第51讲 抛物线(达标检测)(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

《抛物线》达标检测

[A组]—应知应会

1．（2020春?平谷区期末）已知抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是（）A．2B．4C．6D．8

【分析】直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．

【解答】解：抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是：4．

故选：B．

2．（2020?新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）

A．2B．3C．6D．9

【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．

【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，

故有：9+＝12?p＝6；

故选：C．

3．（2020?北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l 于Q，则线段FQ的垂直平分线（）

A．经过点O B．经过点P

C．平行于直线OP D．垂直于直线OP

【分析】不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．

【解答】解：不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，

不妨设P（1，2），

∴Q（﹣1，2），

设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），

可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，

故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，

故选：B．

4．（2020?汉阳区校级模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上第一象限上的点，B为l上一点，满足，则直线AB的斜率为（）

A．B．C．3D．

【分析】作出图形，根据抛物线的定义及已知条件可得直线AB的斜率，进而得解．

【解答】解：作出图形，过点A作AD⊥直线l，垂足为D，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，设|AF|＝m，

∵，

∴|FB|＝2|AF|＝2m，

∴，

设直线AB的倾斜角为θ，则，

∴直线AB的斜率为．

故选：D．

5．（2020?沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为（）

A．B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x

【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出A的坐标，利用|AF|＝1，求解p，然后推出抛物线方程．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛

物线C在第一象限内的交点为A（p，p），

因为|AF|＝1，所以，

解得p＝．

抛物线C的方程为．

故选：A．

6．（2020?泸州四模）焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在△EFP 中，sin∠EFP＝sin∠FEP，则|EP|的值是（）

A．B．4C．2D．1

【分析】设PE的倾斜角为α，利用已知条件求出α的大小，判断PHEF的形状，然后求解即可．【解答】解：过P（x轴上方）作准线的垂线，垂足为H，

则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝?sin∠FEP，

则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|＝|PF|，

∴|PE|＝|PH|，

设PE的倾斜角为α，则cosα＝＝＝，

α＝，四边形PHEF是正方形，

所以：|PE|＝2．

故选：A．

7．（2020?梅河口市校级模拟）已知第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点M的坐标为（）

A．（1，﹣8）B．（1，﹣4）C．D．

【分析】由抛物线的性质，可知焦点的距离等于到准线的距离，求出P的横坐标，然后求出点M的坐标．【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为x＝﹣4，设P的横坐标为x0，

第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，

则，所以x0＝1，

所以y0＝﹣4，所以M（1，﹣4）．

故选：B．

8．（2020?雨花区校级模拟）抛物线y＝的焦点到圆C：x2+y2﹣6x+8＝0上点的距离的最大值为（）A．6B．2C．D．

【分析】求出拋物线的焦点为F（0，4），圆的圆心坐标与半径，然后求出F到圆C上点的距离的最大值．

【解答】解：拋物线的焦点为F（0，4），

圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为C（3，0），半径r＝1，

F到圆C上点的距离的最大值为．

故选：A．

9．（2020?鼓楼区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，直线AB与抛物线C的准线l交于点D，AA1⊥l于A1，若△AA1D的面积等于，则p＝（）

A．B．2C．D．4

【分析】分别求得抛物线的焦点和准线方程，设出|BF|＝t，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，过B作BN⊥l于N，运用抛物线的定义和三角形相似的性质，以及三角形的面积公式，计算可得所求值．

【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，

设|BF|＝t，由，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，

过B作BN⊥l于N，可得|BN|＝|BF|＝t，

又|AA1|＝|AF|＝3t，

在△AA1D中，＝，

即为＝，可得|BD|＝2t，

在△DMF中，＝，即为＝，

解得p＝t，

又△AA1D的面积等于，可得?3t?＝8，解得t＝，

则p＝×＝2．

故选：B．

10．（2020?黄州区校级二模）若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x ＝﹣1上的动点，则|P A|+|PF|的最小值为（）

A．8B．C．D．

【分析】求出点A为（4，4），画出图形，利用对称性转化求解即可．

【解答】解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，，

∴x A＝4，代入抛物线方程，得，不妨取点A为（4，4），

设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），

∴|P A|+|PF|＝|P A|+|PE|≥|AE|＝，

故选：D．

11．（多选）（2020春?怀化期末）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A．点F的坐标为（，0）

B．若直线MN过点F，则x1x2＝﹣

C．若＝，则|MN|的最小值为

D．若|MF|+|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为

【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断A，利用抛物线的性质，通过x1x2＝﹣，判断B；根据抛物线的通径，判断C；通过数形结合转化求解判断D即可．

