数值计算实验报告
姓名:XX
学号:XX
专业:XX
实验一
1.题目
x 5-3x 3+x-1=0在区间[-8,8]上。试分别用:①二分法②Newton 法③弦截法(割线法):双点弦法④Newton 下山法,求方程的根,精确到6位有效数字. 2.2.1二分法
(1)二分法
算法分析
设函数有根区间表示为[],a b 。将有根区间[],a b 用中点01
()2
x a b =+分成两半,
计算函数值()2a b f +。如果()02a b f +=,就得到方程组的实根*2
a b
x +=,否则检查0()f x 与()f a 是否同号,若同号,则说明所求的根*x 在0x 的右侧,这时令
101,a x b b ==;否则,根*x 在0x 的左侧,这时令110,a a b x ==,这样新的有根区
间[]11,a b 的长度为[],a b 之半。对压缩了的有根区间[]11,a b 又施以同样的方法……如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间
[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ?????
其中,每个区间都是前一个区间的一半,因此二分k 次后的有根区间[],k k a b 的长
度为1
()2
k k k b a b a -=
- 可见,如果二分过程无限地下去,这些有根区间最终必收缩于一点*x ,该点显然就是所求的根。
取有根区间[],k k a b 的中点*1
()2
k k x a b =+作为根的近似值,此时的误差
*111
()()
22k k k k x x b a a b +-≤-=+
若事先给定的误差要求为ε,则只需*11
()2
k k x x a b ε+-≤+<便可以停止二分计
算。
(2)Newton 法
算法分析
对于非线性方程()0f x =,若已知根*x 的一个近似值k x (在这里是m ih +,将()f x 在k x 处展成一阶泰勒公式,忽略高次项,有()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-。右端是直线方程,用这个直线方程来近似非线性方程()f x 。将非线性方程()0f x =的根
*x 代入*()0f x =,即
*()()()0k k k f x f x x x '+-≈
解得*()
()
k k k f x x x f x ≈-
' 这就是Newton 迭代公式。 在具体的应用中,写为:1()
()
k k k k f x x x f x +=-',则这样获得的1k x +即为按Newton 迭代法求得的近似解。
(3)弦截法 算法分析
由于Newton 迭代法有时收敛速度较慢,而且有时函数的一阶导数()f x '不易
求得或较为复杂,因此,改用两个端点都在变动的弦,即用差商11
()()
k k k k f x f x x x ----替
代Newton 迭代公式中的导数()f x ',从而导出
111()
()()()
k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---。这就是双点弦截法。
双点弦截法详细的计算步骤为:
1)选定初始值01,x x ,计算0()f x ,1()f x 。 2)按双点弦法迭代公式计算2x ,并求2()f x 。
3)判断:如果2(),f x εε<给定精度,则迭代停止;否则,用22(,())x f x 和11(,())x f x 分别代替1100(,())(,())x f x x f x 和重复2)和3)。
(4)牛顿下山法 算法分析
Newton 下山法是扩大初值范围的修正Newton 法。将Newton 迭代法的计算
结果1()
()
k k k k f x x x f x +=-'进行适当的加权平均作为新的改进值1k x +,即
11(1)k k k x x x λλ++=+-。从而化简可得Newton 下山法迭代公式
1()
()
k k k k f x x x f x λ
+=-' 其中,λ称为下山因子。在本实验中,选取1
4
λ=为下山因子。
2.源代码
#include "math.h" #include
typedef double D;
double f(D x);
double fnewton(D x);
void divide(D a1,D a2); void newton(D a1); void cord(D a1,D a2);
void newton2(D a1);
using namespace std;
double f(D x)
{
return pow(x,5)-6*pow(x,3)+x-1;
}
double fnewton(D x)
{
if((5*pow(x,4)-9*pow(x,2)+1)!=0)
return (pow(x,5)-3*pow(x,3)-1)/(5*pow(x,4)-9*pow(x,2)+1);
else
return 1;
}
void divide(D a1,D a2)
{
for(;fabs(fabs(a1)-fabs(a2))>=1e-6;)
{
if(f(a1)*f((a1+a2)/2)<0)
a2=(a1+a2)/2;
else
a1=(a1+a2)/2;
}
cout< } void newton(D a1) { for(;fabs(fabs(a1)-fabs(a1-fnewton(a1)))>=1e-6;) a1-=fnewton(a1); cout<<"Newton法求得的结果是:"< //return 0; } void cord(D a1,D a2) { int n=0; for(;fabs(f(a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)))-0)>=1e-6;n++) { if(n==50) break; else { if(f(a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)))*f(a1)>0||(f(a2)-f(a1))!=0) a1=a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)); else a2=a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)); } } if(n==50) cout<<"双点弦法求解失败!!"