概率论例题与详解

概率论习题及答案习题详解

222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.

223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为

概率论一二章习题详解

习题一 （A ） 1. 用三个事件,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生； （2）,,A B C 中只有A 发生； （3）,,A B C 中恰好有两个发生； （4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生； （6）,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1 {| 1},2 A x x =<≤ 13 {| }42 B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1）{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）? （3）{|014121x x x ≤<<≤或 3. 已知()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C .

解：0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()() P C AB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB . 解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =, ()()()0.250.150 P B A P B P AB -=-=-=, ()()1()() ()P A B P A B P A P B P A B ==--+ 10.40.250.150.5=--+= 5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：2322248 13!13! p ????= = 6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解：12 5453 5099 392 C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率. 解： 12 12312 p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =，

概率论练习题与解析

概率论练习题与解析

十、概率论与数理统计 一、填空题 1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为 p 。现进行n 次独立试验，则A 至少发生一 次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一 次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。 2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1 个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球， 第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地 取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出 的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 解：用i A 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用 B 代表“取出的球是白球”。由全概率公式 ?=?+?+?=++=120 53853163315131) |()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式

?=?==5320120 536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P 3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率 相等。若已知A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 解：设事件A 在一次试验中出现的概率为 )10(<

概率论复习题讲解

第一章 1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。 解：设Ai={取到第i 个箱子}，i=1,2，Bj={第j 次取到一等品}，j=1,2 （1）由全概率公式 5 2301821501021)()()()()(2121111=?+?= +=A B P A P A B P A P B P （2）所求概率为) () ()(12112B P B B P B B P = ，其中 1942.029 30171821495091021)()()()()(2212121121=???+???= +=A B B P A P A B B P A P B B P 故：4856.05 21942 .0) ()()(12112≈== B P B B P B B P 2. 某段时间[t 0,t 0+t]内，t>0，证券交易所来了k 个股民的概率为t e k k t λλ-! )(，k=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立。 （1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率； （2）若已知这段时间内有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率。 解：设A k ={交易所来了k 个股民}，k=0,1,2,……，B={有r 个股民购买长虹股票}。 （1）由于......2,1,0,! )()(==-k e k t A P t k k λλ， ,1.....2,1,0,0)(-==r k A B P k ......1,,)1()(+=-=-r r k p p C A B P r k r r k k 故由全概率公式可得 tp r r k r r k r k k k k e r tp t e k k t p p C A B P A P B P λλλλ--∞ =∞==--==∑∑! )(!)() 1()()()(0 （2）由Bayes 公式得所求概率为 ,......1,,)! ()]1([)() ()()() 1(+=--== ---r r m e r m p t B P A B P A P B A P p t r m m m m λλ 显然，1,......1,0,0)(-==r m B A P m 3. 设一射手每次命中目标的概率为p ，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5

概率论与数理统计重点总结及例题解析

概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4 】

练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一 等品} （1）P(1 B )=P(1 A )P(1 B |1 A )+P(2 A )P(1 B |2 A )=5 230 182150 10 21= + （2）P(1 B 2 B )= 194 .02121230 2 182 50 2 10=+ C C C C ,则P(2 B |1 B )= ) ()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ?<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1

概率论和数理统计习题集与答案解析

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。

概率论例题与详解

例题 1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求 （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？ （2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？ 解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯 （1）由全概率公式 ()()()94.01.01.018.04204184204192 0≈?+?+?=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式 85.0)() ()()(000≈=B P A P A B P B A P 2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求 （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率. 解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件 （1）由全概率公式 4.02 130********)()()()()(111=?+?=+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121??+??= +=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题 一、单项选择题 1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ） （A ）()1()P A P B =- ； （B ）(|)()P A B P A =； （C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =； （C ）()1()P A P B =- ； （D ）(|)()P A B P B =。 3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立 （A ）()()()P AB P A P B = ； （B ）()()()P A B P A P B =； （C ）(|)()P A B P B = ； （D ）(|)()P A B P A =。 4、设事件A 和B 有关系B A ?，则下列等式中正确的是（ ） （A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =； （C ）(| )()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。 5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ） A 与 B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。 6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。 7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ） （A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。 二、填空题 1、若 A B ?，A C ?，P (A )=，()0.8P B C =，则()P A BC -=__________。 2、设P (A )=，P (B )=，P (A |B )=，则P (B |A )=_______，(|)P B A B =_______。 3、已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 。 4、已知事件 A 、 B 满足()()P AB P A B =?，且()P A p =，则()P B = 。 5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_____________。 6、设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是6581， 则A 在1次试验中出现的概率为__________。 7、设事件A ，B 的概率分别为()1 3,()16P A P B ==， ①若A 与B 相互独立，则 ()P A B =_________； ②若A 与B 互不相容，则()P A B =___________。

