直接用坐标变换求解雅可比矩阵的例子1
第九章开式链机构
§9-1 开式链机构的特点及功能
由开式运动链所组成的机构称为开式链机构,简称开链机构.
一、特点
1、开式运动链的自由度较闭式运动链多，要使其成为具有确定运动的机
构，就需要更多的原动机；
2、开式运动链中末端构件的运动与闭式运动链中任何构件的运动相比，
更为任意和复杂多样。
二、应用
利用开式运动链的特点，结合伺服控制和电子计算机的使用，开式链机构在各种机器人和机械手中得到了广泛的应用。
机器人的应用是多方面的：
制造业中，完成产品的生产从单一品种大批量生产逐步向多品种小批量生产过度；
在微电子工业和制药工业中，为避免人工介入而造成的污染，用机器人代替人完成某些操作；
在深水资源开发、卫星空间回收及外层空间活动中，机器人已成为不可或缺的工具；
机器人还可用于矿产开采、排险救灾及各种军事用途。
实例：a) 喷漆机器人 b) 装配机器人 c) 搬运机器人
三、机器人与传统自动机的区别
由连杆、凸轮等闭式链机构所组成的一般自动机，用于多次完成同样的作业----- 固定自动化；
由开式链机构所组成的机器人和机械手，可在任意位置、任意方向和任意环境下单独地或协同地进行工作，是一种灵活的、万能的、具有多目的、多用途的自动化系统------ 柔性自动化。
机器人与传统自动机的区别在于前者具有更大的万能性和多目的的用途，易于调整来完成各种不同的劳动作业和智能动作，包括在变化之中以及没有事先说明的情况下的作业。
§9-2 开式链机构的结构分析
本节以机器人操作器为例，介绍开式链机构的组成和结构。
一、操作器的组成
操作器是机器人的执行系统，是机器人握持工具或工件、完成各种运动和操作任务的机械部分，由机身、臂部、腕部和手部（末端执行器）组成。
机身：用来支持手臂并安装驱动装置等部件，
常把它与臂部合并考虑。
臂部：操作器的主要执行部件，其作用是支
撑腕部和手部，并带动它们在空间运动，从
而使手部按一定的运动轨迹由某一位置达到
另一指定位置。
腕部：连接臂部和手部的部件，其作用主要
是改变和调整手部在空间的方位，从而使手
爪中所握持的工具或工件取得某一指定的姿
态。
手部：操作器的执行部件之一，其作用是握
持工件或抓取工件。
二、操作器的自由度
操作器的自由度：在确定操作器所有构件的位置时所必须给定的独立运动参数的数目。
操作器的主运动链通常是一个装在固定机架上的开式运动链。
操作器中的运动副：仅包含单自由度运动副——转动关节和移动关节。
自由度计算公式
：操作器的自由度
：操作器中第I个运动部件的自由度
操作器臂部的运动称为操作器的主运动，臂部各关节称为操作器的基本关节。
臂部自由度组合及运动图形
1）直线运动
2）回转运动
3）直线运动
与回转运动
结论：
为了使操作器手部能够达到空间任一指定位置，通用的空间机器人操作器的臂部应至少具有3个自由度；
为了使操作器的手部能够到达平面中任一指定位置，通用的平面机器人操作器的臂部应至少具有2个自由度。
腕部的自由度：用来调整手部在空间的姿态。
为了使手爪在空间取得任意的姿态，在通用的空间机器人操作器中其腕部应至少有3个自由度。一般情况下，这3个关节为轴线相互垂直的转动关节。
为了使手爪在平面中能取得任意要求的姿态，在通用的平面机器人操作器中其腕部应至少有一个转动关节。
手部运动的自由度一般不计入操作器的自由度数目中。
结论：
1）通用的空间机器人操作器的自由度大于等于6（位置3个，姿态3个），其中转动关节大于等于3；
2）通用的平面机器人操作器的自由度大于等于3（位置2个，姿态1个），其中转动关节大于等于1；
3）仅用移动关节不可能建立通用的空间或平面机器人。
冗余自由度
操作器的自由度大于6时，手爪可绕过障碍到达一定的位置。
三、操作器的结构分类
1、直角坐标型（直移型）
三个基本关节：均为移动关节
运动图形：长方体
优点：结构简单，运动直观性强，便于实现高精度。
缺点：占据空间大，相应的工作范围小。
实例：
2、圆柱坐标型（回转型）
三个基本关节：2个移动关节，一个转动关节；
运动图形：空心圆柱
优点：运动直观性强，占据空间较小，结构紧凑，工作范围大。
缺点：受升降机构的限制，一般不能提升地面或较低位置的工件。
实例：
3.球坐标型（俯仰型）
三个基本关节：移动关节1个，转动关节2个。
运动图形：空心球体
优点：由于其具有俯仰自由度，能完成从地面提取工件的任务，工
作范围扩大了。
缺点：运动直观性差，结构较复杂，臂端的位置误差会随臂的伸长
而放大。
实例：
4.关节型（屈伸型）
三个基本关节：均为转动关节
运动图形：球体
优点：占据空间小，工作范围大，可绕过障碍物运送或提取工件。
缺点：运动直观性差，驱动控制比较复杂。
实例：
§9-3 开式链机构的运动学
一.研究的主要问题
1、正向运动学问题（直接问题）
给出关节参数、、，
求，，
给出操作器的一组关节参数，确定其末端执行
器的位置和姿态，可获得一组唯一确定的解。
2、反向运动学问题（间接问题
给出末端执行器的位置和姿态，，，求关节参数、、。
对于工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，确定一组关节参数，使末端执行器达到规定的位置和姿态，有解的存在性（解的存在与否表明其操作器是否能达到所要求的位置和姿态）和多重解（对应与工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，可能存在着多组关节参数，每一组关节参数都可以使末端执行器达到这一规定的位置和姿态）的问题。
3、工作空间
工作空间：指在机器人运动过程中，其操作器臂端所能达到的全部点所构成的空间，其形状和大小反映了一个机器人的能力。
可达到的工作空间
机器人末端执行器至少可在一个方位上能达到的空间范围。
灵活的工作空间
机器人末端执行器在所有方位上均能达到的空间范围。
二.平面两连杆关节型操作器
1、正向运动学问题
已知各关节的位置坐标、和其各阶导数、
（关节速度）和、（关节加速度），求操
作器臂端B点的位置、、，速度、和加速度、。
位置分析
姿态角=+
速度分析（对位移方程求导）：
雅可比矩阵
操作器的雅可比矩阵是关节速度和操作器臂端的直角坐标速度之间的转换
矩阵。
操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。