< else cout<<"双点弦法求得的结果是: "<<( a2-f(a2)*(a2-a1)/(f(a2)-f(a1)) )< // return 0; } void newton2(D a1) { double t=1.0; for(;fabs(f(a1))<=fabs(f(a1-t*fnewton(a1)));t/=2.0) for(;fabs(fabs(a1)-fabs(a1-t*fnewton(a1)))>=1e-6;) a1-=t*fnewton(a1); cout<<"用Newton下山法求得的结果是:"< // return 0; } int main() { double x1,x2; cout<<"方程是:x^5-3*x^3+x-1= 0\n请给出求根区间的左值和右值:\n左值:"; cin>>x1; cout<<"右值:"; cin>>x2; if(f(x1)*f(x2)>0) { cout<<"此区间上方程无根"< system("PAUSE"); return 0; } divide(x1,x2); newton((x1+x2)/2); cord(x1,x2); newton2((x1+x2)/2); system("PAUSE"); return 0; } 3.截图 实验题目二 1.题目 用Gauss消元法、选主元的Gauss消元法求解以下线性方程组的解Ax=b,要求 输出消元过程中系数矩阵的变化情况 ???? ?? ? ??=??????? ? ?---=491142738 1265973274581221b A (1) 高斯消元法 算法分析 在线性代数里就有用Gauss 消元法线性方程组的解。通常,对线性方程组的增广矩阵A 进行初等行变换化为上三角矩阵的方法,就成为Gauss 消元法。 对于任意一矩阵11 11n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? ,均可以用Gauss 消元法求解对应线性方程 组的解。当用k 表示消元过程的次序时,Gauss 消元法的计算步骤为: 1)Gauss 消元过程: 设()0,k kk a ≠对1,2,,1k n =-计算 ()()(1)()()1()()/,1,2,,k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k k n ++?=?=-??=-?=++ 2)回代求解过程: ()() ()()() 1/()/1,,2,1 n n n n nn n i i i i i ij j ii j i x b a x b a x a i n =+?=??=-? ? =-∑ (2) 列主元的Gauss 消元法 算法分析 列主元的Gauss 消元法是在Gauss 消元法的基础之上加上了列选主元的步2出绝对值最大的,然后通过行交换将其交换到kk a 的位置上。设主元在第()l k l n ≤≤个方程,即max lk ik k i n a a ≤≤=。若l k ≠,将l 和k 方程互易位置,使新的kk a 成为主元, 然后继续进行,这一步骤称为列选主元。 2.源代码 #include #include using namespace std; void DisplayMatrix(double **a,int size) { cout< for(int i=0;i { for(int j=0;j cout< cout< } cout< } void Gauss(double **a,int size) { int i,j,k; double tmp; cout<<"方程组对应的增广矩阵为:"< DisplayMatrix(a,size); //输出矩阵,需自己实现该函数 /********消元,第k列对角线以下全消成0************/ for(k=0;k { for(i=k+1;i { tmp=a[i][k]/a[k][k]; for(j=k;j<=size;j++) a[i][j]-=tmp*a[k][j]; } cout< DisplayMatrix(a,size); } /****************回代求解******************/ for(i=size-1;i>=0;i--) { for(j=size-1;j>i;j--) a[i][size]-=a[j][size]*a[i][j]; a[i][size]/=a[i][i]; } /*输出方程组的解,放在数组最后一列中*/ cout< for(i=0;i cout<<"x"< cout< } int main() { int n,i,j; cout<<"input the size of equations!"< cin>>n; double **p=new double *[n]; for( i=0;i p[i]=new double [n+1]; cout<<"Input the matrix of Equations!"< for(i=0;i for(j=0;j<=n;j++) cin>>p[i][j]; Gauss(p,n); for ( i=0;i delete [] p[i]; delete []p; system("pause"); } 3.截图 实验报告三. 1.题目 分别用雅格比法与高斯-赛德尔迭代法解下列方程组Ax =b ,研究其收敛性,上机验证理论分析是否正确,比较它们的收敛速度,观察右端项对迭代收敛有无影响。 (1)A 行分别为A 1=[6,2,-1],A 2=[1,4,-2],A 3=[-3,1,4],b 1=[-3,2,4]T , b 2=[100,-200,345]T (2) A 行分别为A 1=[1,0,8,0.8],A 2 [0.8,1,0.8],A 3=[0.8,0.8,1];b 1=[3,2,1] T , b 2=[5,0,-10]T , (3)A 行分别为A 1=[1,3],A 2=[-7,1];b =[4,6]T 。 (1)Jacobi 迭代法 算法分析 线性方程组Ax=b ,系数矩阵A 非奇异,且a ii ≠0。即 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++= ? 可以简写为: 1 ,1,2, ,n ij j i j a x b i n ===∑ 从上式中分离出变量i x ,将它写成 1 1 (),(1,2, ,)n i i ij j j ii j i x b a x i n a =≠=-=∑ 据此便建立了Jacobi 迭代公式 (1) ()1 1 (),1,2,,n k k i i ij j j ii j i x b a x i n a +=≠=-=∑ 即可写为 1(1) () ()11 1(),1,2,,i n k k k i i ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -+==+=--=∑∑ 这就是解线性方程组的Jacobi 迭代公式。也是Jacobi 迭代法求解线性方程组的理论基础。 