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随机过程课后习题

随机过程课后习题
随机过程课后习题

习题一

1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2.(1)求参数为(p,b )的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为

(2)求其期望和方差;

(3)证明对具有相同的参数b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。 3.设X 是一随机变量,F (x )是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

(1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数; (2)Z=ln F()X ,并求()k E Z (k 为自然数)。 4.设12,,...,n X X X 相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。

5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。

6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。

7.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ,试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概

率密度函数。

8.设X 、Y 相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9.已知随机向量(X, Y )的概率密度函数为

试求其特征函数。

10.已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234()服从正态分布,均值向量为0,协方差矩

阵为B σ?kl 44=(),求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从(0,1)N ,试求随机变量112Y X X =+和

213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从2(0,)N σ,试求:

(1)随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数;

1,0()

0,0()p p bx

b x e x p x p x --?>?

Γ??≤?

=0,0

b p >>1

n

k k X =∑

(1)()(1)

jt jnt jt e e f t n e -=-21

()1f t t

=+1

1n

i i X X n ==∑22

1[1()],1,1

(,)40,xy x y x y p x y ?+--<

(2)设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++,

求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数;

(3)121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 13.设(X 1, X 2, X 3)服从三维正太分布(0,)N B ,其中协方差矩阵为33B σ?ld =(),且

2112233σσσσ===。试求222

222123[()()()]E X X X σσσ---。

14.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(0,)N σ。试求 的期望。

15.设X 、Y 是相互独立同分布的(0,1)N 随机变量,讨论22U X Y =+和 的独立性。

16.设X 、Y 是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论U X Y

=+和 的独立性。

17.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数分别如下,试求(|)E X Y y =。

(1) (2)

18.设X 、Y 是两个相互独立同分布的随机变量,X 服从区间[0, 1]上的均匀分布,Y 服从参数为λ的指数分布。求(1)X 与X+Y 的联合概率密度函数;(2)D(X|Y=y)。

19.设X n ,n=1,±1,±2,…是一列随机变量,且 ,

其中K 是正常数。试求: (1)当K>1时,X n 几乎肯定收敛于0; (2)当K>2时,X n 均方收敛于0; (3)当K>3时,X n 不均方收敛于0。

20.设,p p n n X a Y b ??

→??→,试证明p

n n X Y a b ±??→±。 习题二

1.设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列,且有相同的两点分布 ,令 (0)0Y =, ,试求: 21

exp()n

n i i Y X ==-∑X

V Y

=X V X Y

=+1,0,0(,)0,x

y y

e

x y p x y y

--?>>?=???其他

2,0(,)0,x e y x

p x y λλ-?<<=?

?其他

0~1211n K K K n n X n

n n -?? ? ?- ???111122-??

? ???1

()n i i Y n X ==∑

(1)随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数;

(2)P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值; (3)P[Y(n)=k]; (4)均值函数; (5)协方差函数。 2.设()c o s s i n

X t A t B t ωω=-,其中A 、B 是相互独立且有相同的2

(0,)N σ

分布

的随机变量,ω是常数,(,)t ∈-∞∞,试求:

(1)X(t)的一个样本函数; (2)X(t)的一维概率密度函数; (3)均值函数和协方差函数。

3.设随机过程 。其中12,,...,n Y Y Y ,

12,,...,n Z Z Z 是相互独立的随机变量,且2,~(0,),1,2,...,k k k Y Z N k n σ=。

(1)求{X(t)}的均值函数和相关函数;

(2)证明{ X(t)}是正太过程。 4.设{(),0}Wt t ≥

是参数2σ的Wiener 过程,求下列过程的均值函数和相关函数:

(1)2()(),0X t W t t =≥; (2) ;

(3)12

()(),0X t c W c t t -=≥; (4)()()(),01X t W t tW t t =-≤≤。

5.设到达某商店的顾客组成强度为λ的Poisson 流,每个顾客购买商品的概率为p ,且与其他顾客是否购买商品无关,若{(),0}Y t t ≥是购买商品的顾客流,证明{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

6.在题5中,进一步设{(),0}Z t t ≥是不购买商品的顾客流,试证明{(),0}Y t t ≥与{(),0}Z t t ≥是强度分别为p λ和(1)p λ-的相互独立的Poisson 流。

7.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 流。试证明:

