奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-46
初中数学竞赛辅导资料为（46）
完全平方数和完全平方式
甲内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
乙例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m 2+2）.
∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m 2+2不能被5整除.
而5（m 2+2）能被5整除，
即S 能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当???>-0
10m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.
解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.
解不等式 m －1>0 ， 得m>1.
即?
??>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,
(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
??
???=-=-=-000a c c b b a
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m 2 (m 为整数)，
即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，
解得，k=4
252
m -. ∵ k 是非负整数，
∴ ?????-≥-的倍数
是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；
由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4
252
m -. 求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.
设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).
由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.
当k 为偶数，m 为奇数时，
左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；
右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，
左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3
右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.
∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.
∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
丙练习46
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)
15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
(1990年全国初中数学联赛题)