源代码 #include using namespace std; void jaccobi(double **a,int size) { cout<<"雅可比迭代法"; double x[100]={0}; double x_tp[100]={0}; for(int i=0;i<17;i++) { for(int i=0;i { double tmp=a[i][size]; for(int j=0;j tmp-=a[i][j]*x[j]; for(int j=i+1;j tmp-=a[i][j]*x[j]; x_tp[i]=tmp/a[i][i]; } for(int i=0;i x[i]=x_tp[i]; cout< for(int i=0;i cout<<"x"< cout< } } int main() { int n,i,j; cout<<"请输入维数:"; cin>>n; double **mat=new double *[n]; for( i=0;i mat[i]=new double [n+1]; cout<<"请输入增广矩阵:"< for(i=0;i for(j=0;j<=n;j++) cin>>mat[i][j]; jaccobi(mat,n); gs(mat,n); for ( i=0;i delete [] mat[i]; delete []mat; system("PAUSE"); return 0; } (2)Guass_Sidel迭代法 算法分析 在Guass_Sidel迭代时,每次迭代充分利用当前最新的迭代值。在迭代收敛时, 因新值(1)k i x +比老值()k i x 更准确些,求出新值(1)k i x +后,用(1)k i x +代替前一次的迭代值()k i x 继续进行计算,这就充分利用新值建立起Guass_Sidel 迭代公式。 对于一般形式的方程组,Guass_Sidel 迭代公式为 1(1)(1) ()11 1(),1,2,,i n k k k i i ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -++==+=--=∑∑ 源代码 #include #include using namespace std; void gs(double **a,int size) { cout<<"高斯赛德尔迭代法"; double x[100]={0}; double x_tp[100]={0}; for(int k=0;k<17;k++) { for(int i=0;i int main() { int n,i,j; cout<<"请输入维数:"; cin>>n; double **mat=new double *[n]; for( i=0;i for ( i=0;i delete [] mat[i]; delete []mat; system("PAUSE"); return 0; } 2.结果分析 对于第一组数据和第二组数据,从运算的结果显示得知,无论是Jacobi迭代法还是Gauss-Seidel迭代法,其迭代公式均是收敛的,右端项对迭代公式收敛也均无影响。同时也可以看出Gauss-Seidel迭代法的收敛速度要比Jacobi迭代法的收敛速度快。 对于第三组数据和第四组数据,从运算的结果显示得知,Jacobi迭代法迭代公式是发散的。然而Gauss-Seidel迭代法迭代公式却是收敛的,其收敛的速度也较快,右端项对迭代公式的收敛也无影响。因此,可以用Gauss-Seidel迭代法求出这两组数据的结果。 对于第五组数据,从运算的结果显示得知,无论是Jacobi迭代法还是Gauss-Seidel迭代法,其迭代公式均是发散的。因此,无论是用Jacobi迭代法还是用Gauss-Seidel迭代法都求解不出其对应的线性方程组的结果 《计算方法》实验报告 姓名: 班级: 学号: 实验日期: 2011年10月26日 一、实验题目: 数值积分 二、实验目的: 1.熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。 2.进一步理解数值积分的基础理论。 3.进一步掌握应用不同的数值积分方法求解给定的积分并给出数据结果及误差分析。 三、实验内容: 1.分别用复合梯形求积公式及复合辛普森求积公式计算积分xdx x ln 10 ? , 要求计算精度达到410-,给出计算结果并比较两种方法的计算节点数. 2.用龙贝格求积方法计算积分dx x x ?+3 021,使误差不超过510-. 3.用3=n 的高斯-勒让德公式计算积分?3 1 sin x e x ,给出计算结果. 4.用辛普森公式(取2==M N ) 计算二重积分.5 .00 5 .00 dydx e x y ? ? - 四、实验结果: 1.(1)复合梯形法: 将区间[a,b]划分为n 等份,分点n k n a b h kh a x k ,2,1,0,,=-=+=在每个区间[1,+k k x x ](k=0,1,2,···n-1)上采用梯形公式,则得 )()]()([2)()(1 11 1 f R x f x f h dx x f dx x f I n n k k k b a n k x x k k ++===∑?∑? -=+-=+ 故)]()(2)([21 1 b f x f a f h T n k k n ++=∑-=称为复合梯形公式 计算步长和划分的区间 Eps=1E-4 h1=sqrt(Eps/abs(-(1-0)/12*1/(2+1))) h1 =0.0600 N1=ceil(1/h1) N1 =17 用复合梯形需要计算17个结点。 复合梯形: function T=trap(f,a,b,n) h=(b-a)/n; 《计算方法》上机实验报告 班级:XXXXXX 小组成员:XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX 任课教师:XXX 二〇一八年五月二十五日 前言 通过进行多次的上机实验,我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导,能够较为熟练地掌握Newton 迭代法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法,并参考课本例题进行了MATLAB 程序的编写。 以下为本次上机实验报告,按照实验内容共分为六部分。 实验一: 一、实验名称及题目: Newton 迭代法 例2.7(P38):应用Newton 迭代法求 在 附近的数值解 ,并使其满足 . 二、解题思路: 设'x 是0)(=x f 的根,选取0x 作为'x 初始近似值,过点())(,00x f x 做曲线)(x f y =的切线L ,L 的方程为))((')(000x x x f x f y -+=,求出L 与x 轴交点的横坐标) (') (0001x f x f x x - =,称1x 为'x 的一次近似值,过点))(,(11x f x 做曲线)(x f y =的切线,求该切线与x 轴的横坐标) (') (1112x f x f x x - =称2x 为'x 的二次近似值,重复以上过程,得'x 的近似值序列{}n x ,把 ) (') (1n n n n x f x f x x - =+称为'x 的1+n 次近似值,这种求解方法就是牛顿迭代法。 