(1)12{(),0}N N t t +≥是强度为12λλ+的Poisson 流;

(2)在1{(),0}N t t ≥

的任一到达时间间隔内,2{(),0}N t t ≥恰有k 个时间发生的概率为

8.设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程,n τ和n T 分别是{(),0}N t t ≥的第n 个时间的到达时间和点间距距离。试证明:

(1)()(),1,2,...n n E nE T n τ==; (2)()(),1,2,...n n D nD T n τ==。

1

()(cos sin ),0n

k k k k k X t Y t Z t t ωω==+≥∑

1

()(),0X t tW t t =>1212

12

(

),0,1,2,...

k k p k λλλλλλ=

?=++

9.设某电报局接收的电报数()N t 组成Poisson 流,平均每小时接到3次电报,求:

(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率; (2)下午第一个电报的到达时间的分布。

10.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 过程,令12()()(),0X t N t N t t =-≥,求{(),0}X t t ≥的均值函数与相关函数。 11.设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程,T 是服从参数为γ的指数分布的随即变量,且与{()N t }独立,求[0,T]内事件数N 的分布律。

习题三

1. 证明Poisson 随机变量序列的均方极限是Poisson 随机变量。

2. 设,1,2,...n X n =,是独立同分布的随机变量序列,均值为μ,方差为1,定

义1

1n

n i i Y X n ==∑。证明lim n n X μ→∞=。

3. 研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

(1)()X t At B =+,其中A 、B 是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a 、b ,方差为21s 、2

2s ;

(2)2()X t At Bt C =++,其中A 、B 、C 是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a 、b 、c ,方差为21s 、22s 、2

3s ; (3){(),0}N t t ≥是Poisson 过程; (4){(),0}W t t ≥是Wiener 过程.

4. 试研究上题中过程的均方可导性,当均方可导时,试求均方导数过程的均值

函数和相关函数。

5. 求下列随机过程的均值函数和相关函数,从而判断其均方连续性和均方可微性。 (1)()cos()X t t ω=+Θ,其中ω是常数,Θ服从[0,2π]上的均匀分布; (2)1(),0X t tW t t ??=> ???

, 其中()W t 是参数为1的Wiener 过程; (3)()2

(),0X t W

t t =≥,其中()W t 是参数为2s 的Wiener 过程。

6. 均值函数为()5sin x m t t =、相关函数为2

0.5()

(,)3t s x R s t e --=的随机过程

输入微分电路,该电路输出随机过程()()Y t X t '=,试求()Y t 的均值函数、相关函数、()X t 与()Y t 的互相关函数。 7. 试求第3题中可积过程的如下积分:

01()()t Y t X u du t =?,1()()t L

t

Z t X u du L +=?

的均值函数和相关函数。

8. 设随机过程3()cos2t X t Ve t =,其中V 是均值为5、方差为1的随机变量,试求随机过程0

()()T

Y t X s ds =

?

的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

9. 设{(),0}W t t ≥是参数为2s 的Wiener 过程,求下列随机过程的均值函数和相关函数。 (1)0()(),0t

X t W s ds t =≥?;

(2)0

()(),0t

X t sW s ds t =≥?;

(3)()[()()],0t l

t

X t W s W t ds t +=

-≥?

10. 求一阶线性随机微分方程

0()()0,0

(0)(0)X t aX t t a X X '+=≥?>?

=?

的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数,其中0X 是均值为0、方差为2s 的正态随机变量。

11. 求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。

(1) 0()(),[,]

(0)()Y t X t t a b a Y a Y '=∈?>?

=?

其中()X t 是一已知的二阶均方连续过程,0Y 是与()X t 独立的均值为m 、方差为

2s 的随机变量。

(2) 0()()(),0

(0)(0)Y t aY t X t t a Y Y '+=≥?>?

=?

其中()X t 是一已知的均值函数为()sin x m t t =、相关函数为

(,)(0)t s

X R s t e

λλ--=>的二阶均方连续过程。

习题四

1.设随机过程()cos()X t A t ω=+Θ,其中A 具有Rayleigh 分布,即其概率密度函数为

2

22exp(),0()(0)20,0x x x p x x σσσ

?->?=>??≤?

