人教A版数学必修一《函数模型的应用实例》(二)学案

山东省泰安市肥城市第三中学高中数学函数模型的应用实例（二）

教学内容教学设计

【情境导入】

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

【自主·合作·探究】

例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的

进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：

销售单价/元 6 7 8 9

日均销售量/

桶

480 440 400 360

销售单价/元10 11 12

日均销售量/

桶

320 280 240

请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得

y=(520–40x)x–200

= –40x2+520x–200，0＜x＜13

易知，当x=6.5时，y有最大值.

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. ．指数型函数点评：在解决实际问题中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应该注意提高学生的读图能力。

模型的应用例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的

变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家

马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：

y=y0e rt，

其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长

率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

年份1950 1951 1952 1953 1954

人数/

万人

55196 56300 57482 58796 60266

年份1955 1956 1957 1958 1959

人数/

万人

61456 62828 64563 65994 67207

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的

具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）

如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

（2）例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表

身高/cm 60 70 80 90 100 110

体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50

身高/cm 120 130 140 150 160 170

体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反

映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模

型的解析式.

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为

偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否

正常？

例2 解答：

（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可

考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.

如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：

70

160

7.9

47.25

a b

a b

?=?

?

?

=?

??

，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数

模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，

可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反

映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，

根据

实际，提

示引导,

判定所给

的奖励模

型是否符

合公司要

求,就是

依据这个

模型进行

奖励时，

总奖金不

超过5万

元。

由计算器算得y≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，

所以，这个男生偏胖

归纳总结：

通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：

例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，

1

2

y ax b

=+,y=ab x+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.

由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37).

（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有

3 1.30.1

,

2 1.21

a b a

a b b

+==

??

??

+==

??

解得

所以得y = 0.1x + 1.

（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有

1

42 1.2,

93 1.3

0.05

0.35

0.7

a b c

a b c

a b c

a

b

c

++=

?

?

++=

?

?++=

?

=-

?

?

=

?

?=

?

解得

所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.

（3）设y a x b

=+，将A，B两点的坐标代入，有

10.48

,

0.52

2 1.2

a b a

b

a b

+=

?=

?

?

??

=

+=

??

?

解得

所以0.480.52

y x

=+

（4）设y=ab x+c，将A，B，C三点的坐标代入，得

2

3

10.8

1.2,0.5

1.4

1.3

ab c a

ab c b

c

ab c

+=

?=-

?

??

+==

??

??=

+=?

?

解得

【当堂达标】1.课本108页2题

【总结提升】

1．数学模型

所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.

2．关于数学建模中的假设

就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.

（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.

一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解.

【作业】课本110页1,2

【拓展﹒延伸】

1..已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为

2.1%.

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么

时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

2．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pq x+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？

【板书设计】

一、几类函数模型

二、例题

例1

变式1

例2

三、反思提升

四、【作业布置】课本98页1,2

【教学反思】

学生分析抽象概括能力差，不会建立数学模型，解模。

参考答案答案：

1.（1）列表

（2）画散点图.

（3）确定函数模型.

甲：y1= –x2 +12x+41，

乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5

（4）做出函数图象进行比较.

计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9.