三、Matlab 程序代码: function newton_iteration(x0,tol) syms z %定义自变量 format long %定义精度 f=z*z*z-z-1; f1=diff(f);%求导 y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0);%向函数中代值 x1=x0-y/y1; k=1; while abs(x1-x0)>=tol x0=x1; y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0); x1=x0-y/y1;k=k+1; end x=double(x1) K 四、运行结果: 实验二: 实验一误差分析 实验1.1(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε(1.1)和(1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 (1(2 (3)写成展 关于α solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程: 程序: a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数:(思考题一)a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n 很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动,对其多项式的根会有一定的扰动的,所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号:06450210 姓名:万轩 实验二插值法 本科实验报告 课程名称:计算机数值方法 实验项目:方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点:行勉楼 专业班级: ******** 学号: ********* 学生姓名: ******** 指导教师:李誌,崔冬华 2016年 4 月 8 日 y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为:f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法: // 方程求根(割线法).cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream" 心得体会 使用不同的方法,可以不同程度的求得方程的解,通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点,二分法过程简单,程序容易实现,但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值,不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题,要学会简化处理步骤,分步骤一点一点的循序处理,只有这样,才能高效的解决一个复杂问题。 简单计算器 姓名: 周吉祥 实验目的:模仿日常生活中所用的计算器,自行设计一个简单的计算器程序,实现简单的计算功能。 实验内容: (1)体系设计: 程序是一个简单的计算器,能正确输入数据,能实现加、减、乘、除等算术运算,运算结果能正确显示,可以清楚数据等。 (2)设计思路: 1)先在Visual C++ 6.0中建立一个MFC工程文件,名为 calculator. 2)在对话框中添加适当的编辑框、按钮、静态文件、复选框和单 选框 3)设计按钮,并修改其相应的ID与Caption. 4)选择和设置各控件的单击鼠标事件。 5)为编辑框添加double类型的关联变量m_edit1. 6)在calculatorDlg.h中添加math.h头文件,然后添加public成 员。 7)打开calculatorDlg.cpp文件,在构造函数中,进行成员初始 化和完善各控件的响应函数代码。 (3)程序清单: ●添加的public成员: double tempvalue; //存储中间变量 double result; //存储显示结果的值 int sort; //判断后面是何种运算:1.加法2.减法3. 乘法 4.除法 int append; //判断后面是否添加数字 ●成员初始化: CCalculatorDlg::CCalculatorDlg(CWnd* pParent /*=NULL*/) : CDialog(CCalculatorDlg::IDD, pParent) { //{{AFX_DATA_INIT(CCalculatorDlg) m_edit1 = 0.0; //}}AFX_DATA_INIT // Note that LoadIcon does not require a subsequent DestroyIcon in Win32 m_hIcon = AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME); tempvalue=0; result=0; sort=0; append=0; } 实验报告名称 班级:学号:姓名:成绩: 1实验目的 1)通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上级运算,进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点。 2)编写割线迭代法的程序,求非线性迭代法的解,并与牛顿迭代法。 2 实验内容 用牛顿法和割线法求下列方程的根 x^2-e^x=0; x*e^x-1=0; lgx+x-2=0; 3实验步骤 1)根据二分法和牛顿迭代法,割线法的算法编写相应的求根函数; 2)将题中所给参数带入二分法函数,确定大致区间; 3)用牛顿迭代法和割线法分别对方程进行求解; 3 程序设计 牛顿迭代法x0=1.0; N=100; k=0; eps=5e-6; delta=1e-6; while(1) x1=x0-fc1(x0)/fc2(x0); k=k+1; if k>N disp('Newmethod failed') break end if(abs(x1-x0) 数值分析上机实验报告 《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在(0.1,1.9)中的近似根(初始近似值取为区间端点,迭代6次或误差小于0.00001)。 1.1 理论依据: 设函数在有限区间[a ,b]上二阶导数存在,且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代,逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时,就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在(a,b )区间的根。 