)1ln(ln ln -=

x

e x y （∞

∞

型）， 求出1ln lim 0

=+→y x ，)

1ln(1

lim -→+x

e

x x

e e e y x ===+→1ln 0

lim

实例：1）1

)(cos lim x x x →

2）)1

1ln (

lim 1

--→x x x x 3）)1ln(ln lim 1

x x x --→ 4）x

x x

tan 0

)sin 1(

lim +→ 3、函数的单调性，极值，最值

1）函数的单调性：利用一阶导数y '的正负进行单调性判断。

在),(b a 内，如0>'y ，则)(x f 单调增加；0<'y ，则)(x f 单调减少。

2）极值：取得极值的必要条件：设)(x f 在0x 近旁可导，且在点0x 取得极值，则0)(0='x f 驻点：使一阶导数为零的点。 注意：可导函数的极值点一定是其驻点。

取得极值的第一充分条件：在0x 的两旁，)(x f '由正变负（左正右负），则)(x f 在0x x =处取得

极大值（0x x =为极大值点）。

在0x 的两旁，)(x f '由负变正（左负右正），则)(x f 在0x x =处取得

极小值（0x x =为极小值点）。

取得极值的第二充分条件：若0)(0='x f ，)(0x f ''存在，且0)(0≠''x f ，则

1） 若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x x =处取得极大值。 2） 若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x x =处取得极小值。

3）函数的最值及其应用：最值在所给闭区间[]b a ,上求得。

求最值步骤： 1）求出驻点及一阶导数不存在的点（去掉在[]b a ,外的点）。

2） 求出以上这些点及端点的函数值。

3） 比较大小。求出最大值，最小值。

实例：1）求①x

e x y -= ②3

2

)2()1(--=x x y 的单调区间及极值。

2） 函数)(2

1x x

e e y -+=

在)1,1(-内的单调性。 3） 函数)1ln(2

x y +=在[]2,1-上的最大值和最小值。

4） 设某产品需求函数)60(1000P Q -=，Q 为销售量（件），P 为价格（元）。固定成本为6000

元，可变成本每件20元，设产销平衡。求①收益函数、成本函数、利润函数。②边际收益、

边际成本、边际利润。③问产量为多少时利润最大，最大利润为多少？

4、曲线的凹凸与拐点

1）曲线的凹凸：利用二阶导数y ''的正负判断。

在),(b a 内，如0>''y ，则曲线下凸（凹）；0<''y ，则曲线上凸（凸）。

2） 拐点：曲线凹凸的分界点。拐点出现在二阶导数等于零及二阶导数不存在的点。 6、渐进线

1）水平渐进线：若C x f x =+∞

→)(lim 获C x f x =-∞

→)(lim ，则称C y =为)(x f y =的水平渐近线。

2）垂直渐近线：若)(x f y =在点0x x =处间断，且∞=+→)(lim 0

x f x x 或∞=-→)(lim 0

x f x x ，则0x x =为

)(x f y =的垂直渐近线。

实例：求下列函数渐近线 ①11

22

+-=x x y

②1

1

2

-+=

x x y 7、函数图像描绘

步骤：1）求定义域

2）求y '，y ''，令其为零，求出y '=0，y ''=0，以及y '，y ''不存在的点，这些点将定义域分

成若干区间。

3）列表分析（表明单调区间，凹凸区间，极值拐点等） 4）求出渐近线

5）标出特殊点坐标（极大值点，极小值点，拐点，与坐标轴交点等） 6）根据)(x f y =在各区间的特性，用光滑曲线连接各点。表上曲线名称。 实例：作图：2

)

1(4x x y +=

五、不定积分：为求导数的逆运算。

1、原函数与不定积分：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则

()()x f x F =' 或 ()()dx x f x dF =

?dx x f )(=)(x F +C

2、不定积分的性质：1）()[]()

()[]()dx x f dx x f d

x f dx x f =='

??或

2）

()?+='C x f dx x f )( 或()?+=C x f x df )(

4、不定积分的积分方法

1）直接积分法：将被积函数恒等变换后用基本积分公式求出不定积分。

实例：求1）dx x x x ?++)

1(212

2

2

2）

dx x

?

2

sin 2

2）第一类换元积分法（凑微分法）：

()[]()()[]()

()()()()

()[]C x F C

u F du u f x d x f dx x x f x u u

x ++=='==??????????回代令

第一类换元积分关键是把被积表达式凑成两部分，使被积函数部分成为函数)(x ?的复合函数

))((x f ?，使另一部分成为函数)(x ?的微分))((x d ?，再利用基本积分公式求出原函数。

实例：求1）

dx x x ?1sin 12

2）dx x x ?

