三角形角平分线地结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用
摘要：
一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习
一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，
1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋
2
解：∵BD、CD为角平分线
1∠ＡＢＣ，（图1）
∴∠ＣＢＤ＝
2
1∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝
2
在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）
1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）
＝１８０°－
2
1（１８０°－∠Ａ）
＝１８０°－
2
1∠Ａ
＝９０°＋
2
变式练习的题目有
（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。
1∠Ａ。则∠Ａ=2∠D―180°，
解:由结论1得知，∠D=９０°＋
2
容易得出∠Ａ=20°（图2）
（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°
∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。
解：∵∠A+∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ+∠D=360°
又∵∠D=120°，∠A=100°
∴∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ=140°
∵BE、CE分别是ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线
∴∠EBC+∠ECB=70°. （图3）
∴∠BEC=110°.
结论二、如图4，△ABC中，Ｄ为△ＡＢＣ的两条外角平分线的交点，试探究：
1∠A
∠D＝９０°－
2
解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线
1∠ＣＢＥ
∴∠CBD=
2
1∠ＢＣＦ（图4）
∠ＢＣＤ＝
2
在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ） ＝１８０°－（2
1∠ＣＢＥ＋2
1∠ＢＣＦ）
＝１８０°－21（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ）
＝１８０°－2
1
（∠Ａ＋１８０）
＝９０°－2
1
∠A
变式练习的题目：
（1）如图5，△ABC 中，∠A=60°，Ｄ为△ＡＢＣ的两外角∠CBE 与∠BCE 的三等分线的交点，则∠D 的度数是 。
解：∵ＢＤ、ＣＤ为∠CBE 与∠BCE 三等分线 ∴∠CBD=31∠ＣＢＥ ∠ＢＣＤ＝3
1∠ＢＣＦ
在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ） （图5） ＝１８０°－（31∠ＣＢＥ＋3
1∠ＢＣＦ）
＝１８０°－
3
1
（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ） ＝１８０°－3
1（∠Ａ＋１８０）
＝12０°－3
1∠A ＝100°. （图6）
（2）如图6，在△ＡＢＣ中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 △DEF ，试判断△DEF 的形状。
解:由结论二容易得出∠D ＝90°－21∠ACB, ∠E ＝90°－2
1∠BCA 、 ∠F ＝90°－2
1∠ABC ， 由于∠D 、∠E 、∠F 都小于90°，
所以△DEF 是锐角三角形
结论三、 如图7，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ与△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＥ的平分线交与点D ，试探究：∠Ｄ＝2
1∠Ａ。 解：∵ＢＤ为角平分线，
∴∠ＣＢＤ＝2
1∠ＡＢＣ，
又∵ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线.
∴∠ＤＣＥ=2
1∠ＡＣE ， （图7） ∴∠Ｄ＝21∠ＡＣE －2
1∠ＡＢＣ
＝21（∠ＡＣE －∠ＡＢＣ） ＝2
1∠Ａ。 变式练习的题目有;
（1）如图8，如图，在△ABC 中，延长BC 到D,∠ABC 与∠ACD 的角平分线相较于Ａ１点，∠Ａ１BC 与∠C Ａ１D 的平分线交与Ａ１点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠Ａ５=度．
解：由命题③的结论不难发现规律∠Ａｎ＝n
???
?
??21∠A ．
可以直接得：∠Ａ５=
32
1
×96°=3°． （图8）
结论四、如图9，在△ABC 中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D ，△ＡＢＣ的两条外角平分线交与点E ，试探究：∠D+∠E=180° 证明：由结论一可知;∠D=９０°＋2
1∠Ａ 则∠Ａ=2∠D －180°①
由结论二可知：∠E ＝９０°－21∠A ∠Ａ=180°－ 2∠E ②
由①②可知2∠D－180°= 180°－2∠E （图9）
由此得出∠D+∠E=180°
变式练习的题目：
如图10，点M是△ABC两个内角的平分线的交点，点N是△ABC两个外角的平分线的交点，
如果∠CMB∶∠CNB=3∶2，那么∠CAB=度
由结论四可知，∠CMB+∠CNB=180°，
∵∠CMB∶∠CNB=3∶2，
∴∠CMB=180°×3=108°，
由结3可知，90°+12∠CAB=∠CMB=108°，
∴∠CAB=36°．（图10）
结论五：如图11, △ABC中∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线BN、CM的交与点P，, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明;过点P作PD ⊥AB、PE⊥BC、PF⊥CA，
垂足分别是D、E、F
∵BN是的角平分线，PD ⊥AB、PE⊥BC
∴PD=PE
同理PE=PF. （图11）
∴PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
变式练习的题目有:
（1）已知，如图12，△ＡＢＣ，求证:△ＡＢＣ的三条角平分线相交于一点P
证明；假设∠ABC、∠ACB的平分线交于点P.
则过点P作过点P作PD ⊥AB、PE⊥BC、PF⊥CA, 垂足分别是D、E、F ∵BN是的角平分线，PD ⊥AB、PE⊥BC
∴PD=PE
同理PE=PF.
∴PD=PF.
∵PD ⊥AB、PF⊥CA,
∴点P在∠A的平分线上（图12）
即∠A、∠ABC、∠ACB的平分线相交于一点P
（2）已知△ABC中∠Ｂ、∠Ｃ的角平分线的交与点D，,
求证：点D在∠A的平分线上（证明略）
结论六：如图13，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，求证:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图：则过点E作过点P作EG ⊥AC、EF⊥BD、EH⊥BH,
垂足分别是G、F 、H
∵BE是∠ABC的平分线, EF⊥BD、EH⊥BH,
即EF=EG=EH
可得：EH=EF 同理：EG=EF
∵EG=EH EG ⊥AC、EH⊥BH, （图13）
∴AE是△ABC的外角平分线．
变式练习题目：（1）如图14，直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处 （图14） 解：由以上很容易得到答案：D
（2）如图15，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点F ．
求证：点F 到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等． （证明略） (3) 点D 是△ABC 两个外角平分线BD 、CD 的交点， 求证:AD 是∠CAB 的角平分线。 (证明略) （图15） 掌握以上知识，那么完成以下题目就很轻松哟！
1、（ 2011年湖北省鄂州是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 解：由结论六可知:AP 是△ABC 的一个外角的平分线 由结论三可知：∠BPC ＝2
1∠Ａ. ∠BPC=40°
∴∠A=80°. ∠A 的相邻外角是100°， （图16） 所以∠CAP=50°
2、(2003年山东省“KLT 快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图17，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB=度．
解：由结论六可以知道：AE 是△ABC 的一个外角平分线,
由结论二可知：∠AEB=90°－21
∠ACB
由此可得∠AEB=90°－21
×90°=45° （图17）