1.反比例函数定义 【例1】如果函数2
22-+=k k kx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么K 的值是
多少?函数的解析式?
思维导图
练习1当k 为何值时22
(1)k y k x -=-是反比例函数?
练习2.已知y=(a ﹣1)
是反比例函数,则a= .
练习3.如果函数y=(k+1)是反比例函数,那么k= .
练习4.如果函数y=x 2m ﹣1
为反比例函数,则m 的值是
2. 增减性问题
【例2】在反比例函数x
y 1
-
=的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是( )
A .213y y y >>
B .123y y y >>
C .321y y y >>
D .231y y y >>
思维导图
双曲线
K ≠0 2K 2+K-2=-1
二,四象限
K<0
K=-1
练习1.若A (-3,y 1),B (-2,y 2),C (-1,y 3)三点都在函数y =-x
1
的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ).
A.y 1
>y 2>y 3 B.y 1<y 2<y 3 C.y 1=y 2=y 3 D.y 1<y 3<y 2
练习2.已知反比例函数y =x m
21-的图象上有A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1<
x 2<0时,y 1<y 2,则m 的取值范围是( ).
A.
m <0 B.m >0 C.m <21
D.m >
21
3、交点问题
【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x
m
n y m n mx y -=
≠+=30相交于点(22
1,),那么该直线与双曲线的另一个交点为( )
思维导图
练习1,若反比例函数y =x
b 3-和一次函数y =3x +b 的图象有两个交点,且有一个交点的
纵坐标为6,则b =____
4、反比例函数解析式
【例4】已知12y y y =+,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =7;当
x =2时,y =8.
(1) y 与x 之间的函数关系式; 思维导图
练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A (2,m ),求反比例函数关系式。
5、面积问题 如图反比例函数
(k ≠0),P 、Q 是图上任意两点,过P 作x 轴y 轴的垂线,
垂足分别为A,B.过Q 作x 轴的垂线,垂足为C 。分别求四边形APBO ,三角形CQO 的面积。(用k 表示) 思维导图
1y 与x 成正比例 2y 与x 成反比例
y 1=k 1x y 2=k 2x -1
解出k 1k 2
12
y y y =+
当x =1时,y =7 当x =2时,y =8
三角形CQO的面积的求法同上。
练习1如图,在AOB
Rt?中,点A是直线m
x
y+
=与双曲线
x
m
y=在第一象限的交点,且2
=
?AOB
S,则m的值是_____.
练习2 已知点A(0,2)和点B(0,-2),点P在函数
1
y
x
=-的图象上,如果△PAB的面积是6,求P点的坐标.
S APBO=AP×BO
设P点坐标(x,y)
S APBO=lxl×lyl
=lkl
图形过二四
象限
S APBO=-k
1.点A(-2,y 1)与点B(-1,y 2)都在反比例函数y =-x
2
的图像上,则
y 1与y 2的大小关系为( )
A.y 1<y 2
B.y 1>y 2
C.y 1=y 2
D.无法确定
2.若点(3,4)是反比例函数y =221
m m x
+-图象上一点,则此函数图象必经过点( )
A.(2,6)
B.(2,-6)
C.(4,-3)
D.(3,-4) 3.在函数y =
x
2
,y =x+5,y =-5x 的图像中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图像的个数有( )
A.0
B.1
C.2
D.3 4.已知函数y =k
x
(k <0),又x 1,x 2对应的函数值分别是y 1,y 2,若x 2>x 1>0对,则有( )
A.y 1>y 2>0
B.y 2>y 1>0
C.y 1<y 2<0
D.y 2<y 1<0 5.如图1,函数y =a(x -3)与y =a
x
,在同一坐标系中的大致图象是( )
6.若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例,则y 是z 的( )
图1
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
反比例函数小题 第I卷(选择题) 请点击修改第I港的文字说明 1.在反比例函数y = 1图象上有两点A(xi, yi) > B(X2, y2), x)<0
AZ + 3 9.己知反比例函数尸一的图象,在第一象限内y随x的增大而减小,则n的取值 x 范围是_______________ . 10.在函数y= 一巳2 _1 a为常数)的图象上三点(?], yi), (■丄y2),(丄,y3), X 4 2 则函数值y】、丫2、y3的大小关系是___ . 11.(2014浙江湖州)如下图,已知在平面直角坐标系xOy中,0是坐标原点,点A(2, 5)在反比例函数y =—的图象上,过点A的直线y = x + b交x轴于点B. x (1)求k和b的值; ⑵求AAOB的面积. 12.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b (kHO)的图像与反比例函数 m m y =- X 5工0)的图像交于A, B两点,与X轴交于点C,点A的坐标X 为(n, 6),点C 的坐标为(-2, 0)且tanZAC0=2"2 f * HtanzJiCO= 2. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求点B的坐标; (3)在x轴上求点E,使AACE为肓?角三角形(肓?接写出点E的坐标) 772 13.如图,一次函数y二kx+b的图象与反比例函数尸一的图象交于A (-2, 1), B (1, x n)两点.