210

sec tan

3）第二类换元积分法

()dx x f ?

()

()[]()dt t t f t x φφφ'?=()C t F +=

()[]

C x F +-1?回代

根式代换：将被积函数内的根式换成另一变量。

实例：1）

dx x x ?

++3

1

31

2）

dx x

x ?

+3

1

3）

dx e

x

?

+211

三角代换：有些根式用根式代换无法去根式，要用三角代换。

被积函数内含有2

2x a -，作代换t a x sin =； 被积函数内含有2

2

a x +，作代换t a x tan =； 被积函数内含有2

2

a x -，作代换t a x sec =。 实例：1）

dx x ?

+9

412

2）

dx x

x ?

-2

21

3）

dx x x

?-1

12

3） 分部积分法：用分部积分公式转换被积函数。 分部积分公式： ??

-=vdu uv udv 实例：1）dx xa x

?

2）dx x e

x

?

sin 2

dx x ?)cos(ln

4） 有理函数的积分：先将有理函数化成一个多项式与一个真分式之和，分解真分式，再积分。

用待定系数法求出各系数。

例：真分式

=+-+653

2

x x x )

3)(2(3--+x x x 可分解成：32)3)(2(3-+-=--+x B x A x x x A ， B 为待定系数，可求出待定系数6,

5=-=B A

所以

?=+-+6532x x x ?-+--dx x x )36

25(C x x +-+--=3ln 62ln 5

高等数学模拟试题一

高等数学模拟试题一

内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设 ln(12)0()10 x x f x x x +?≠?=??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2 x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微，,a b 为常数，则必有（ ） A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．11 00 (,)y dx f x y dy -? ? B. 1 10 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -??

最新高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +

暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

山东专升本高等数学,很好的模拟题1

2008年成人高考专升本高等数学模拟试题一 高等数学（二） 一. 选择题（1-10小题，每题4分，共40分） 1. 设0 lim →x sinax x =7,则a 的值是（ ） A 17 B 1 C 5 D 7 2. 已知函数f(x)在点x 0处可等，且f ′(x 0)=3,则0 lim →h f(x 0+2h )-f(x 0)h 等于（ ） A 3 B 0 C 2 D 6 3. 当x 0时，sin(x 2+5x 3)与x 2比较是（ ） A 较高阶无穷小量 B 较低阶的无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但不等价无穷小量 4. 设y=x -5+sinx ，则y ′等于（ ） A -5x -6+cosx B -5x -4+cosx C -5x -4-cosx D -5x -6-cosx 5. 设y=4-3x 2 ，则f ′(1)等于（ ） A 0 B -1 C -3 D 3 6. ??(2e x -3sinx)dx 等于（ ） A 2e x +3cosx+c B 2e x +3cosx C 2e x -3cosx D 1 7. ? ??0 1 dx 1-x 2 dx 等于（ ） A 0 B 1 C 2 π D π 8. 设函数 z=arctan y x ，则x z ??等于（ ）y x z ???2 A -y x 2+y 2 B y x 2+y 2 C x x 2+y 2 D -x x 2+y 2 9. 设y=e 2x+y 则y x z ???2=（ ） A 2ye 2x+y B 2e 2x+y C e 2x+y D –e 2x+y 10. 若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ） A 0.3 B 0.4 C 0.2 D 0.1 二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11. ∞ →x lim (1-1x )2x = 12. 设函数f(x)= 在x=0处连续，则 k ＝ Ke 2x x<0

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

高等数学1模拟试卷

《高等数学》模拟题）（1 __________ 成绩学号________________ _____________ 姓名_______________ 年级 名词解释第一题 ．区间：1 ; 2. 邻域 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 选择题第二题 x?1的定义域是（．函数） 1y?1?x?arccos2x?1?3?x?1；； (B) (A)????1x??x?3xx?1?)13(?,. ； (D)(C)x?(x)f)xf(定义为（在点2、函数的导数）00f(x??x)?f(x)；）A （00?x f(x??x)?f(x)；（B）00lim x?xx?0． f(x)?f(x)0lim；（C） ?x x?x0))x?f(xf( D）；（0lim xx?xx?003、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（） （A）它们都给出了ξ点的求法 . （B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