2、反向运动学问题
已知操作器末端执行器的位置、、速度、
和加速度、，求解操作器各关节的位置
参数、；运动参数、（关节速度）和、
（关节加速度）。
位置分析
*如果不满足约束条件，说明给定的臂端目标位置过远，已超出了该操作器的工作空间。
则
*既可保证求出所有的解，又保证了求出的角度在正确的象限内。
* 角可在任一象限内，它取决与、的符号。
故
则“+”：<0时；
“-”：>0时
速度分析
* 操作器各关节的速度，可通过其雅可比矩阵的逆矩阵和给定的操作器臂端的直角坐标系中的速度求得。
一个矩阵有逆的充要条件是其行列式的值不为零，即
当：两连杆伸直共线
：两连杆重叠共线时
，不存在。意味着在该操作器工作空间的边界上，操作器将不再
是一个2自由度的操作器，而变成了仅具有一个自由度的操作器。这样的位置称为操作器的奇异位置。在奇异位置，有限的关节速度不可能使臂末端获得规定的速度（类似与曲柄滑块机构的“死点”位置）。
该式表明：
在奇异位置，为了使臂末端具有规定的速度，要求关节速度必须达到无穷大；
在奇异位置附近，为了使臂末端具有规定的速度，需要有限的但却非常高的关节速度、（正比于）。
3、工作空间
可达到的工作空间
* 在工作空间内的每一点，末端执行器可取得两个可能的姿态；
* 在工作空间边界上的每一点，末端执行器只能有一个可能的姿态。
灵活工作空间
*在圆心点，末端执行器可获得任意姿态。
平面三连杆关节型操作器
1、正向运动学问题
已知操作器各连杆长度、、；各关节的位置坐标、、；关节速度、、，求操作器臂端末端执行器的位置坐标、和姿态角。
位置分析
速度分析
雅可比矩阵：
操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。
2、反向运动学问题
已知操作器末端执行器的位置、和末端执行器的姿态，求解操作器各关节的位置参数、、。
位移分析
思路：将三连杆问题转化为两连杆问题。
利用前述方法求得、后，最后计算关节角：
其速度问题可通过式9-18两边同乘一个得到。
讨论
* 对应于工作空间的一个目标点，可解出两组关节角，其所对应的末端执行器的姿态相同，出现多重解的问题；
* 当操作器有多重解时，系统必须选择其中一个解。
选取原则：
一般情况下，选择使每个关节运动量最小的解；
有障碍物时，应避免与之碰撞；
在存在多重解时，必须求出所有可能的解，然后根据具体情况加以
选择。
3、工作空间
重要结论：
* 对于关节型操作器而言，如果各连杆长度相等，而腕部连杆的长度设计的尽可能短的话，其工作空间的形状和尺寸则可以大大改善；
* 人的手臂：
上臂长度=下臂长度。
腕部长度
雅克比矩阵知识介绍
雅可比矩阵(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1 ,λ 2 ,…,λ n ) (3.1) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为
可得 ≠0，取φ使得则有 如果a ij 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。 设由式(3.4) 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可
知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值，
雅可比迭代法与矩阵的特征值
实验五 矩阵的lu分解法，雅可比迭代法 班级： 学号： 姓名：
实验五 矩阵的LU 分解法，雅可比迭代 一、目的与要求： 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法； 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序； 通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。 二、实验内容： 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解 各种方法的优缺点。 三、程序与实例 列主元高斯消去法 算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+?表示 1) 消元过程 对k=1,2,…,n-1 ①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得 k ,i k a = ik a n i k max ≤≤ ②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。 ③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置， j i kj k a a ? j=k,┅,n+1 ④消元，对i=k+1, ┅,n 计算 kk ik ik a a l /= 对j=l+1, ┅,n+1计算 kj ik ij ij a l a a -= 2) 回代过程 ①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。 ②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算 ii n i j j ij n i i a x a a x /11,??? ? ? ?- =∑+=+ 程序与实例 程序设计如下：