式中Θ服从区间[0, 2π]上的均匀分布,且A 、Θ相互独立,试研究X 是否为平

稳过程。

2.设X 是一平稳过程,且满足()()X t X t T =+,称X 为周期平稳过程,T 为其周期,试证X 的相关函数也是以T 为周期的周期函数。

3.设X 、Y 是两个相互独立的实平稳过程,试证明()()()Z t X t Y t =+也是平稳过程。

4.设{(),X t t -∞<<+∞是n 阶均方可微的平稳过程,证明

(){(),}n X t t -∞<<+∞是平稳过程,且()(2)

()(1)()n n n X

x R R ττ=-。 5.设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列,证明:

(1)()()()Z n AX n BX n m =+-仍是一平稳时间序列; (2)若数列{A(n)}绝对收敛,即k k A ∞

=-∞

<+∞∑

,则()()k

k Z n A X n

k ∞

=-∞

=

-∑仍

是一平稳时间序列;

(3)若{X(n)}是一白噪声,试求0

()()k

k Z n A X n k ∞

==

-∑的相关函数及其谱函

数。

6.设X(t)是雷达在t 时的发射信号,遇目标返回接收机的微弱信号是

1(),1aX n a τ- ,1τ是信号返回时间,由于接收到的信号总是伴有噪声的,记

噪声为N(t),于是接收机接收到的全信号为:1()()()Y t aX t N t τ=-+,若X 、Y 是平稳相关的平稳过程,试求()XY R τ;进而,若()N t 的均值为0,且与()X t 相互独立,试求()XY R τ。

7.设()s i n X t t =Θ,其中Θ是服从区间[0, 2π]上的均匀分布的随机变量,试证:

(1){,0,1,2,...}n X n =±±是一平稳时间序列;

(2){(),}X t t -∞<<+∞不是平稳过程。

8.设{(),}X t t -∞<<+∞为零均值的正交增量过程,2

()()E X t X s t s -=-,试证()()(1)Y t X t X t =--是一平稳过程。

9.设{(),0}X t t ≥是平稳过程,均值0X m =,相关函数为()X R τ,若

(1)(),0a X R e

a τ

τ-=>

(2),1

()0,X R τττ?≤?=???1-其他

令0

1()()t

Y t X s ds T =?,T 是固定的证书,分别计算{(),0}Y t t ≥的相关函数。

10.设平稳过程{(),0}X t t ≥的相关函数为1

1

()X R e

e

βτ

ατ

τβ

α

--=

-

,这里

0αβ≥>为常数。

(1)判断X 是否为均方可导,说明理由; (2)计算{()()}E X t X t τ'+和{()()}E X t X t τ''+。 11.设宽平稳过程{(),(,)}Y t t ∈-∞+∞的自相关函数为()Y R e

τ

τ-=,对满足随机

微分方程()()()X t X t Y t '+=的宽平稳过程解{(),(,)}X t t ∈-∞+∞。

(1)求X 的均值函数、自相关函数和功率谱密度;

(2)求X 与Y 的互相关函数和互功率谱密度。

12.设{(),0}X t t ≥是均值为0的平稳的正态过程,且二阶均方可导。求证:对任意t>0,()X t 与()X t '相互独立,但()X t 与()X t ''不独立,并求(,)XX R t t τ''+。 13.设{(),0}X t t ≥是均方可导的实平稳的正态过程,相关函数为()R τ,求其导数过程{(),0}X t t '≥的一维、二维概率密度函数。 14.已知平稳过程的相关函数

(1)2

()cos ,(0)a X R e a τ

τσβτ-=> (2)2

()(1),(0)a X R e

a a τ

τστ-=+>

(3)2()[cos sin ],(0)a X a

R e

a τ

τσβτβτβ

-=+

>

求谱密度。

15.已知平稳过程(参数连续)的谱密度

(1),()0,X a b

S ωω?≤?=???其他

(2)2,2()(0)0,X b a a

S a ωω?≤≤?=>???其他

(3)2

2

2

1(),(,)n

k X k k k k

S σωωσωω==+∑为正数 求相关函数和平均功率。

16.设X 、Y 是两平稳相关过程,且[()][()]0E X t E Y t ==,()()X Y R R ττ=,

()()XY XY R R ττ=--,试证00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=+也是平稳过程。又若

