三角形
几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图)
A
B C
D
几何表达式举例:
(1) ∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
(2) ∵∠BAD=∠CAD
∴AD是角平分线
2.三角形的中线定义:
在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.(如图)
A
B C
D
几何表达式举例:
(1) ∵AD是三角形的中线
∴ BD = CD
(2) ∵ BD = CD
∴AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
(如图)
A
B C
D
几何表达式举例:
(1) ∵AD是ΔABC的高
∴∠ADB=90°
(2) ∵∠ADB=90°
∴AD是ΔABC的高
※4.三角形的三边关系定理:
三角形的两边之和大于第三边,三角形
的两边之差小于第三边.(如图)
A
B C 几何表达式举例:(1) ∵AB+BC>AC ∴……………(2) ∵ AB-BC<AC ∴……………
5.等腰三角形的定义:几何表达式举例:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图)
A
B C
(1) ∵ΔABC 是等腰三角形 ∴ AB = AC
(2) ∵AB = AC ∴ΔABC 是等腰三角形
6.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图)
A
B
C
几何表达式举例: (1)∵ΔABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC
(2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC 是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论: (1)三角形的内角和180°;(如图) (2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图) ※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(1) (2) (3)(4) 几何表达式举例: (1) ∵∠A+∠B+∠C=180°
∴………………… (2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90° (3) ∵∠ACD=∠A+∠B
∴………………… (4) ∵∠ACD >∠A ∴…………………
8.直角三角形的定义:
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)
A
B
C
几何表达式举例: (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形
(2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90°
D
A
B C
A
B
C A
B
C
9.等腰直角三角形的定义: 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)
A
B
C
几何表达式举例: (1) ∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC 是等腰直角三角形
(2) ∵ΔABC 是等腰直角三角形
∴∠C=90° CA=CB
10.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;(如图) (2)全等三角形的对应角相等.(如图)
几何表达式举例: (1) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴∠A=∠E ……… 11.全等三角形的判定:
“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”. (如图)
(1)(2)
(3)
几何表达式举例: (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F
又∵ BC = FG ∴ΔABC ≌ΔEFG (2) ……………… (3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中
∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG
12.角平分线的性质定理及逆定理: (1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图)
几何表达式举例: (1)∵OC 平分∠AOB 又∵CD ⊥OA CE ⊥OB
A
B
C
G
E
F
A
B
C
G
E
F
A
B
C
E
F
G
(2)到角的两边距离相等的点在角
平分线上.(如图)
A
O B
C
D
E
∴ CD = CE
(2) ∵CD ⊥OA CE ⊥OB
又∵CD = CE ∴OC 是角平分线
13.线段垂直平分线的定义: 垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图)
A
B
E
F
O
几何表达式举例: (1) ∵EF 垂直平分AB
∴EF ⊥AB OA=OB (2) ∵EF ⊥AB OA=OB ∴EF 是AB 的垂直平分线 14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
(1)线段垂直平分线上的点和这条
线段的两个端点的距离相等;(如图) (2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)
A
B
C M N P
几何表达式举例:
(1) ∵MN 是线段AB 的垂直平分线
∴ PA = PB (2) ∵PA = PB
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上
15.等腰三角形的性质定理及推论:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图) (2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)
(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵AB = AC ∴∠B=∠C (2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CD AD ⊥BC ………………
A
B C(1)
A
B C
D(2)
A
B C(3)
(3) ∵ΔABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C =60°
16.等腰三角形的判定定理及推论:
(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)
A
B C(1)
A
B C(2)(3)
A
B
C(4)
几何表达式举例:
(1) ∵∠B=∠C
∴ AB = AC
(2) ∵∠A=∠B=∠C
∴ΔABC是等边三角形
(3) ∵∠A=60°
又∵AB = AC
∴ΔABC是等边三角形
(4) ∵∠C=90°∠B=30°
∴AC =2
1
AB
17.关于轴对称的定理
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图)
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
∴OA=OE MN⊥AE
18.勾股定理及逆定理:
(1)直角三角形的两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC是直角三角形
∴a2+b2=c2
(2) ∵a2+b2=c2
E
F
M
O
A
B
C
N
G
(2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(如图)A
B
C
∴ΔABC是直角三角形
19.RtΔ斜边中线定理及逆定理:(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图)
(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
D
A
B
C
几何表达式举例:
∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
∴CD = 2
1
AB
(2) ∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二常识:
1.三角形中,第三边长的判断:另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA.
4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和. 6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
A
B C
E
D
7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即: (1) AC ·CB=CD ·AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A .
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明. 12.符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图. ※18.几何重要图形和辅助线: (1)选取和作辅助线的原则:
① 构造特殊图形,使可用的定理增加; ② 一举多得;
③ 聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角; ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.
A B
C
D 12
(2)已知角平分线.(若BD 是角平分线)
① 在BA 上截取BE=BC 构造全等,转移线段和角;
② 过D 点作DE ∥BC 交AB 于E ,构造等腰三角形 .
(3)已知三角形中线(若AD 是BC 的中线)
① 过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ,构造中位线 ;
② 延长AD 到E ,使DE=AD 连结CE 构造全等,转移线段和角;
③ ∵AD 是中线 ∴S ΔABD= S ΔADC (等底等高的三角形等
面积)
(4) 已知等腰三角形ABC 中,AB=AC
① 作等腰三角形ABC 底边的中线AD (顶角的平分线或底边的高)构造全 等三角形;
② 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ,构造
新的等腰三角形.
(5)其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE ,构造新的等边三角形;
② 作CE ∥AB ,转移角;
③ 延长BD 与AC 交于E ,
不规则图形转化为规则图形;
B
C
D A
E B
C
D A
E
A
D
E
C
B
A
D
E
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
E
A
D
C
B
E A
D C
B
D
A
C
B E
C
B
A
D E
C
E
B
D
A
④ 多边形转化为三角形;
⑤ 延长BC 到D ,使CD=BC ,连结AD ,直角三角形转化为等腰三角形;
⑥ 若a ∥b,AC,BC 是角平 分线,则∠C=90°.
A
D
O
B C
E
B
C
D
A
B
A
C
a
b
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b第十一章三角形知识点归纳
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结