【解答】解：抛物线x2＝y的焦点为F（0，），所以A不正确；

根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2＝﹣，所以B正确；

若＝，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p＝，所以C正确；

抛物线x2＝y的焦点为F（0，），准线方程为y＝，

过点M、N、P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，

则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，|MM′|+|NN′|＝|MF|+|NF|＝，

所以|PP′|＝＝，

所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP′|﹣＝＝，所以D正确；

故选：BCD．

12．（多选）（2020?菏泽模拟）已知直线l过抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点，且与该抛物线交于M，N两点，若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则（）

A．抛物线C的方程是y2＝﹣8x

B．抛物线的准线方程是y＝2

C．直线l的方程是x﹣y+2＝0

D．△MON的面积是

【分析】设M，N的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得|MN|的表达式，再由MN的中点到y轴的距离是6可得M，N的横坐标之和，进而可得p的值，求出抛物线的方程，及准线方程，可判断A正确B不正确，进而求出直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出三角形MON的面积，可判断所给命题的真假．

【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线的定义可得|MN|＝﹣（x1+x2）+p＝16，

又因为MN的中点到y轴的距离是6，所以|x1+x2|＝12，所以x1+x2＝﹣12，

所以p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝﹣8x，所以A正确，

准线方程为x＝2，所以B不正确；

设直线l的方程x＝my﹣2，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得y2+8my﹣16＝0，y1+y2＝﹣8m，所以x1+x2＝m（y1+y2）

﹣4＝﹣8m2﹣4＝﹣12，

解得m＝±1，所以l的方程为：x＝±y﹣2，所以C不正确；

S△MON＝|OF|?|y1﹣y2|＝＝＝8，所以D正确；

故选：AD．

13．（2020?海南）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．【分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），

代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝；

x1x2＝1，

∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．

故答案为：．

14．（2020?衡水模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M（1，1）的直线与C交于A，B两点，若M恰好为AB的中点，则|AF|+|BF|＝；直线AB的斜率为．

【分析】过点A，B，M分别作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，通过梯形中位线定理，结合抛物线的定义，得到关系式，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求解直线AB的斜率即可．【解答】解：过点A，B，M分别作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝2；

根据梯形中位线定理，得|AA1|+|BB1|＝4．

根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝4．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2，

由，，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），

则直线AB的斜率为．

故答案为：4；2．

15．（2020?河南模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，若斜率为2的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为．

【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2＝8x，可得准线方程为：x＝﹣2，过点F（2，0）且斜率2的直线l：y＝2（x ﹣2），

由题意可得：，可得x2﹣6x+4＝0，

直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：3，

则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：3+2＝5．

故答案为：5．

16．（2020?东湖区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P（3，m）是抛物线上一点，过点P向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△PDF为等边三角形，则p＝．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出P、Q坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得p的值．

【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，

P（3，m）是抛物线上一点，则m2＝6p，

由题意可得D（﹣，m），

由于△PFD为等边三角形，则有|PF|＝|PD|＝|FD|，

即有：3+＝2p，可得p＝2．

故答案为：2．

17．（2020?河南模拟）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长|AB|＝．

【分析】由椭圆方程求得F的坐标，并求得p，设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数写出抛物线在A，B处的切线方程，结合已知求得A，B的横坐标的和，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系求得k，进一步求出A，B的纵坐标的和，再由抛物线的弦长公式求|AB|．【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线方程为x2＝﹣8y．

设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），

其中，，由，得y′＝﹣．

∴在点A处的切线方程为，化简得y＝，①

同理可得在点B处的切线为，②

联立①②得，由M的横坐标为2，得x1+x2＝4．

将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．

∴x1+x2＝﹣8k＝4，得k＝﹣．

∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝．

得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣6）＝10．

故答案为：10．

18．（2020?合肥模拟）过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于C，D两点，（从下至上依次为A，C，D，B）．若|BD|＝2|CA|+1，则直线l的斜率k为．【分析】求得抛物线的焦点和准线，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，与抛物线方程联立，运用韦达定理，结合抛物线的定义和已知条件，解方程可得直线的斜率k．

【解答】解：抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，

设A，B的横坐标分别是x1，x2，

由可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

即有x1+x2＝2+，x1x2＝1（x1＜x2）①，

圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F，半径为1，

可得|BD|＝|BF|﹣1＝x2+1﹣1＝x2，|AC|＝|AF|﹣1+1＝x1+1﹣1＝x1，

由题意可得x2＝2x1+1②，

由①②可得x1＝，x2＝2，k＝2，

故答案为：2．

19．（2019?全国二模）以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连接

F A交抛物线于点D（D在线段F A上），延长F A交抛物线的准线于点C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，则|FD|