X 、Y 的谱密度函数存在,使用X 、Y 的谱密度及互谱密度表出Z 的谱密度。 17.设()cos()X t t ω=+Θ,其中0ω>为常数,Θ是特征函数为f(t)的实随机变量,证明X 为平稳过程的充要条件为f(1)=f(2)。

18.设X 为平稳正态过程,[()]0E X t =,()R τ是其相关函数,试证

()sgn[()]Y t X t =是一平稳过程,且其标准相关函数为

()2()

()arcsin (0)(0)

Y Y Y R R R R ττρτπ=

= 19.设{(),}X t t -∞<<∞是一平稳过程,()S ω为其谱密度函数,试证:对任意的h>0,()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程(即平稳过程具有平稳增量),并求Y 的谱函数。

20.设{(),}X t t -∞<<∞是均值为0、相关函数为()X R τ的实正太平稳过程,证明2()X t 也是平稳过程,并求其均值及相关函数。

21.设二阶过程{(),}X t t -∞<<∞的均值函数为[()]E X t t αβ=+,相关函数为

(,)t s

R s t e

λ--=,其中0αβλ>>>都是常数。证明()(1)()Y t X t X t =+-是一

平稳过程,并求其均值及相关函数。

22.设{,0,1,2,...}n X n =±±是白噪声序列,试证明

1

()[()(1)...(1)]Y n X n X n X n m m

=

+-++-+ 是平稳时间序列,并求其相关函数及谱密度。 23.设{(),0,1,2,...}

X n n =±±为均方连续的平稳过称,具有谱密度()S ω,试证:

对每个0,{(),0,1,X n n ?>?=±±是平稳序列,并用()S ω表出

{(),0,1,X n n ?=±±的谱密度。

24.设ξ、η是两个互相独立的实随机变量,0,1E D ξξ==,η的分布函数是F(x),试证明:()jt Z t e ηξ=为平稳过程,且其谱函数就是()F ω。

25.设{(),}X t t -∞<<+∞是均方可导的平稳过程,()S ω是其谱密度,试证

(1)()(0,()(),t

t s Y t e X s ds ββ---∞

>=?常数)

(2)()

sin ()

(0,0)(),()t

t s t s e X s ds Z t αωαωω

---∞

->>=

?均常数

均为平稳过程,并求他们的谱密度。

26.设Y 是均方二次可导的平稳过程,X 是均方连续的平稳过程,且满足:

20()()()()Y t Y t Y t X t βω'''++=

使用X 的谱函数表示Y 的谱函数及X 与Y 的互谱函数。

27.已知如图所示的系统,其输入X 为一零均值的平稳的正太过程,通过实验测得Z 的功率谱密度为

222

2()()()(1)

Z S β

ωπδωωβω=+

++ (1)试证Y 也为平稳的,且22()(0)2()Y X

X R R R ττ=+; (2)利用(1)的结论分别求X 和Y 的自相关函数与功率谱密度。

X(t)

Z(t)

题27图

28.设线性时不变系统的脉冲响应()()exp()h t U t t β=-,其中0β>为常数,

()U t 为单位阶跃函数,系统的输入X 是自相关函数为

()exp[],(0)X R τατα=->的平稳过程。试求:

(1)系统输入与输出的互相关函数。 (2)输出的功率谱密度和自相关函数。

29.设随机过程()cos sin ,X t A t B t t =+-∞<<+∞,其中A 和B 是相互独立的零均值随机变量,且2()()D A D B σ==。试研究X 的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。

30.设随机过程()cos(),X t A t t ω=+Θ-∞<<+∞,其中A Θ、是相互独立的随机变量,且Θ服从区间[0,2]π上的均匀分布。试研究X 的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。

31.设随机过程()cos(),X t A t t ω=+Θ-∞<<+∞,其中A ωΘ、、是相互独立的随机变量,其中A 的均值为2,方差为4,且Θ服从区间[,]ππ-上的均匀分布,ω服从区间(-5,5)上的均匀分布。试研究X 的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。

32.设平稳过程的期望为m ,自相关函数为()R τ,协方差函数为()C τ。

(1)若

()C d ττ∞

-∞

<+∞?

