连续函数性质
§ 连续函数的性质
? 连续函数的局部性质
若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。
定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。
定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <
（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切
0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。
注： 在具体应用局部保号性时，常取01
()2
r f x =，
则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01
()()2
f x f x >
。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,
f f
g f g g
±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。
关于复合函数的连续性，有如下定理:
定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合
函数g
f
在点0x 连续。
证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有
0|()()|g u g u ε-<。
（1）
又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，
使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任
给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε
-<。
这就证明了g
f
在点0x 连续。
注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为
0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==
定理 5 ()x f x
x 0
lim →存在的充要条件是()()
0lim 00
0+=+→x f x f x x 与
()()0lim 00
0-=-→x f x f x x 存在并且相等．
证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0
0lim ()x f x x 00
lim -→=，从
而对任给的0>ε，存在01>δ和02
>δ，当 100δ<- ()ε<-A x f ① 当 －002 <- 取{}0,m in 21>=δδδ 时，当δ<-<00x x 时，则 δ <-<00x x 和 00<-<-x x δ 二者必居其一，从而满足①或②，所以 ()ε<-A x f ． 定理 6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续． 证明：()x f 在0x 点连续即为()()00 lim x f x f x x =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证． 此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题． 定理7 海涅（Heine ）定理：()x f x x 0 lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞ →（0x x n ≠），则有()n n x f ∞ →lim 存在． 分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。设()A x f x x =→0 lim ，则对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 时， ()ε<-A x f ① 设0lim x x n n =∞ →（0x x n ≠），则存在N ，当N n >时，δ <-<00x x n ， 从而满足 ①，即()ε<-A x f n ，亦即()A x f n n =∞ →lim ． 充分性。 （１） 先证若0 lim x x n n =∞ →（0x x n ≠），()00,lim x y x y n n n ≠=∞ →， 则 ()=∞→n n x f lim ()n n y f ∞ →lim ． 取???=+==, 2,12k n y k n x z k k n 则()00,lim x z x z n n n ≠=∞→，从而()n n z f ∞ →lim 存在且 ()=∞ →n n z f lim ()=-∞ →12lim n n z f ()=∞ →n n x f lim ()=∞ →n n z f 2lim ()n n y f ∞ →lim ． 于是对任给的序列{}n x ，若0lim x x n n =∞ →（0x x n ≠），则()n n x f ∞ →lim 存 在且极限值与{}n x 的选取无关，记为A ． (2) 证明()A x f x x =→0 lim （反证法），若()A x f x x ≠→0 lim ，则有00 >ε， 对任给的0>δ，总有x '满足δ<-'<00x x 且使得()0ε≥-'A x f ． 取1=δ，则有1x 满足δ<-<010x x ，使得 ()01ε≥-A x f 取21= δ ，则有2x 满足? ?????-<-<0102,21min 0x x x x ，使得 ()02ε≥-A x f ， … … 取n 1= δ ，则有n x 满足? ?? ???-<-<-010,1min 0x x n x x n n ，使得 ()0ε≥-A x f n ， … … 由此可以找到{}n x 满足0lim x x n n =∞ →（0x x n ≠），且 ()00>≥-εA x f n ， 即此时 ()A x f n n ≠∞ →lim ，这与（１）的结论矛盾． ? 闭区间上连续函数的基本性质 设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，本段中我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质。 定义1：设f 为定义在数集D 上的函数。若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈有 00()()(()())f x f x f x f x ≥≤, 则称f 在D 上有最大值（最 小值），并称0()f x 为f 在D 上的最大值（最小值）。 例如，sin x 在[0,]π上有最大值1，最小值0。但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值（即使f 在D 上有界）。如()f x x =在(0,1)上既无最大值也无最小值。又如 1 ,(0,1), ()2,0,1 x g x x x ?∈?=??=? 它在闭区间[0,1]上也无最大、最小值。 