?点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以它们都先肯定了） （C 用定 理给出的公式计算ξ的值 . （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . I )(xx),FF(内连续函数4、设是区间的两个不同的原函数，且)(xf 21I 0?(x)f 内必有（ 则在区间） ,F(x)?F(x)?C (A) ；） ； （B C))?F(x ?(Fx 1221 F(x)?CF(x)F(x)?F(x)?C . (C) ； (D) 2121nnn ?? ( ) 5、lim ???? ?? 22222n ?1n ?2n ?n ????n 01； ） （ （A ）B ； 2?? . ） （ （C ）D ； 42 x ?e 1y ?0xyln ? 所围成及，与 直线 6的区域的面、曲线?x e S ?（ ）；积11e ?)1?2(； ）（A （B ）； e e11e ??1 . ）（）（C ； D ee ???? a ?a ?b b . 为共线的单位向量，则它们的数量积 （， ）若 、 7 -1；）； （B （A ） 1??),bcos(a . ）（C ） 0； （D 41的定义域是8( ). 、二元函数z ?ln ?arcsin 2222 yx ?x ?y 22?yx4?1?22?4?y1?x ；）A ） ；（B （2222 4y1?x ???4?y1?x . ）（ C ）； （D 11?x ??f(x,dxy)dy =(D ) 9、0011?x 11?x ； (B) (A)； ??,dydxxf(y)??dx)dyx,yf( 00001111?y ???? (D)；.

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

关于高等数学同济第七版上册知识点总结归纳

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法

1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x

高等数学模拟试题一

高等数学模拟试题一 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设ln(12)0()10 x x f x x x +?≠? =??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微， ,a b 为常数，则必有（ ）

A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．1100 (,)y dx f x y dy -? ? B. 110 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -?? 8. 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=在区间[]1,4上有（ ）个根. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9. 若在(,)a b 内()0,()0f x f x '''<>，则在此区间内下列（ ）成立. A. ()f x 单调减少曲线上凸 B ．()f x 单调减少曲线下凸 C ．()f x 单调增加曲线上凸 D ．()f x 单调减少曲线下凸 10.已知12cos ,3cos y x y x ωω==是方程20y y ω''+=的解，则11122y C y C y =+ （其中1C ，2C 为任意常数）（ ） A ．是方程的解但非通解 B ．是方程的通解 C ．不是方程的解 D ．不一定是方程的解 二、填空题（每小题2分，共20分） 1 ．函数z =. 2.设(2) lim x f x A x →∞ =，则lim (3)x x f x →∞= . 3.设函数()y f x =在1x =处的切线方程为32x y +=，则()y f x =在1x =处自变量的增量为0.03x ?=的微分dy =. 4．设()f x ''连续，则0002 ()()2() lim x f x x f x x f x x →++--=.

历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。

高等数学模拟试题1 .doc

高等数学模拟试题1 一、填空题 1.函数1 ||)3ln(--= x x y 的定义域为_____________. 2..____________1lim =?? ? ??+-∞→x x x x 3.曲线33)4(x x y -+=在点（2，6）处的切线方程为__________. 二、选择题 1. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→h x f h x f h ) ()(lim 000 ( ) 21).A ( 2).B ( 2 1 ).C (- 2).D (- 2. .当0→x 时, 2 x 与x sin 比较是 ( ). (A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小 3.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ( )cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D ( 三、计算题 1.计算) 1ln(arctan lim 3 x x x x +-→ 2.设,cos ,,sin t v e u t uv z t ==+=求全导数.dt dz 3.求微分方程x x y y x cos =+'的通解.

4.求幂级数∑∞ =--1 2 1)1(n n n x n 的收敛域. 答案 一、填空题： 1.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体. 解 由? ??>->-010 3|x |x 知，定义域为{}131-<<

(完整word版)大一高数期末考试试题.docx

2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.

本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________.

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限

高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数 列的极限 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课时授课计划 课次序号： 02 一、课题：§1.2 数列的极限 二、课型：新授课 三、目的要求：1.理解数列极限的概念； 2.了解收敛数列的性质. 四、教学重点：数列极限的定义. 教学难点：数列极限精确定义的理解与运用. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–2 3（2）（4），5 八、授课记录： 九、授课效果分析：

第二节 数列的极限 复习 1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数； 2. 数列的有关知识. 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用． 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-?n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积： ，，，，，， n A A A A 321 它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上 称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆 面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积． 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明． 一、 数列极限的定义 1. 数列的概念 定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