最新初中数学竞赛试题及答案
初中数学竞赛试题及
答案
全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）
题号
一 二 三 总分
（1—10） （11—
18） 19 20
得分
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 方程 ?Skip Record If...?的根是?Skip Record If...?
A. ?Skip Record If...?
B. ?Skip Record If...?
C. -2009
D. 2009
2. 如果?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的关系是
A ．?Skip Record If...?≥?Skip Record If...?
B ．?Skip
Record If...?＞?Skip Record If...? C ．?Skip Record If...?≤
?Skip Record If...? D ．?Skip Record If...?＜?Skip Record
If...?
3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是
一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是
A ．?Skip Record If...?
B ．?Skip Record If...?
C ．?Skip Record If...?
D ．?Skip Record If...?
4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA
的度数是
A ．75°
B ．72°
C ．70°
D ．65°
图1 图2
（第3题图）（第4题
图）
5. 已知?Skip Record If...?=3，?Skip Record If...?=6，?Skip Record
If...?=12，则下列关系正确的是
A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip
Record If...? D. ?Skip Record If...?
6. 若实数n满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-
n )的值是
A．1 B．?Skip Record If...? C．0
D. -1
7. 已知△ABC是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是
A．∠A＞60° B．∠C＜60° C．∠B＞45° D．∠B＋∠C＜
90°
8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两
数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是
A．-2 B．-1 C．0 D．2
9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P到圆心0的距离为9，则通过P点且长
度是整数值的弦的条数是
A．5 B．7 C．10 D．12
10. 已知二次函数?Skip Record If...?的图象
如图所示，记?Skip Record If...?，?
结论正确的是
A．?Skip Record If...?＞?Skip
Record If...?＞?Skip Record If...?＞0
C ．?Skip Record If...?＞0＞?Skip Record If...?
D ．?Skip Record If...?＞0＞?Skip Record If...?
二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11. 已知 |?Skip Record If...?|=3，?Skip Record If...?=2，且?Skip Record If...?＜0，则?Skip Record If...?= .
12. 如果实数?Skip Record If...?互为倒数，那么?Skip Record
If...? .
13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其
中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为?Skip
Record If...?，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .
14. 如图，在直线?Skip Record If...?上取一点?Skip Record If...?，作?Skip
Record If...?⊥?Skip Record If...?轴，?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...?轴，垂足分别为A 、B ，若矩形OAPB 的面积为4，则这样的
点P 的坐标是 .
15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且
AE=AF ，∠CDE=∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条.
（第14题图） （第15题图） （第16题图）
16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD
，使点B
重合于点D ，折痕为EF ，若AD=2，BC=8，则tan ∠CDE= .
（第10题图）
D F B A E
C C
17. 实数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的最大值是 . 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10
点B 的坐标为（8，0），点C ，D 在以OA 半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C
的坐标为 . （第18题图）
三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）
19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价
2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这
批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价
比较，不考虑其它成本）.
20. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（点E 与
A 、C 都不重合），点F 在斜边A
B 上（点F 与A ，B 都不重合）
（1）若EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=?Skip Record If...?，△AEF 的面
积为?Skip Record If...?，写出?Skip Record If...?与
?Skip Record If...?之间的函数关系式，并指出
?Skip Record If...?的取值范围；
（2）试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积
同时平分，若存在，求出AE 的长，若不存在，说
明理由.
A
F C B
2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试题参考答案
一、选择题：DBCAB ，CDADB
提示：
1．D ；由?Skip Record If...?，得?Skip Record If...?
2．B ；由?Skip Record If...?＜0，?Skip Record If...?＞0知?Skip Record If...?＜0且|?Skip
Record If...?|＞|?Skip Record If...?|，所以|?Skip Record If...?|2＞|?Skip Record If...?|2，即
?Skip Record If...?2＞?Skip Record If (2)
3．C ；将图1中的平面图折成正方体
4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所
以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.
5．B ；由2
?Skip Record If...?=3，2?Skip Record If...?=12，得2?Skip Record If...?·2?Skip Record If...?=3×12. 即2?Skip Record If...?=36=62，而2?Skip Record If...?=6
?Skip Record If...?
6．C ；设?Skip Record If...?，
又?Skip Record If...?
7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.
8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右
数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2
这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋
5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.
9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=?Skip Record If...?，所以⊙O 中，通
过P 点的弦长
L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根
据圆的
对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.
10. B ；由图象知?Skip Record If...?＜0，?Skip Record If...?=0，?Skip Record If...?＞1，
从而2?Skip Record If...?＋?Skip Record If...?＞0，又?Skip Record If...?＜0，即?Skip Record If...?＜?Skip Record If...?.
二、填空题：11. 9或?Skip Record If...? 12. 1 13. ?Skip Record If...? 14.（4，-1），（-1，4）
15. 3条 16. ?Skip Record If...? 17. O 18.（1，3）
提示：
11．9或?Skip Record If...?；由条件知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?
12．1；由已知条件知?Skip Record If...?=1，所以原式
?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
13. ?Skip Record If...?；设口袋中有黄球?Skip Record If...?个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（?Skip Record If...?），由题意得分程组 解此方程组即可.
15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以
∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边
三角形，所以DB=BF=DF=DE.
16．?Skip Record If...?；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形 ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由?Skip Record If...?，得?Skip Record If...?知?Skip Record If...?≥0，又?Skip
Record If...?，?Skip Record If...?，由此可见，当?Skip Record If...?≥-1时，?Skip
Record If...?随着?Skip Record If...?的增大而减小，又因为?Skip Record If...?≥0>-
1, ，故当?Skip Record If...?=0时，?Skip Record If...?的最大值是0.
18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），
???+-==?34||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC
∴ CD//OA ，CD=OB=8
过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF= CD=4
过点C 作CE ⊥OA 于点E ，
∵ A （10，0），∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1.
连结MC ，则MC= OA=5 ∴ 在Rt △CMF 中，?Skip Record If...?
∴ 点C 的坐标为（1，3）
三、解答题 19. 解：设第二次购书?Skip Record If...?本，依题意得 整理得 ，解得 当?Skip Record If...?=50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.
当?Skip Record If...?=60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由
2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）
20. 解：（1）在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC 的周长为 12，又因EF 平分△ABC 的周长，∴AE ＋AF=6，而AE=?Skip Record If...?，∴AF=6－?Skip Record If...?，
过点F 作FD ⊥AC 于D ，则?Skip Record If...?
∴?Skip Record If...?所以
?Skip Record If...? （0＜?Skip Record If...?＜3）
（2）这样的EF 存在，此时AE=?Skip Record If...? .
S △ABC =?Skip Record If...?，由EF 平分△ABC 的面积，所以
，解得 ∵0＜?Skip Record If...?＜3，∴ 不合舍去，当 时 ，符合题意，所以这样的EF 存在，此时AE= .
2121x
x 1502110100=+-030001102=+-x x 60
,5021==x x 266,26621+=-=x x 2662+=x 2661-=x 52666＜x +=-266-3512522=+-x x A F E C B
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