?|CD|的最大值为．

【分析】由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D两点坐标，即可用p 表示出|FD|?|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．

【解答】解：由题意可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，

所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2＝p2，

因为A，B两点为圆+y2＝p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，

由x＝0得，A（0，）；

所以直线AF的斜率为k AF＝＝﹣，因此直线AF的方程为y＝﹣x+，

由得C（﹣，p）；

由得D（，），

所以|FD|＝+＝，|CD|＝＝p，

|AD|＝＝p，

又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，

因此|FD|?|CD|＝p2≤32，当且仅当p＝6时，取等号．

故答案为：32．

20．（2019秋?滑县期末）已知抛物线y2＝x与直线y＝k（x﹣1）相交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求证：OA⊥OB；

（2）当S△AOB＝时，求k的值．

【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；

（2）求得弦长AB，以及点O到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，解方程即可得到所求k的值．【解答】解：（1）证明：将直线y＝k（x﹣1）代入抛物线的方程y2＝x，

消去y可得，k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，

判别式为（2k2+1）2﹣4k4＝4k2+1＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，

y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2+1﹣x1﹣x2）

＝k2（1+1﹣2﹣）＝﹣1，

即有x1x2+y1y2＝0，则?＝0，

即有OA⊥OB；

（2）由（1）可得|AB|＝?

＝?，

点O到直线AB：y＝k（x﹣1）的距离为d＝，

则S△AOB＝d?|AB|＝???

＝＝，

解得k＝±．

21．（2020春?武昌区校级期中）已知点A（0，1），B（1，2），C是抛物线x2＝4y上的动点．（1）求△ABC周长的最小值；

（2）若C位于直线AB右下方，求△ABC面积的最大值．

【分析】（1）由抛物线的方程可得A为抛物线的焦点，由抛物线的性质可得C到A的距离等于到准线的距离，过C作准线的垂线，要使三角形ABC的周长最小，则过B作准线的垂线，则最小周长为AB与B 到准线之和；

（2）要使三角形ABC的面积最大，则C在平行与直线AB且与抛物线相切的直线上，设切线方程，与抛物线联立由判别式为0，求出过C的切线方程，两条平行线的距离为C到直线AB的距离，再由面积公式可得面积的最大值．

【解答】解：（1）由抛物线的方程x2＝4y可得焦点F坐标（0，1），与A重合，准线方程为：y＝﹣1所以△ABC的周长为：AB+BC+AC，过C作CM垂直于准线于D，则AC＝CD，

所以周长为：AB+BC+CD≥AB+BD，当B，C，D在一条直线上时，周长最小，过B作准线的垂线交抛物线于M，交准线于D，这时M与C重合，

而AB＝＝，BD＝2+1＝3

所以周长的最小值为AB+BD＝3+，

（2）直线AB所在的直线方程为：y＝x+1，即y＝x+1，

设过C与直线AB平行，且与抛物线相切时C到直线AB的距离最大，

设过C的切线方程为：y＝x+b，由题意b＜1，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4x﹣4b＝0，

则△＝16+16b＝0，解得b＝﹣1，

所以过C的切线方程为：y＝x﹣1，

所以两条平行线间的距离d＝＝，即C到直线AB的距离为，

所以S△ABC＝|AB|?d＝＝1，

所以三角形ABC的最大面积为1．

22．（2020?让胡路区校级三模）已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．

（1）记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；

（2）记△P AB的面积为S△P AB，求S△P AB的最小值．

【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．

（2）设P点坐标为（x，y），求出切线P A的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△P AB的最小值．

（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，．【解答】

因为，所以，则，．

设直线l的斜率为k，则其方程为y＝kx+2，由得x2﹣4kx﹣8＝0，△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，

所以，所以k1k2为定值．

（2）解：设P点坐标为（x，y），

由（1）知切线P A的方程为①

切线PB的方程为②，

①﹣②得；

①×x2﹣﹣②×x1得．

由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），

所以＝．因为点P到直线AB的距离．

所以．

因为k2+2≥2，所以当k＝0时，S△P AB的最小值为．

23．（2020?重庆模拟）已知A（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，E，F为抛物线上异于点A的两点，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数．

（1）求直线EF的斜率；

（2）设直线l过点M（m，0）并交抛物线于P，Q两点，且＝（λ＞0），直线x＝﹣m与x轴交于点N，试探究与﹣的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由．

【分析】（1）由A在抛物线上，可得p的值，求出抛物线的方程，设E，F的坐标，可得直线AE，AF 的斜率，由题意可得E，F坐标的关系，再由点差法可得EF的斜率；

（2）由题意设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出向量，，再由题意可得λ的值，可求得，所以与的夹角为．