下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。 定理8（最大、最小值定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续， 则f 在[,]a b 上有最大值与最小值；或称函数()x f 在[]b a ,上达到最大值． 分析：设[] ()x f M b a x ,sup ∈=，则问题所要证的是存在[]b a x ,0∈，有 ()M x f =0． 证明：设= M [] ()x f b a x ,sup ∈，则对任给的N k ∈，有∈k x []b a ,，使得 ()k M x f k 1- >． 由{}k x 有界，按致密性定理（问题11.1.1），从而可选取{}k x 的子序列{}k n x ，0lim x x k n k =∞ →，[]b a x ,0∈，一方面k n n M x f M k 1)(- >≥， 得 M x f k n k =∞ →)(lim ，另一方面由连续性)(lim k n k x f ∞ →()0x f =，由此 ()M x f =0． 同理，我们可证，[]b a ,上的连续函数()x f 在[]b a ,上可达到最小值．此外，这里b x a k n ≤≤（=k １,２,…）按极限的保序性有 b x a ≤≤0． 例1：设(){}x f n 为有界闭区间[]b a ,上一连续函数列，且 ()()()≥≥x f x f 211…()()≥≥+x f x f n n 1…， () ()()x f x f n n ∞ →=lim 2处处存在． 试证()x f 在[]b a ,上必有最大值． 证明：()x f 1在[]b a ,上连续，故有界，从而存在 00>M ，使()x f 1≤0M ， ∈x []b a ,，从而()≤x f 0M ，∈x []b a ,． 令()x f M b x a ≤≤=sup ，则0 M M ≤为有限数，对任给的N k ∈有 ∈k x []b a ,，()k M x f k 1 - >.又{}k x 是有界数列,则有收敛子列{}k n x ,设其极限为0x ,即0lim x x k n k =∞ →∈[]b a ,,于是 ()M n M x f x f k k n n k n k =- ≥=∞ →∞ →)1 (lim )(lim 0. 再令∞→n ,()()M x f x f n n ≥=∞→00lim ,从而()M x f =0. 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 推论1 （有界性定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界。 定理9 （介值性定理） 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠。 若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>） ，则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()f x μ=。 （此定理的证明用如下的“根的存在定理”来说明） 这个定理表明，若f 在[,]a b 上连续，又不妨设()()f a f b <，则f 在 [,] a b 上必能取得区间 [(),()] f a f b 中的一切值，即有 [(),()]([,])f a f b f a b ?。 推论2（根的存在定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与 ()f b 异号，则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()0f x =。即方程()0f x =在(,)a b 内至少有一个根。 证明：下面去说明：若()x f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a < 0，()f b > 0，则必存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。 记集合 {}0)(],[>∈=x f b a x E ，易知?≠E ；由于E 有下界 a ， 故必有下确界，记为E inf =ξ， 故对),[ξa x ∈?，有0)(≤x f ，对此式两边取极限-→ξx ，由于()x f 在[,]a b 上连续，因此有0)(≤ξf 。 这样，就有E ?ξ。故可在E 中选取一个数列{}n x ，使 ) (∞→→n x n ξ。且对这些n x ，也满足0)(>n x f ，在此式两边对 )(∞→n x n 取极限，则有0)(≥ξf 。 故0)(=ξf ，证完。 例2 设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ?。证明: 存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =。 证明： 条件([,])[,]f a b a b ?意味着:对任何[,]x a b ∈有()a f x b ≤≤，特别有()a f a ≤及()f b b ≤。若()a f a =或()f b b =，则取0x a =或0x b =，从而式 00 ()f x x =成立。现设 () a f a <与 ()f b b <。令 ()()F x f x x =-，则 ()()0,()()0F a f a a F b f b b =->=-<。故由根的存在性定理，存在0(,)x a b ∈，使得0()0F x =，即00()f x x =。 例3 证明任何一个一元三次方程032213=+++a x a x a x 至少有一个实根. 证明: 设32213)(a x a x a x x f +++=， ∵-∞=-∞→)(lim x f x ，+∞=+∞→)(lim x f x ， ∴ 根据保号性，0,0a b ?<>使得()0,()0f a f b <>，∵)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <，∴至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ，即方程032213=+++a x a x a x 至少有一个实根. 注: 任意实系数奇次多项式必有实根。 定理9 若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续。 证明：不妨设f 在[,]a b 上严格单调增。此时f 的值域即反函数1f -的定义域为[(),()]f a f b 。任取0((),())y f a f b ∈，设100()x f y -=，则0(,)x a b ∈。于是对任给的0ε>，可在(,)a b 内 x 的两侧各取异于0 x 的点 12102,()x x x x x <<，使它们与0x 和距离小于ε 。 设 1122(),() y f x y f x ==，由 f 的严格增性有 102 y y y <<。令 2001min{,} y y y y δ=--，则当 0(;) y U y δ∈时，有112()x x f y x -<=<，故有 1100|()()|||f y f y x x ε ---=-<。这就证明了1f -在其定义域[(),()]f a f b 上连 续。