1.2 C语言程序原代码: #include (此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号: 成绩: 数值计算方法与算法实验报告 学期: 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号: 1实验项目Neton插值多项式指导教师:孙峪怀 姓名:宋元台学号:实验成绩: 一、实验目的及要求 实验目的: 掌握Newton插值多项式的算法,理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点,掌握差商表的计算特点。 实验要求: 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析: 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法: Step1 输入插值节点数n,插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f(x)的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include 计算方法实验报告格式 小组名称: 组长姓名(班号): 小组成员姓名(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一个完整的实验,应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法,最终对实验结果进行分析,以达到对理论知识的感性认识,进一步加深对相关算法的理解,数值实验以实验报告形式完成,实验报告格式如下: 一、实验名称 实验者可根据报告形式需要适当写出. 二、实验目的及要求 首先要求做实验者明确,为什么要做某个实验,实验目的是什么,做完该实验应达到什么结果,在实验过程中的注意事项,实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出. 三、算法描述(实验原理与基础理论) 数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的,所以要求将实验涉及到的理论基础,算法原理详尽列出. 四、实验内容 实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备. 五、程序流程图 画出程序实现过程的流程图,以便更好的对程序执行的过程有清楚的认识,在程序调试过程中更容易发现问题. 六、实验结果 实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果,复杂的结果可以用表格 形式列出,较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现. 七、实验结果分析 实验结果分析包括对对算法的理解与分析、改进与建议. 数值实验报告范例 为了更好地做好数值实验并写出规范的数值实验报告,下面给出一简单范例供读者参考. 数值实验报告 小组名称: 小组成员(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一、实验名称 误差传播与算法稳定性. 二、实验目的 1.理解数值计算稳定性的概念. 2.了解数值计算方法的必要性. 3.体会数值计算的收敛性与收敛速度. 三、实验内容 计算dx x x I n n ? += 1 10 ,1,2,,10n = . 四、算法描述 由 dx x x I n n ? += 1 10 ,知 dx x x I n n ?+=--101110,则 课题一:拉格朗日插值法 1.实验目的 1.学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点(1.00,0.00),(-1.00,-3.00),(2.00,4.00)二、算法步骤 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X坐标; (3)分别输入已知点的Y坐标; 程序如下: #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下:已知当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(1.5)的值。 实验一 误差分析 实验(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对()中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较()和()根的差别,从而分析方程()的解对扰动的敏感性。 实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根;而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到()的全部根,程序中的“ess ”即是()中的ε。 实验要求: (1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小,我们自然感觉()和()的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 (2)将方程()中的扰动项改成18x ε或其它形式,实验中又有怎样的现象 出现 (3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程()写成展开的形式, ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数,考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感,与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象,哪些根关于α的变化更敏感 思考题一:(上述实验的改进) 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高,为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 计算方法实验报告 班级: 学号: 姓名: 成绩: 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 (1)通过上机编程,复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令; (2)通过上机计算,了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑,分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++,利用下面的算法计算f : 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序,读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ,已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? (1)编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 (2)编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 (3)按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑,分析其误差的变化 (1)实验步骤: 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算,应包含的头文件有stdio.h 和math.h (2)程序设计: a.顺序计算 #include 南京信息工程大学实验(实习)报告 一、实验目的: 用最小二乘法将给定的十个点拟合成三次多项式。 二、实验步骤: 用matlab编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序,并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi=1) x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y -2.30 -1 -0.14 -0.25 0.61 1.03 1.75 2.75 4.42 6.94 给定直线方程为:y=1/4*x3+1/2*x2+x+1 三、实验结论: 最小二乘法:通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。 一般地。当测量数据的散布图无明显的规律时,习惯上取n次代数多项式。 程序运行结果为: a = 0.9731 1.1023 0.4862 0.2238 即拟合的三次方程为:y=0.9731+1.1023x+0.4862*x2+0.2238*x3 -2.5 -2-1.5-1-0.5 00.51 1.52 2.5 -4-20246 81012 x 轴 y 轴 拟合图 离散点 y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3 结论: 一般情况下,拟合函数使得所有的残差为零是不可能的。由图形可以看出最小二乘解决了残差的正负相互抵消的问题,使得拟合函数更加密合实验数据。 优点:曲线拟合是使拟合函数和一系列的离散点与观测值的偏差平方和达到最小。 缺点:由于计算方法简单,若要保证数据的精确度,需要大量的数据代入计算。 数值分析实验报告模板 篇一:数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二:数值分析实验报告 实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根,在给定的范围内,假设f(x,y)在[a,b]上连续,f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远,Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程,且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理,验证二分法,在选对有根区间的前提下,必是收 敛,但精度不够。熟悉Matlab语言编程,学习编程要点。体会Newton使用时的优点,和局部收敛性,而在初值选取不当时,会发散。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton 法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x); 实验一——插值方法 实验学时:4 实验类型:设计 实验要求:必修 一 实验目的 通过本次上机实习,能够进一步加深对各种插值算法的理解;学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法,结合相应软件(如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/Turbo C )编程实现数值方法的求解。并用该软件的绘图功能来显示插值函数,使其计算结果更加直观和形象化。 二 实验内容 通过程序求出插值函数的表达式是比较麻烦的,常用的方法是描出插值曲线上尽量密集的有限个采样点,并用这有限个采样点的连线,即折线,近似插值曲线。取点越密集,所得折线就越逼近理论上的插值曲线。本实验中将所取的点的横坐标存放于动态数组[]X n 中,通过插值方法计算得到的对应纵坐标存放 于动态数组[]Y n 中。 以Visual C++.Net 2005为例。 本实验将Lagrange 插值、Newton 插值和三次样条插值实现为一个C++类CInterpolation ,并在Button 单击事件中调用该类相应函数,得出插值结果并画出图像。CInterpolation 类为 class CInterpolation { public : CInterpolation();//构造函数 CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1);//结点横坐标、纵坐标、下标上限 ~ CInterpolation();//析构函数 ………… ………… int n, N;//结点下标上限,采样点下标上限 float *x, *y, *X;//分别存放结点横坐标、结点纵坐标、采样点横坐标 float *p_H,*p_Alpha,*p_Beta,*p_a,*p_b,*p_c,*p_d,*p_m;//样条插值用到的公有指针,分别存放 i h ,i α,i β,i a ,i b ,i c ,i d 和i m }; 其中,有参数的构造函数为 CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1) { //动态数组x1,y1中存放结点的横、纵坐标,n1是结点下标上限(即n1+1个结点) n=n1; N=x1[n]-x1[0]; X=new float [N+1]; x=new float [n+1]; y=new float [n+1]; 实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可,下面给出主程序。 