,试证明X 的均值各态历经;

(2)若(0)C <+∞,且当τ→∞时,()0C τ→,试证明X 的均值各态历经。

33.设平稳过程{(),}X X t t =-∞<<+∞的均值0X m =,相关函数

()(1),(0)a X R A e

a a τ

ττ-=+>,其中A 、a 是常数。问X 的均值是否具有各态

历经性。

习题五

1.设{,1,2,...}n U n =是相互独立的随机变量序列,试问下列的{,1,2,...}n X n =是否是马氏链,并说明理由:

(1)12...n n X U U U =+++; (2)212(...)n n X U U U =+++。

2.{,1,2,...}n X n =是随机差分方程1n n n X X I ρ-=+的解,其中ρ是已知常数,

00X =,而{,1,2,...}n I n =是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明

{,1,2,...}n X n =是马氏链。

3.有两个状态0和1的马氏链{,1,2,...}n X n =,其状态转移概率矩阵为

000110

11p p P p p ??=

???

试证:

(1)当001111p p +-<时,有

110000

00()

00111100111100110011111(1)(1)1

11(1)122n n p p p p p p P

p p p p p p p p -----????+-=+ ? ?---------?

???

()()

11

00100011

12lim lim n n n n p p p p p →∞

→∞

-==

--

(2)特别地,当

0011,1p q p p p ===-时有

()

1111()()2222

1111

()()22

22n

n n n n p q p q P p q p q ??+--- ?=

? ?--+-

???

(3)试求概率01{1|1}P X X ==。

4.有三个黑球和三个白球,把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中,并把甲袋

中的白球数定义为该过程的状态,则有四种状态:0,1,2,3。现每次从甲、乙袋中各取一球,然后互相交换,即把从甲袋中取出的球放入乙袋,而把从乙袋中取出的球放入甲袋,经过n 次交换过程的状态记为X n 。试问过程是否是马氏链?如果是,试计算其一步转移概率矩阵。

5.设一个有三个状态的马氏链,其状态转移概率为

11223

300

p q P p q q p ?? ?= ? ???

其中1,1,2,3i i p q i +==。试求首达概率()00n f 和()

01

,1,2,3n f n =。 6.设马氏链的转移概率矩阵分别表示如下:

0.600000.400.6

0.4

00.10.10.10.10.50.100.20.20.40.2000.2000.800.40

0.6P ?? ? ? ?=

? ? ? ? ??

?

0.60

00.401212

000.6000.4131310,00.20.600.2141414140.40

00.601414141400.2000.8P P ????

?

?

? ?

?==

? ?

?

???

??

? (1)试对S 进行分类,并说明各状态的类型; (2)求平稳分布,其平稳分布是否唯一?为什么?

(3)求((2)1|()0)P X n X n +==,{(2)2|()0}P X n X n +==。 7.试讨论齐次马氏链的平稳概率的存在性和唯一性问题,若存在,如何求出其所有的平稳概率?并举例说明。

8.考虑一个状态为0,1,2,…的马氏链,其状态转移概率为

0,10

,1,,1,1i i i i i i i i p p p ip p i ∞∞

-====<∞=≥∑∑

试证明此马氏链是不可约、非周期、正常返的,并求其平稳概率。

9.假定今天下雨,则明天仍下雨的概率为α,而如果今天不下雨,则明天下雨的概率为β,试求下雨的极限概率。

10.考虑一个有平稳概率i π的不可约非周期马氏链,设其初始分布为i π,记

01{|}ij Q P X j X i ===

则Q 可看作为一个马氏链的转移概率矩阵,试证明:

()0{|}n ij n Q P X j X i ===

11.设有两个相同部件,工作时的寿命均服从参数为λ的指数分布,储备时的寿

命均服从参数为α的指数分布。开始时一个部件工作,一个部件储备,当工作部件失效时立即进行修理,修理时间服从参数为μ的指数分布;当一个部件在修理时,若另一个也失效,则等待先修理者修理完毕后立即进行修理;当一个失效部件修理完毕时,若另一个部件正在工作,则做储备,否则立即开始工作。试求t 时有部件工作的概率。

12.设N(t)是率为λ的Poisson 过程,

n Y 是独立同分布取整数值的随机变量序列,

()

1

()N t n

n X t Y

==

试证:

(1)X(t)是一马氏过程;