【解答】解：（1）设E（x1，y1），F（x2，y2），

因为点A（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，所以y2＝4x，

同时，有，，

，，

因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，

即即y1+y2＝﹣4，

故；

（2）设直线l的方程为l：x＝ty+m，P（x3，y3），Q（x4，y4），N（﹣m，0），

代入y2＝4x得y2﹣4ty﹣4m＝0，

所以y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m，

因为，且，

所以，

由题可知，由题可知，＝（x3+m，y3）﹣λ（x4+m，y4）＝（x3+m﹣λ（x4+m），y3﹣λy4）＝（+m﹣λ（+m），y3﹣λy4），

又因为+m﹣λ（+m）＝+m+（+m）＝+m++＝+m ﹣m＝＝0，

所以，

又所以，

所以即与的夹角为．

[B组]—强基必备

1．（2020?长沙模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）

【分析】设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．

【解答】解：设A（m，m2），B（0，n），

∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）

又A，B同在一个以F为圆心的圆上，

∴|BF|＝|AF|

∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2

∴直线l的斜率k＝＝﹣

∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，

设点D（a，a2），

∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣

∴直线AD的斜率为＝＝＝，

∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），

整理可得y＝x+1，

故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），

故选：A．

2．（2019秋?金安区校级期末）已知椭圆的一个焦点恰为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F，设抛物线的准线l与y轴的交点为M，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若以线段BM为直径的圆过点A，则|AB|＝．

【分析】求出椭圆的一个焦点坐标，代入抛物线求出抛物线方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2）和AB 的方程，结合圆的性质求出A点坐标，结合抛物线的弦长公式进行转化求解即可．

【解答】解：如图所示，

由椭圆的方程可得a＝2，b＝，

∴c＝═1．可得上焦点F（0，1）．

又恰为抛物线x2＝2py的焦点F，

∴＝1，解得p＝2．

∴抛物线方程为：x2＝4y．抛物线的准线方程为y＝﹣1，

可得M（0，﹣1）．

由题意可知：直线AB的斜率存在且不为0．

设直线AB的方程为：y＝kx+1，（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

将y＝kx+1代入x2＝4y得，化为x2﹣4kx﹣4＝0．

△＝16k2+16k＞0．得k＞0

则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，

若以线段BM为直径的圆过点A，

∵AB⊥AM，∴k?＝﹣1，即k?＝﹣1

得x1＝，y1＝kx1+1＝．即A（，．），

A在抛物线x2＝4y．∴（）2＝4?．，

化为k4+k2﹣1＝0，解得k2＝，

∴|AB|＝y1+y2+2＝k（x1+x1）+4＝4+4k2＝2+2．

故答案为：2+2．

3．（2019秋?杨浦区校级期末）已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆相外切，设动

圆的圆心P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|?|OB|的值；（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线，点D（﹣1，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．

【分析】（1）两圆外切转化为，动点P和圆心距离|PF1|＝r+2，和圆上点|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r ﹣r＝2＜|F1F2|，满足双曲线定义，即可得曲线C方程为双曲线右支；

（2）设P点坐标，代入双曲线方程，化简曲线3x2﹣y2＝0，设出A，B两点坐标，根据中点坐标公式得到m，n等式，化简即可得值；

（3）分两种情况讨论，当k不存在时，分别求出各点坐标，从而得到FM方程；当k存在时，联立方程，利用韦达定理得到关系式，证明关系式k FN＝k NM，可得直线过定点（1，0）．

【解答】解：（1）设P（x，y），动圆的半径为r，

圆的圆心F2（﹣2，0），半径为2，

由题意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，

可得P的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，

即曲线C的方程为（x≥1）；

（2）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣＝1，

曲线3x2﹣y2＝0即为y＝x和y＝﹣x，

设A（m，m），B（n，﹣n），

由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，

解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，

则|OA|?|OB|＝2|m|?2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|

＝4|x02﹣y02|＝4为定值．

|OA|?|OB|＝4；

（3）①当斜率不存在时，l1：x＝2 可知E（2，3），F（2，﹣3），

∵D（﹣1，0），所以直线ED：，

M（），所以直线FM：即y＝﹣3（x﹣1）

所以直线恒过（1，0）；

②当斜率存在时，l1：y＝k（x﹣2），

联立双曲线方程，消去y，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，

设E（x1，y1），F（x2，y2）

根据韦达定理可得，

则直线ED的方程为，当x＝时，y＝，M（）设点N（1，0），若FM过定点N，则两直线斜率相等．

即k FN＝k MN，

，

，

所以FM恒过定点N（1，0），

∴综上所述，直线FM恒过定点（1，0）．