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =
第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》 ◆知识讲解:1.反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=k x (k≠0). 2.反比例函数y=k x (k≠0)的性质(1)当k>0时?函数图像的两个分支分别在第 一,三象限内?在每一象限内,y随x的增大而减小.(2)当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二,四象限内?在每一象限内,y随x的增大而增大. (3)在反比例函数y=k x 中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值,?也就是求其图 像上一点横坐标与纵坐标之积,?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二 次方程的两根,运用两根之积求k的值.(4)若双曲线y=k x 图像上一点(a,b)满 足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2, 又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是y= 2 x - .(5)由于反比例函数中自变量x 和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y?轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. ◆经典例题:例1(2006,上海市)如图,在直角坐标 系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标 的3倍,反比例函数y=12 x 的图像经过点A, (1)求点A的坐标;(2)如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,?求这个一次函数的解析式. 例2 如图,已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m 与反比例函数y=m x 的图像在第一象限内的交点,且 S△AOB=3.(1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,?请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.(2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DE⊥x?轴于E,那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定?(3)请判断△AOD为何特殊三角形,并证明你的结论. ◆强化训练:一、填空题1.(2006,南通)如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y= 4 x 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,?则2x1y2-7x2y1的值等于_______. 图1 图2 图3 2.(2006,重庆)如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(- 20 3 ,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A 点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是______. 3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为_______. 4.若y= 21 31 a a a x-- + 中,y与x为反比例函数,则a=______.若图像经过第二象限内的某点,则a=______. 5.反比例函数y= k x 的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根,则k=_______;点P到原点的距离OP=_______.
1.反比例函数定义 【例1】如果函数2 22-+=k k kx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么K 的值是 多少?函数的解析式? 思维导图 练习1当k 为何值时22 (1)k y k x -=-是反比例函数? 练习2.已知y=(a ﹣1) 是反比例函数,则a= . 练习3.如果函数y=(k+1)是反比例函数,那么k= . 练习4.如果函数y=x 2m ﹣1 为反比例函数,则m 的值是 2. 增减性问题 【例2】在反比例函数x y 1 - =的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是( ) A .213y y y >> B .123y y y >> C .321y y y >> D .231y y y >> 思维导图 双曲线 K ≠0 2K 2+K-2=-1 二,四象限 K<0 K=-1
练习1.若A (-3,y 1),B (-2,y 2),C (-1,y 3)三点都在函数y =-x 1 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ). A.y 1 >y 2>y 3 B.y 1<y 2<y 3 C.y 1=y 2=y 3 D.y 1<y 3<y 2 练习2.已知反比例函数y =x m 21-的图象上有A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1< x 2<0时,y 1<y 2,则m 的取值范围是( ). A. m <0 B.m >0 C.m <21 D.m > 21 3、交点问题 【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -= ≠+=30相交于点(22 1,),那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 思维导图 练习1,若反比例函数y =x b 3-和一次函数y =3x +b 的图象有两个交点,且有一个交点的 纵坐标为6,则b =____
高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,