(2)求X(t)的数学期望和自相关函数。

13.设有两个串行微处理器12(,)M M 和两个缓冲器12(,)B B 组成如题13图所示的系统。请求到达1M 后依次经过1M 和2M 的处理;每个周期有一个请求到达1M 的概率为p ,没有请求到的概率为1p -;到达的请求存放在1B 中2B 的容量分别为1N 和2N (包括处理器正在处理的请求)。请求的到达与在1M 及2M 上的处理时间相互独立。试建立描述上述系统的马尔可夫链模型,其稳态分布是否存在?如存在,试求出其稳态分布。

题13图

14.考虑一出租汽车站,其出租汽车到站和顾客到站分别按率为T λ和c λ的独立泊松分布过程进行(其中T c λλ<)。一辆出租车来到,不管出租车队伍多长都得等待,而一个顾客来到时仅当等待的顾客数不超过2时他才等待。假设时间足够长后系统达到平衡状态,试求等待出租车的平均顾客数和一个顾客来到时不需要等待就能坐上出租车的概率。 15.试述离散时间马氏链与连续时间马氏过程间的联系及其相同点和不同点(从状态分类,极限情况等来讨论)。

16.考虑具有k 个通道的电话交换机,如果所有k 条线都被占用,则一次呼叫来到时就被丢失了,呼叫电话规律服从比率为λ的泊松过程,呼话的长短具有平均值为1μ的独立指数分布的随机变量。试求在系统达到平稳时一次呼叫来到时被丢失的概率。

17.设()X t 为有7个状态的时齐马氏过程,其状态转移强度矩阵Q 如下所示,其中的*号表示非零值,试说明各状态的类型和周期。

**000000**0000*0*00000

00**00000**0000000*0*******Q ??

?

? ?

?

= ? ?

?

? ???

18.假如在例5.7.1中的两个部件不同型,即它们的寿命分布和修理时间分布都

是不相同的,但都是指数分布,试研究此时的系统。

19.设某金工车间有M 台车床,由于经常需要测量和调换刀具等原因,各车床总是时而停止,时而工作。假定在时刻t 时,一台车床正在工作,但在时刻t t +?时停止工作的概率为()t t μο?+?;再假定在时刻t 时,一台车窗不工作,而在时刻t t +?时这台车床在工作的概率为()t t λο?+?;而且各车床的工作情况是相互独立的,如果用()N t 表示时刻t 正在工作的车床数。

(1)说明()N t 是一齐次马尔可夫过程; (2)求出它的平稳分布;

(3)特别当10,60,30M λμ===时,求出在平稳状态时有一半以上车床在工作的概率。

20.试证明参数为λ(>0)的泊松过程{(),0}N t t ≥是一个时间t 连续状态离散的马尔可夫过程。

21.对M/M/K 排队系统,记()N t 表示此系统在t 时的队长,要求:

(1)说明()N t 是一个生灭过程,并写出其Q 矩阵;

(2)列出柯尔莫哥洛夫微分方程,并研究其平稳分布的存在性和计算问题。

习题六

1.在例6.2.3中,如果假定报酬n Y 不是在第n 次更新时刻n T 时一次性得到,而是在1[,]n n T T -中连续地、一点一点地得到的,试证明命题6.2.2中的结论仍成立。 2.试写出现时寿命t δ的分布函数及其极限。

3.试写出现时寿命t δ和剩余寿命t γ的联合分布函数及其极限。

4.试对Poisson 过程而言,求出现时寿命t δ和剩余寿命t γ的联合分布函数和它

们各自的分布函数。

5.试举例说明期望总寿命t E β大于期望更新间隔时间n EX 。 6.试证明以下结论:

对常返状态i ,若在(X,T)中正常返且inf{|0,,}0jk jk i p j k C η>∈>,则i 在X 中正常返且,j i j C η<∞?∈;反过来,若i 在X 中正常返且

s u p {|0,,}j k j k i p j k C η>∈<∞,则i 在(X,T)中正常返。

7.记()1N t X +为包含t 的更新间隔长度,试证明

()1{}1()N t P X x F x +>≥-

并对Poisson 过程计算()1{}N t P X x +>。 8.试证明下式:

20

{[()]}()2()()t

E N t m t m t s dm s =+-?

9.对一个更新分布为非格的更新过程,试证明以下两式:

()()[1()]()t

e e t

m t F t F t x dm x μ

-

=+--?