#include 5.1.1 雅克比矩阵及其行列式的几何意义 因为雅克比矩阵如此重要且有趣，我们把它单列一节讨论，并放在矩阵的 行列式的几何意义后面。 说实在的，解说雅克比矩阵及其行列式的几何意义，是应一位网友的希望而作。先前的五章在网上发布以后引起了不少哥们的关注，大多是共鸣及鼓励的话。一位网友哥们说（大意是），你除了内容有些凌乱外细节写得还不错，是下了一番功夫……，不知以后写不写雅克比行列式的几何意义等等。嘿嘿，您的给力评论使俺很受鼓舞。就像在学校里，老师先表扬说你的作业写得不错，有进步，我再给你出个优等生的题目吧。因此，俺就把这事记下了，先把题目列在目录里防止忘了。 当写到这一节时才知道这个题目确实有点难度啊，又下了很大的功夫，才觉得这件事通顺了。至此俺才发现，老师出的这个题目太有目光了，雅克比矩阵简直就是线性代数和微积分的纽带，是把非线性问题转换为线性问题的有力工具之一啊。有时看到一点微分几何的内容，也觉得和微分几何颇有渊源（宽恕俺没学过微分几何）。 兹写作业在此，希望再次得到老师的表扬哦： 5.1.1雅克比矩阵及其行列式的几何意义 话说有一个函数方程组，是由n个函数组成，每个函数也有n个自变量：。。。。。。。。。。。。。。。。。 这个函数组有两个意义可以解释，一个解释它是一个映射，点被映射成； 另外的一个解释就是坐标变换的意思，如果你把这个函数组代到一个以为自变 量的某方程中，即相当于把某方程的原坐标系被替换成坐标系。这两个解释本 质是一回事，是同一件事情的从不同角度的看法。坐标系不动，一个点被变换到 另一个点；这等价于说点不动，一个坐标系被代换到另一个坐标系。 下面我们将从其坐标变换的解释角度来分析。 一般情况下，这个函数方程组不是线性方程组，它的图形多是高维曲线、曲 面类的。稍详细一点说，每一个函数是个超维曲面，n个超维曲面组合在一起交 割成超维曲线。不过猛地看起来蛮像线性方程组的样子，心里于是就有了把它弄 成线性方程组的冲动：弄成线性的可以使用矩阵、行列式啊什么的，可以和线性 变换联系起来，多有几何意义啊。 雅可比迭代 使用雅可比迭代法求解线性方程组的步骤 步骤1：输入系数矩阵A和方程组右端向量B； 步骤2：将矩阵A分解为下三角阵L对角阵D和上三角阵U 可分解为（D+L+U）X=B for o=1:n d(o,o)=a(o,o); u(o,o+1:n)=-a(o,o+1:n); end for p=2:n l(p,1:p-1)=-a(p,1:p-1); end； 步骤3：将上式化简为x=B0x+f,其中B0=-D-1(L+U),f=D-1B for i=1:n b0(i,i+1:n)=u(i,i+1:n)/a(i,i); f(i,:)=b(i,:)/a(i,i); end for p=2:n b0(p,1:p-1)=l(p,1:p-1)/a(p,p);； 步骤4：采用迭代公式在允许误差范围e=1e-7内求得解向量x x0=x; x=b0*x+f 雅可比迭代法matlab程序： function [x,k]=jacobi(a,b) n=length(a); e=1e-7; m=100; x0=zeros(n,1); x=x0; k=0; d=zeros(n); l=zeros(n); u=zeros(n); b0=zeros(n); f=zeros(n,1); x0=x+2*e; for o=1:n d(o,o)=a(o,o); u(o,o+1:n)=-a(o,o+1:n); end for p=2:n l(p,1:p-1)=-a(p,1:p-1); end for i=1:n b0(i,i+1:n)=u(i,i+1:n)/a(i,i); f(i,:)=b(i,:)/a(i,i); end for p=2:n b0(p,1:p-1)=l(p,1:p-1)/a(p,p); end while max(abs(x0-x))>e&k 第九章开式链机构 §9-1 开式链机构的特点及功能 由开式运动链所组成的机构称为开式链机构,简称开链机构. 一、特点 1、开式运动链的自由度较闭式运动链多，要使其成为具有确定运动的机 构，就需要更多的原动机； 2、开式运动链中末端构件的运动与闭式运动链中任何构件的运动相比， 更为任意和复杂多样。 二、应用 利用开式运动链的特点，结合伺服控制和电子计算机的使用，开式链机构在各种机器人和机械手中得到了广泛的应用。 机器人的应用是多方面的： 制造业中，完成产品的生产从单一品种大批量生产逐步向多品种小批量生产过度； 在微电子工业和制药工业中，为避免人工介入而造成的污染，用机器人代替人完成某些操作； 在深水资源开发、卫星空间回收及外层空间活动中，机器人已成为不可或缺的工具； 机器人还可用于矿产开采、排险救灾及各种军事用途。 实例：a) 喷漆机器人 b) 装配机器人 c) 搬运机器人 三、机器人与传统自动机的区别 由连杆、凸轮等闭式链机构所组成的一般自动机，用于多次完成同样的作业----- 固定自动化； 由开式链机构所组成的机器人和机械手，可在任意位置、任意方向和任意环境下单独地或协同地进行工作，是一种灵活的、万能的、具有多目的、多用途的自动化系统------ 柔性自动化。 机器人与传统自动机的区别在于前者具有更大的万能性和多目的的用途，易于调整来完成各种不同的劳动作业和智能动作，包括在变化之中以及没有事先说明的情况下的作业。 §9-2 开式链机构的结构分析 本节以机器人操作器为例，介绍开式链机构的组成和结构。 一、操作器的组成 操作器是机器人的执行系统，是机器人握持工具或工件、完成各种运动和操作任务的机械部分，由机身、臂部、腕部和手部（末端执行器）组成。 机身：用来支持手臂并安装驱动装置等部件， 常把它与臂部合并考虑。 臂部：操作器的主要执行部件，其作用是支 撑腕部和手部，并带动它们在空间运动，从 而使手部按一定的运动轨迹由某一位置达到 另一指定位置。 腕部：连接臂部和手部的部件，其作用主要 是改变和调整手部在空间的方位，从而使手 爪中所握持的工具或工件取得某一指定的姿 态。 手部：操作器的执行部件之一，其作用是握 持工件或抓取工件。 二、操作器的自由度 操作器的自由度：在确定操作器所有构件的位置时所必须给定的独立运动参数的数目。 操作器的主运动链通常是一个装在固定机架上的开式运动链。 操作器中的运动副：仅包含单自由度运动副——转动关节和移动关节。 自由度计算公式 速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系 雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质： 6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。 雅克比的应用： 1、判断奇异状态：|J|=0 2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。 3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。 4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。 