二分法源程序: clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序:clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为:Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时,称为线性插值,L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时,称为二次插值或抛物线插值,精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂,可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk),使它在该点上取值为1,而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0,则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明:n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三.计算方法及过程:1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数,返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下: 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n](double*x) 存放n个节点的值 doubley[n](double*y) 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值,即插值点p处的近似函数值 #include 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展,科学计算已成为现代科 学的重要组成部分,因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习,主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法,并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征:正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的,因此算法必有误差, 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值;相对误差:是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支,隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数,且任何满足 为具体背景,在集合的基础上,把客观世界中的研究对象抽 范数 范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域,泛函是一个函数,其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例, Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外,若p 和q 是赫德尔共轭指标,即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口:距离空间,赋范线性空间, 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ,那 外,还规定其必须满足相容性: 所以 实验一 误差分析 实验1.1(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对(1.1)中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较(1.1)和(1.2)根的差别,从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏感性。 实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根;而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = 《大学计算机基础》 上机实验报告 班级: 姓名: 学号: 授课教师: 日期:年月日 目录 一、Windows操作系统基本操作 ............................. - 1 - 二、Word文字处理基本操作 ................................ - 4 - 三、Excel电子表格基本操作 ............................... - 6 - 四、PowerPoint幻灯片基本操作 ............................ - 8 - 五、网页设计基本操作..................................... - 9 - 六、Access数据库基本操作 ............................... - 10 - 上机实验作业要求: ○1在实验报告纸上手写并粘贴实验结果; ○2每人将所有作业装订在一起(要包封面); ○3全部上机实验结束后全班统一上交; ○4作业内容不得重复、输入的数据需要有差别。 实验名称一、Windows操作系统基本操作 实验目的1、掌握Windows的基本操作方法。 2、学会使用“画图”和PrntScr快捷键。 3、学会使用“计算器”和Word基本操作。 实验内容 1、日历标注 利用“画图”和Word软件,截取计算机上日历的图片并用文字、颜色、图框等标注出近期的节假日及其名称,并将结果显示保存在下面(参考下面样图)。 运行结果是: 主要操作步骤是: 2、科学计算 利用“计算器”和Word软件,计算下列题目,并将结果截图保存在下面(参考样图)。 ○1使用科学型计算器,求8!、sin(8)、90、74、20、67、39、400、50.23、ln(785)的平均值、和值,并用科学计数法显示。 运行结果是: ②将以下十、八、十六进制数转换为二进制数:(894.8125)10、(37.5)8、(2C.4B)16 运行结果是:(需要下载使用“唯美计算器”) ○3计算下列二进制数的加法与乘法:101.1+11.11;1101*1011 运行结果是:(参考样图) 写出主要操作步骤: 3、实验心得体会《计算方法》课内实验报告
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