2

12lim ()12t t

EX m t μμ

→∞-=- 10.设有一个过程,它有三个状态:1、2、3,其状态转移是1→2→3→1的循环形式,在状态1、2、3处的逗留时间分别服从分布函数123F F F 、、,试求

lim {t i}1,2,3t P i →∞

=过程在时处于状态,

以此,试求n 个状态的类似问题。

11.有一个计数器,粒子的到达服从间隔分布为F 的更新过程,计数器每记录一个粒子后锁住一段固定时间L ,在此期间,它不能记录任何到达的粒子。试求从锁住结束到下一个粒子到达的时间长度的分布函数。

12.设顾客相继到达一个汽车站形成一个均值为μ的更新过程,当有N 个顾客时就发出一辆汽车。假定汽车站需给逗留在汽车站的每一个顾客以率λ支付费用。需研究汽车站在长期运行下单位时间的费用。 13.设某更新过程的更新密度为

(),()0,

x e x f t x ρδρδ

δ--?>=?

≤? 其中δ是固定的,试计算概率{()}P N t k ≥。

14.设某更新过程的更新密度是2(),0t f t te t λλ-=≥,试证明其更新函数是

211

()(1)24

t m t t e λλ-=--

15.考虑一个系统,由于使用时间过长后会失效,而且一般失效时所造成的损失

较大,因此经常是在失效前就用一个新的同类系统更换之。考虑这样一种策略:对固定的T>0,当系统在T 时还未失效时就更换(称事前更换);若在T 之前已经失效,则在失效时就更换(称事后更换)。设1c 是事前更换的费用,2c 是事后更换的费用。试求使长期运行单位费用达到最小的T 。

16.设有一马氏更新过程(X,T),其状态空间为S={a,b},半马氏核为

5235220.6(1)0.40.4()0.50.20.30.50.5t t t t

t

t e e Q t e e

e te ------??--= ?----??

(1)试求嵌入马氏链X 的转移概率矩阵;

(2)对任意的状态i 、j ,试计算给定现在的状态为i 而下一步的状态为j 的条件下,在状态i 的逗留时间的分布函数。

17.对题16中的(X,T),设0123,,,X a X a X b X b ====,试求以下条件概率:

(1)121320123{,,|,,,}P T x T T y T T z X X X X ≤-≤-≤; (2)30123{|,,,}P T x X X X X ≤。

18.某机器由两个部件组成,它们的寿命分别是参数为0.01和0.04的指数分布。当有一个部件失效时,机器就失效,两个部件失效时的修理时间分别服从分布函数F 和G ,定义随机过程()0,1,2Y t =分别表示机器在t 时工作,部件1在修理,部件2在修理。试证明Y 是一个马氏更新过程,其核为

0()()0

0()0.20.80F t Q t G t H H

??

?= ? ??

?

其中0.05()1t H t e -=-。进而,试计算0{()},0,1,2,3P Y t j j ==。

19.进一步考虑题18。假定部件1和2的平均修理时间分别是2和1,而修理部

件1和2的单位时间修理费用分别是18元和4元,机器在单位时间中运行的获利为10元。试计算长期运行下单位时间中的纯获利(即计算0

1lim (())t

t g Y t dt t →∞?)

和期望折扣总获利(设连续折扣因子1α=)。

20.考虑一个齐次马氏链,设T 是非常返状态集,对i T ∈,记i M 表示从初始状态i 出发到达某一个常返状态的首达时间,试证明

1,i ij j j T

M p M i T ∈=+∈∑

21.举例说明一个正常返(或零常返)的马氏更新过程,其嵌入马氏链是零常返的(或正常返的)。

22.对一个连续时间马氏过程,试证明

1

1()jj jk

kj k jj

jj

t

m p

t μμμ∞

==

-+

23.对一个生灭过程,试证明从状态0出发首次到达状态n+1的期望时间是

1

j

j i j i i

P P λ∞

==∑∑

其中j P 是由(6.7.14)式给出的极限概率。

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;

最新第1章 随机过程的基本概念习题答案

第一章 随机过程的基本概念 1.设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求X (t )的一维概率分布 解:∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0

?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ,以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解:(1)先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0,1两种可能,于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F (x ,1) 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:

所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个 任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1)

与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= --

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

随机过程习题答案A

随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中:

式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为:

利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有:

P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1)是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2)

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t)

随机过程试题及答案

一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分.