5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。 附件1：矢量积法 矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。 对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且 0i i v z q w ?? ??=???????? 因此得到雅可比矩阵的第i 列 0i i Z L ?? =???? (移动关节i) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0 ()i i n i v z p q =?，产生 的角速度为i i w z q = 。 因此，雅可比矩阵的第i 列为 ()00i i i i n i n i i i Z R P Z P J z Z ??????==? ????????? 式中，?表示矢量积符号，0 i n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0} 的表示，0 i n P = ( )0 i i n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。 附件2：微分变换法 速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。因此，操作速度与关节速度之间的额关系 第4章 速度运动学——雅可比矩阵 在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。 雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。 1.角速度：固定转轴情形 k θ ω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵 一个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T ,我们用)3(so 表示所有 33?反对称矩阵组成的集合。 如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式： ???? ? ?????---=0001 2 13 23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式： ???? ????? ?---=000 )(x y x z y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质 1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3 R ，α、β为标量 2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表示向量叉乘 3）)()(Ra S R a RS T =，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。 4）对于一个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T 旋转矩阵的导数 )(θθ SR R d d = 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。 3.角速度：一般情况 )())(()(t R t w S t R = ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。 4.角速度求和 假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω= ，其中 0,104 ,303 ,202,10 1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n n n n n n n R R R R ----+++++=+++++=ω ω ω ωωωωωωωω （0 2,1ω表示对应于1 2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度 v r o Rp S o p R p +?=+=+=ωω 110)( 其中，1 Rp r =是从1 o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运 Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1,λ 2 ,…,λ n ) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为 可得 如果a ij ≠0，取φ使得则有 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。 设由式 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由可知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值， Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T 的各列为相应的特 征 向量；否则，k+1=>k Stewart平台雅可比矩阵分析 赵慧[1]张尚盈[2] [1]武汉科技大学机械自动化学院 430081 Email: [2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074 Email: 摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。 关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵 1 引言 随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。 Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。 2 Stewart平台描述 2.1 坐标系建立 如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P— O X Y Z在上平台上，坐 p p p p %本程序的功能是用牛顿——拉夫逊法进行潮流计算 % X1矩阵：1、支路首端号；2、末端号；3、支路阻抗；4、支路对地电纳 % 5、支路的变比；6、支路首端处于K侧为1，1侧为0 % X2矩阵：1、该节点发电机功率；2、该节点负荷功率；3、节点电压初始值 % 4、PV节点电压V的给定值；5、初相角给定值6、节点所接的无功补偿设备的容量 % 7、节点分类标号：1为PQ节点；2为PV节点；3为平衡节点； clear; n=6; %input('请输入节点数：n=') nl=7; %input('请输入支路数：nl=') n2=5; %input('请输入已知条件中含有有功功率的节点数：n2=') n3=4; %input('请输入已知条件中含有无功功率的节点数：n3=') isb=6; %input('请输入平衡母线节点号：isb=') pr=0.00001; %input('请输入误差精度：pr=') X1=[1 2 0.000+0.300i 0 1.025 1; 1 4 0.097+0.407i 0 1 0; 1 6 0.123+0.518i 0 1 0; 2 5 0.282+0.640i 0 1 0; 3 5 0.723+1.050i 0 1 0; 3 4 0.000+0.133i 0 1.100 0; 4 6 0.080+0.370i 0 1 0] %input('请输入由支路参数形成的矩阵：X1=') X2=[0 50.0+5.0i 1.000 0 0 0 1; 0 30.0+18.0i 1.000 0 0 0 1; 0 55.0+13.0i 1.000 0 0 0 1; 0 0 1.000 0 0 0 1; 50.1 0 1.000 1.100 0 0 2; 0 0 1.000 1.050 0 0 3] %input('请输入各节点参数形成的矩阵：X2=') X3=[1 0; 2 0; 3 0; 4 0; 5 0; 6 0] %input('请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵：X3=') Y=zeros(n);u=zeros(1,n);v=zeros(1,n);delt=zeros(1,n);JJ=zeros(n2+n3);%设置各个参数矩阵的形式 for i=1:n if X3(i,2)~=0; a=X3(i,1); Y(a,a)=1./X3(i,2); end end 动力学分析基础——雅可比矩阵 代码编写,资料整理——ZH1110 动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分 外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算. 高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。 大致可以分为以下两步。 1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化） 在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。 2.消去。它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换 最后，进行回代依次解出 如:我们要解如下方程组： 初等行变换: 回代得到结果: 龙格-库塔算法求解常微分方程 用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。 动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。 一、 使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解 所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程： dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b] y(a)=y0 可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计 C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: ?以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； ?本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； ?鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。 ?限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: ?采用模块化程序设计； ?鼓励可视化编程； ?源程序中应有足够的注释； ?学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； ?必须上机调试通过； ?注重算法运用，优化存储效率与运算效率； ?需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) ?提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献 1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include雅可比矩阵
雅可比解线性方程组matlab
直接用坐标变换求解雅可比矩阵的例子1
速度雅克比矩阵分析
速度运动学雅可比矩阵
雅克比矩阵
Stewart平台雅可比矩阵分析
潮流计算程序至雅克比矩阵
动力学分析基础--雅克比矩阵
雅克比法求矩阵特征值特征向量