23绝对值
2.3 绝对值
1.会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。
2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小
（1）如果两个数只有_________，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这
两个数 ；
(2)在数轴上，_____________________________________叫做这个数的绝对值。有理数a 的绝对值记作： 。
（3）一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；０的绝对值是 ．
（4）—3的绝对值是_____，0的绝对值是_______，_________的绝对值是1
│-8│= ， -│8│= ，│x │=8，则x=
探究1：让学生观察图画，并回答问题，“两只狗分别距原点多远?”
1． 引入绝对值概念
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数
a 的绝对值记作│a │．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0．
2．求下列各数的绝对值： - 7.8， 7.8， - 21， 21，-94，9
4， 0
3．议一议：（1）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
（2）一个数的绝对值与这个数有什么关系?
4．通过上面例子，引导学生归纳总结出：
探究2： 1、(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：
-1.5 ， -3 ， -1 ， -5 ；
(2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小；
(3)你发现了什么?
2．比较下列每组数的大小：
(1)-1和-5； (2)65
- 和 -2.7。
得分：
1. │-5│= , │+3│= ，│0│= .
2.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是 .
3.用“>、<、=”填空：│+8│ │-8│ , -5 -8.
4.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于 .
5.绝对值小于3的整数有 个,分别是 .
6．比较：－12和-23
的大小
1．绝对值小于4的所有负整数有_________；绝对值不大于10.2的整数有 个。
2．如果a 表示一个数，那么a - 表示_____，|a|表示_____________。
3．在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______．
4．若│x -3│+│y+4│+│z -5│=0,分别求x,y,z 的值．
5.比较下列各组数的大小：
(1) (2) (3) (4) 6选做题：
若 则a 0; 若 则a 0.
,a a -=,a a =;,72101--;,5.03
2--;,032-.7,7-
绝对值分类题七年级
四、绝对值 （一）基本计算、非负性运用 1、若|a|=4，|b|=3；且|a+b|=a+b 。求a-b 的值。 2、已知05-y 4-x =+，求xy 的值。 3、8-y 5-x -=，求 y x 的值。 4、∣x-2∣和∣y+3∣互为相反数，求4x+2y 的值。 5、已知()22018b 2017-a +和互为相反数，求a-b 的值。 6、一个数的绝对值等于他的相反数，这个数一定是（ ） A 、负数 B 、正数 C 、0或负数 D 、0或正数 7、已知：|x|=5，|y|=1，求y x y -x ++的值。 8、数a 的数值上的位置如图所示，且|a+1|=2，求|3a+7|的值。 如果没有数轴，请你补充一个a 值的限定，使结果和上述结果相同。
（二）绝对值化简 1、=-----739297535274 2、-a a =，则化简2-a -1-a 所得的结果是（ ） A 、-1 B 、1 C 、2a-3 D 、3-2a 3、a ＜0时，化简a 3a a +的结果是（ ） A 、3 2 B 、0 C 、-1 D 、-2a 4、若ab ＞0，则ab ab ++b b a a 的值等于（ ） 。 5、若a -22-a =，求a 的取值范围；若2-a 2-a =，求a 的取值范围。 6、计算： 20191-2020131-4121-311-21+???? 7、已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对用点分别是A ，B ，C ，其位置如图所示： 化简：b a 4c -a 3c b 2a +--++= 8、设abc 为非零的有理数，且0a a =+；ab ab =；0c c =-。 化简：c -a b -c -b a b ++- 9、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且∣a ∣=∣b ∣
有理数难点之绝对值专题
绝对值专题题型综合 一、代数意义 例1 （1）已知a，b都是有理数，且|a|=a，|b|b,则ab是（） A. 负数 B. 负数或零 C. 正数 D. 非负数（2）若m是有理数，则m-|m|一定是（） A. 零 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数 例2 （1）下列式子正确的是（） A. B. C. D. （2）对于|m-1|,下列结论正确的是（） A. |m-1||m| B. |m-1||m| C.|m-1||m|-1 D.|m-1||m|-1 例3 （1）若|x-2|+x-2=0，则x的取值范围。 （2）|a+(-6)|=|a|+|-6|，则a为数。 （3）。 （4）若m=-1998，+22m+999|+20= 。 例4 （1）,|y|=3，且x与y互为相反数，求xy-4y的值。 （2）已知，且|x|=3，|y|=4，求的值。
例6 （1）绝对值小于100的所有整数和为。 （2）若a,b,c均为整数且满足，则 ( ) A. 1 B. 2 C.3 D. 4 （3）若的值是一个定值，求a的取值范围。 二、几何意义 例1 （1）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点A，B，C，在数轴上的位置关系是（） A. 点A在点B、C之间 B. 点B在点A、C之间 C. 点C在点A、B之间 C. 以上三种情况均有可能 例2 （1）已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得x= （2）利用绝对值的几何意义求的最小值 的最小值 的最小值 例3 （3）当的值最小时，的值最大是，最小是。 （4）如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5台机床到供应站P的距离总合最小，点P建在哪？最小值是多少？
绝对值分三种情况讨论
分三种情况讨论 在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论： 解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论． 知识迁移： （1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|； 知识应用： （2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9． 提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0． 1.（1）若|x+5|=2，则x=﹣3或﹣7； （2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，当取此最小值时，x的取值范围是﹣3≤x≤1； （3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9． （1）解方程：|2x+3|=8． （2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1． 3.解方程：|x+1|+|x﹣3|=4． 4.解方程:|x﹣2|+|x﹣1|=3， 5.解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|=x﹣3． 6.方程|x+1|﹣2|x﹣2|=1的解为x=或x=4． 7.|2x+1|=|x﹣3| 8.解绝对值方程：|x﹣4|+|x﹣3|=2． 8.解方程：|x|+|2x﹣1|=5． （1）根据上面的解题过程，方程2|x﹣1|﹣x=4的解是x=6或x=﹣．（2）根据上面的解题过程，求解方程：2|x﹣1|﹣|x|=4． （3）方程|x|﹣2|x﹣1|=4无解．（直接在_____上填“有”或“无”）
2020初中数学课件上海初一数学绝对值难题解析
2020初中数学课件上海初一数学绝对值难 题解析 上海初1数学绝对值困难解析灵活利用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在甚么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在甚么条件下成立？经常使用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）应用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 第1类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的应用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左边，请化简以下式子：（1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a1定不是负数；（2）b多是负数；哪一个是正确的？第2类：考察对绝对值基本性质的应用 5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x ＋y＋2012的值？ 6、设a、b同时满足： (1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那末ab等于多少？ 7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。 8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？ 9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，求|b－a|－|d－c|的值？第3