050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布. (a ) 若Λ,2,1=t ,证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关,不平稳,与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列,定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,) 1(n X 为平稳过程. 同理可证,Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程.

随机过程与马尔可夫链习题答案

信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课,取决于当天情绪及天气情况,且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好,则50%的可能会上课;若不下雨且心情好,则有10%的可能性不上课;若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课;若下雨且心情不好,则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%,该同学当天心情好的概率为20%,试计算该同学周一上课的可能性是多大? 分析: 天气情况用随机变量X 表示,“0”表示下雨,“1”表示不下雨;心情好坏用Y 表示,“0”表示心情好用“0”表示,心情不好用“1”表示;是否上课用随机变量Z 表示,“0”表示上课,“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ,[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ,[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ,[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ,[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ,[]7.01==X P []2.00==Y P ,[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ,Y 相互独立,则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意:全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示, 且()Y X Y X g Z +==2 11,,()Y X Y X g Z /,22==, 求:

随机过程试题及答案

1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程课后习题

习题一 1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2.(1)求参数为(p,b )的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为 (2)求其期望和方差; (3)证明对具有相同的参数b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。 3.设X 是一随机变量,F (x )是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。 (1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数; (2)Z=ln F()X ,并求()k E Z (k 为自然数)。 4.设12,,...,n X X X 相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。 5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 7.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ,试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概 率密度函数。 8.设X 、Y 相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9.已知随机向量(X, Y )的概率密度函数为 试求其特征函数。 10.已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234()服从正态分布,均值向量为0,协方差矩 阵为B σ?kl 44=(),求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从(0,1)N ,试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从2(0,)N σ,试求: (1)随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数; 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<

随机过程习题答案

随机过程部分习题答案 习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的一维概率 密度、均值和相关函数。 解 因)1,0(~N V ,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布, b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以),(~)(2 t b N t X ,)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π,),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2 2 b btV bsV stV E +++= 2 b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的 一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分 布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1 )ln ();(- =,0>t 均值函数 ? ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数

第2章 随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解:对应不同随机试验结果的时间过程的集合,随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程,则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ],随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在,则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2,把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在,则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1,t 2,…,t n ,把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ,,,;,,,称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ,,,;,,,,,,;,,, 存在,则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量,其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

随机过程习题答案

随机过程复习题 一、填空题: 1.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , )()]()([12123t t t X t X E -=-, 则15 486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始 分布为),,(4 1 2141, ???? ???? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P 则167)2(12= P ,16 1 }2,2,1{210= ===X X X P 3.强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S 5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为232 42 ++=ωωωω)(S ,则)(t X 的均方值= 2 22 2- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数, Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量,则0)(>=

ωττcos 2 )()(2 a t X t X >=+< 8.设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I , 则一步转移概率矩阵为? ? ? ???=9.01.01.09.0P ,初始分布为)3 1 ,32(0(=p ,则2 X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453) , 234(1,1,0)________P X X X ====0.09 9.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链,其n 步转移概率矩阵为 ??? ?? ? ? ? -=n n n n D C n P 21311)(,则n n C D == n n 21 ,31 二、计算与证明: 1.设任意相继两天中,雨天转晴天的概率为3 1,晴天 转雨天的概率为2 1 ,任一天晴或雨是互为逆事件,以 表示晴天状态,以1表示雨天状态,n X 表示第n 天的状态(0或1)。 (1) 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵; (2) 在5月1日为晴天的条件下,5月3日为晴天;5月5日为雨天的概率各是多少? 2.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为

(完整版)随机过程习题.doc

随机过程复习 一、回答: 1 、 什么是宽平稳随机过程? 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系? 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布?包络服从什么分布? 4 、 什么是白噪声?性质? 二、计算: 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ,其中 是常数, A 、B 是相互独 立统计的高斯变量, 并且 E[A]=E[B]=0 , A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求: X (t) E[ 的数学期望和自相关函数? 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳?其中 是常数,A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立。 a f ( ) 1 2 ; f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度, 其中 A 、 0 是常数, 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中, 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量, X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ,其中 0 是常数, A 与 Y 是相互独立的随机变量, Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布, A 服从瑞利 分布,其概率密度为

x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解:( 1) m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 ( 2) X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt , 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} (3) R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关,所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C , t (0, ) , C 为常数, R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 ( 1 )求 ( 2 )求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数; 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】

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