大学概率论习题一详解

大学概率论习题一详解 （A ） 1、写出下列随机现象的基本事件空间 （1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面； （2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数； （3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数； 解（1）若=i ω“有i 枚正面朝上”2,1,0=i ，则),,{210ωωω=Ω （2）用),(y x 表示“第一次投出x 点，第二次投出y 点”，则 }6,,2,1,),{( ==Ωy x y x （3）若=i ω“射击i 次才命中目标” ,2,1=i ，则+∈=ΩN i i ω{，+ N 为自然数集}。 2、在分别标有9,,1,0 数字的10张卡片中任取一张，令A 表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；B 表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C 表示事件“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件： B A ，AB ，B ，B A -，A B -，B C ，C B ，C B A )( 解 令i 表示“抽得一张标号为i 的卡片”9,,1,0 =i ，则 }3,2,1,0{=A ，}8,6,4,2,0{=B ，}9,7,5,3,1{=C 。 因此，}8,6,4,3,2,1,0{=B A ，}2,0{=AB ，}9,7,5,3,1{==C B ，}3,1{=-B A ， }8,6,4{=-A B ，Φ=BC ，Φ=C B ，}3,1{)(=C B A 3、某厂生产流水线上甲、乙、丙3部机床是独立工作的，并由一人看管，若用C B A ,,分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用C B A ,,表示下列事件: （1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。 解 （1）ABC 或C B A ++ （2）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 4、判断下列结论是否正确 （1）B A AB A B A =-=- （2）A B )B A (=-+ （3）A B )B A (=+- （4）)C B (A C )B A (+-=-- 解 （1）√ （2）× （3）× （4）√ 5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明 （1）))((C B B A ++ （2）))((B A B A ++ （3）))()((B A B A B A +++ 解 （1）AC B C B B A +=++))((（图示略） 证明：)()())((C B B C B A C B B A +++=++ B A C AB ++= AC B AB ++= AC B AB ++=)( AC B += （2）A B A B A =++))((（图示略） 证明：)()())((B A B B A A B A B A +++=++ B B BA A ++= BA A += A =

概率论第3章习题详解

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222??=" 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x ~ 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e ~ 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y x u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 》 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<}； （4）求P{X+Y≤4}.

概率论(计算)习题讲解

概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

概率论与数理统计习题及答案-第6章习题详解

习题六 1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100 ~(0,1)/X Z N n σ-= 即 60 ~(0,1)15/10 X Z N -= (|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-< 2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-= 2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】 ~(0,1)5/X Z N n -= 2.2 4.2 6.2 4.2 (2.2 6.2)( )55 P X P n Z n --<<=<< 2(0.4)10.95,n =Φ-= 则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96, 即n >24.01，所以n 至少应取25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样 本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果， 只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002 1000 ~(8)100/3/X X t t S n -= = 10621000 (1062)()( 1.86)0.05100/3 P X P t P t ->=> =>= 4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.

概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤

求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为

概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解

概率论与数理统计习题及答案 第3章习题详解 M论鸟a ?尤计a＜及冬嚓 ——第誇季习题祥解 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面 的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出 现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联 合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在 其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数， 以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布

律. 【解】X和Y的联合分布律如表:

I 35 3?设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为 求二维随机变量（x, y）在长方形域 0*雳5寻内的概率. 4 6 3 J 【解】如图叩＜洗处＜丫马公82） 4 6 3 yi !■：：■：： 6 1 4 J 6 J jT 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X, Y）的分布密度 ft .71 . 7E . Tl =sin — sin ——sin — ^sin — 4 3 4 6 =午（75-1）. 7T 71 sin Olin-+sin O[iin- 3 6 0

求：(1) 常数A ; 随机变量(X , Y )的分布函数; f(x,y)dxdy 0 0 Ae (3x4y) dxdy 寻 1 A=12 由定义，有 求 P{X V 1, Y v 3}; 概率论& 计幻懸及冬嚓 f (x, y ) Ae (3x 4y) 0, x 0, y 0, 其他. (3) P{0 ?1, 0之<2}. F(x,y) f (u, v)dudv y y 12e (3u 4v) dudv (1 e 3x )(1 0 0 0, e 4y ) 0, y 0,x 0, 其他 (3) P{0 X 1,0 Y P{0 X 1,0 Y 2} 1 2 12e (3x 4y) dxdy (1 0 0 2} e 3)(1 e 8 ) 0.9499. 5.设随机变量(X , Y )的概率密度为 k(6 x y), 0 x 2,2 y 4, f (x , y ) = 0, 其他. (1 ) 确定常数k ; 【解】(1) (3) 求 P{X<1.5}; (4) 求 P{X+Y < 4}.

大学概率论习题五详解(1)

正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切 比雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662=-≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率 不超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070 ≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩

概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解

概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正 面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y 的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 222 ?? 222 ??= 0 0 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球， 在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 2 4 7 C3 C35 =2 4 7 C2 C35 = 22 4 7 C C6 C35 = 11 22 4 7 C C12 C35 = 1 2 4 7 C2 C35 = 21 22 4 7 C C6 C35 = 2 2 4 7 C3 C35 =

2 7 C /C = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）= ?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域 ??? ?? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤<≤公式 ππππππ (,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362 (31).=--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）= ?? ?>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=? ? ?<<<<--. , 0, 42,20), 6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

概率论与数理统计一二章习题详解 (1)

习题一 （A ） 1. 用三个事件 ,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生；（2） ,,A B C 中只有A 发生； （3） ,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5） ,,A B C 中至少有一个不发生；（6） ,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）A B C (3) AB C A BC C AB (4) AB BC CA (5) A B C (6) A B B C C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1{| 1}, 2 A x x =<≤ 13{| } 42B x x =≤≤ ，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1） {|1412132} x x x ≤≤<≤或 （2）? （3） {|014121 x x x ≤<<≤或 3. 已知()0.4,()0.2,()0.1 P A P BA P CAB ===，求 ()P A B C . 解： 0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()() P C A B P C A B P C P C A C B P C P C A P C B P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()() P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =0.40.20.10.7++= 4. 已知 ()0.4,()0.25,()0.25 P A P B P A B ==-=，求 () P B A -与 () P AB . 解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15 P AB =,