数列求和常见的7种方法(新)

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和

法，

. 的技巧.

1、 23、 S n 5、 21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝

2

11)211(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

}的前n [例3]

）

再利用等比数列的求和公式得：n n x n x x S x )12(121)1(---?

+=- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+???+++=

…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n

n n S 2)1(?+=

[例6] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：

所以

.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2

)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

（1（3（5(6) n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 （7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8）n a ==

[例9] 求数列

???++???++,1

1,

,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项）

则 1

13

212

11

+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

1(23)12(n n + [例10] .

[例11]

＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin

-+-+-+- ＝

)0tan 89(tan 1sin 1 -＝

1cot 1sin 1?＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos

n n --= （找特殊性质项）

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和）

＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91

99999111111

1

-=????=???k k k

个个 （找通项及特征） ∴ 1

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝

)1111(91)10101010(911

321 个n n +???+++-+???+++

＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1

1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分组）

＝)4

1

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞=∞

=∞

=++-+++-+=-+1111)41

3

1(8)4121(

4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝4

18)4131(4?++

? ＝3

13

提高练习：

1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==

n a c n

n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

2．设二次方程n a x 2

-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用n a 表示a 1n +；

3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *

N n ∈

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；