思维特训(四) 绝对值与分类讨论
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝???a （a >0）， 0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
初一绝对值问题较难问题详解
初一绝对值问题较难问 题详解 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初一绝对值问题较难问题详解 例1211x x x -+-= 分析：倒推不是很方便我们采用0点法去掉绝对值。先从最里面去。 大情形2个1x ≥的时候有211x x x -+-= 有311x x --= 其实显然有 3x-1-x=1 x=1 大情形2 x<1的时有211x x x --+= 11x x -+=这里没上个大情形好办绝对值有商量的余地当1x ≥-的时候有左边为x-x-1=-1的绝对值是1恒等式 小 情况2x<-1 得到11x x ++=得到x=0或-1都不在大前提下矛盾。 综上11x -≤≤为所求 例2 224321x x --=-求所有解的和 分析; 12 x ≥左边显然非负利用非负性得到 接下来我们再用0点法去绝对值大情况1 2x ≥时候 4x-11=2x-1 x=5 大情形2 x<2的时候843x -- =2x-1 8-4x-3=2x-1 x=1解的和为6 例3 a,b,c,d 为整数2a b b c c d d a +++++++=求d a + 分析：4个非负整数和为2，可能为3个0一个2或2个0，2个1 第一个情况是不存在的由对称性不妨设前3个加数为0 a+b=0,b+c=0,c+d=0,得到a=c,b=d 得到b==-a 结果a+d=0与绝对值为2矛盾。那么只能是2个1，2个0 所以结果为1或0 例4 (2)21a x a b +-+<解集是13x -<<求a+b
分析;采用端点代入法我们可以得到221a a b ---+=，31a b += 再把-3代入当方程解3621a a b +-+=得到7a b += 于是代入731a a +=+ 所以a+7=3a+1或a+7+3a+1=0 3a =,10b =或2,5a b =-=只第一组代入验算确实-1
绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论： ①__________，分类； ②根据__________，筛选排除． 绝对值应用（分类讨论）（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.若，则的值为( ) A.4 B. C.-4 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 2.若，则的值为( ) A.1 B.±1 C.±7 D.1或7 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 3.若，则( ) A.4 B.8 C.4或8 D.4或-8 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 4.若，，则( ) A.8 B.±8 C.8或-2 D.±2 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 5.若，，则( ) A.-3 B.-3或7 C.3或-7 D.±3或±7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 6.已知，，且，则a+b的值为( ) A.±3 B.±13 C.3或-13 D.-3或13 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 7.若，，且，则x与y的值分别为( ) A.或 B.或或 C.或或 D.或或或 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 8.已知，，且，则的值为( ) A.±3 B.-3或-7 C.-3或7 D.或 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 9.若，则的取值共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解题思路：
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0；
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为
AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值． 【解决问题】 解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
201x上海初一数学绝对值难题解析
2016上海初一数学绝对值难题解析 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下 列式子： （1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
第二类：考察对绝对值基本性质的运用 5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？ 6、设a、b同时满足： (1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那么ab等于多少？ 7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。 8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？ 9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25， 求|b－a|－|d－c|的值？ 第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论 以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。 10.根据以上材料解决下列问题： （1）化简：2|x－2|－|x＋4| （2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值。 11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？
初一数学绝对值典型例题
绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a初一数学绝对值典型例题精讲
标准实用 文案大全第三讲绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义） （6）|ab|=|a|·|b|；|ba|=||||ba（b≠0）； （7）|a|2=|a2|=a2； （8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥ |a-b| 内容概述 绝对值的定义及性质 标准实用 文案大全[例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2 （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析 令狐采学 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－ b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
(完整版)绝对值提高专项练习题
(完整版)绝对值提高 专项练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
绝对值 1、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求 y x y x -+的值。 2、a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 3、若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 4、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 5、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子 4422++-+c a c ab 的值. 6、若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 7、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 8、02b 1=++-a ，求()2001b a ++()2000b a ++…()2 b a ++=+b a ． 9、已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式
.) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 10、 已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 11、 a 与b 互为相反数，且54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 12、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 13、（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是______。 14、若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 15、大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ． 16、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
初一绝对值问题较难问题详解
初一绝对值问题较难问题 详解 Prepared on 24 November 2020
初一绝对值问题较难问题详解 例1211x x x -+-= 分析：倒推不是很方便我们采用0点法去掉绝对值。先从最里面去。 大情形2个1x ≥的时候有211x x x -+-= 有311x x --= 其实显然有 3x-1-x=1 x=1 大情形2 x<1的时有211x x x --+= 11x x -+=这里没上个大情形好办绝对值有商量的余地当1x ≥-的时候有左边为x-x-1=-1的绝对值是1恒等式 小 情况2x<-1 得到11x x ++=得到x=0或-1都不在大前提下矛盾。 综上11x -≤≤为所求 例2 224321x x --=-求所有解的和 分析; 12 x ≥左边显然非负利用非负性得到 接下来我们再用0点法去绝对值大情况1 2x ≥时候 4x-11=2x-1 x=5 大情形2 x<2的时候843x -- =2x-1 8-4x-3=2x-1 x=1解的和为6 例3 a,b,c,d 为整数2a b b c c d d a +++++++=求d a + 分析：4个非负整数和为2，可能为3个0一个2或2个0，2个1 第一个情况是不存在的由对称性不妨设前3个加数为0 a+b=0,b+c=0,c+d=0,得到a=c,b=d 得到b==-a 结果a+d=0与绝对值为2矛盾。那么只能是2个1，2个0 所以结果为1或0 例4 (2)21a x a b +-+<解集是13x -<<求a+b
分析;采用端点代入法我们可以得到221a a b ---+=，31a b += 再把-3代入当方程解3621a a b +-+=得到7a b += 于是代入731a a +=+ 所以a+7=3a+1或a+7+3a+1=0 3a =,10b =或2,5a b =-=只第一组代入验算确实-1
去绝对值符号的几种常用方法
去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值难点突破 1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为． 2．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数 式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况： （1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1； （2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3； （3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1． 综上讨论，原式= 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|； （3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值． 3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值． 4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为． （3）如果|x﹣2|=5，则x=． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 5．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设 聚焦《绝对值》 【图解考点】 【技法透析】 1．绝对值的基本性质 在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a 、b 为有理数，则： (1)非负性：①a ≥0；②若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0； (2)若a ＝b ，则a ＝±b ；222a a a == (3)ab a b =?；a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+． 特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0． 2．去绝对值符号的方法 去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有： (1)由已知条件去绝对值． (2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值． (3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值， 特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可． 3．绝对值方程 (1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ， ②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0， ③当a<0时，方程无解． (2)解绝对值方程的一般步骤 ①求出各个零界点． ②根据未知数的取值范围分类讨论． ③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程． 特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法． 4．绝对值的几何意义在生活中的应用 在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-，则： (1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值； (2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤1 2n a +时取最小值． 【名题精讲】 赛点1 绝对值的化简 绝对值问题的解法 绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下： ⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。 ⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。 ⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。 ⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。 下面举例说明绝对值问题的解法。 一、运用绝对值概念： 例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（）。 （A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x 解：∵x＜-2, ∴1+x＜0 ∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x 于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣ 又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。 二、平方法： 例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣, = 。 解：原式两边平方得： 1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2 ∵∣a∣=-a,即a≤0 ∴∣a-1∣=1-a 三、分类讨论法： 例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于。 解：∵ab＞0,∴a、b同号。 ⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab ∴∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。 ⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／ ab=-1-1-1=-3。 综上所述，本题答案为1或-3。 四、应用非负数性质： 例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0 ∵ x+y-1=0初一数学绝对值难点突破(含答案)
绝对值考点专题讲解(新)
绝对值问题的解法
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