基于二胎政策影响的数学模型介绍

摘要

本文通过对我国近年来人口数据，采用logistic 模型与Leslie 模型，建立了预测未来中国在现有政策下，单独二胎政策下，放开二胎政策下人口增长的模型，以及单独二胎政策对江苏人口、经济、教育、住宅方面的影响，通过上述模型，分析人口增长的高峰问题。 问题1:预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度. 建立logistic 人口阻滞增长模型，利用1954年到2012年总人口数进行拟合，再进行预测， 将预测值与国家统计局数据进行比较，发现建立的模型预测效果良好。，运用该曲线预测2060年总人口为1616599999。人口结构以及老龄化程度采用Leeslie 模型进行，使用国家统计局给出的2000年的有关数据，构造Leslie 矩阵。以每5年为一个年龄段，首先预测2001至2060年各年段人数，再用预测得到数据进行分析，在以0至20为幼龄期，21至65为中青年期，65以上为老年期分别统计人数，然后对其人口数发展情况进行分析，得出幼年期：85374879人，中青年期：403771512人，老年期：627862149人.

对于老龄化程度问题，由以上数据看出老年人所占比重为,十分惊人。还可得出老年人数增长曲线，通过预测可以看出人口老龄化已经成为刻不容缓的问题，亟需出台相关政策调节人口结构，这也是开放二胎的重要原因。

问题2：建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。

采用Leslie 改进模型：∑===+94

)(),()1(i i

b t t Ax t

x β。仍以国家统计局给出的2010

年江苏省的有关数据，构造Leslie ，同样以5年为一个年龄段建立矩阵A （t ）。通过改变控

制变量β（t ）的值达到拟合单独二胎政策的目的，从而求出之后60年江苏人口变化，人口红利的变化。在建立平均值模型，分别评估对教育、住宅的影响。即教育资源以在校人数多少来衡量，分别从教育网上查到2003年至2007年各阶段教育的在校人数，求出平均值，以此为标准，即假设江苏省教育资源稳定在这一水平。在用改进的Leslie 模型计算出各个对应年龄层的人数，用上面的标准比上对应的人数，值越小，则这个阶段的教育资源越紧张，也就需要更多投入，即对教育的影响。关于住宅，通过查找资料，得到江苏2004年至2011年住宅总面积，根据这几组数据，拟合出住宅面积变化的曲线，并对之后住房面积进行预测，再用该面积比上对应年分的人数，即得那一年的人均住宅面积，比上小康水平30㎡\人，即得住宅影响因数。通过这个数据评估对住宅的影响。

问题3:评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。

依然采用问题2的模型，根据国家统计局2010年给出的数据，构造Leslie 矩阵，采用改进模型，使用单独二胎政策时，改变β的值进行预测，然后从人口结构的角度进行评估，即考虑人口老龄化，人口红利，以及抚养比，同时也预测出完全放开二胎的情况。将以上两组数据进行比较，得出是否需要开放二胎，同时与标准值相比较，推测出何时开放比较合适。 关键词：logistic 人口模型 Leslie 人口模型 人口增长预测 单独二胎

1. 问题重述

随着社会经济的进一步发展，我国人口面临新的问题：一方面，人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等等，要求我们需要放开计划生育的约束；另一方面，过快增长的人口对于住房、教育、环境资源等又来来更多的压力。2011月15日，《中共中央关于全面深化改革开放若干重大问题的决定》终于出台了。《决定》中关于逐步

放开二胎的政策引起了人们的热议。目前，根据《决定》中的政策，许多省份已经逐渐放开了计划生育的约束，开始实行“单独二胎”政策，即夫妻双方有一方为独生子女，就允许生第二胎。

试请建立数学模型，解决以下问题：

1、查阅相关数据，建立数学模型，预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度。

2、江苏省单独二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查阅相关数据，根据江苏的实际情况，建立合理的评价体系，并建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育，医疗卫生等）的影响。

3、评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。

2、问题分析

问题1.预测2060年我国人口数，人口结构以及老龄化程度。本文分别用logistic模型与Leslie模型进行预测，然后与实际值相比较，同时两组数据也相互比较。会发现logistic 模型对人口数目预测较准确，而无法得出人口结构以及老龄化程度。Leslie对人口预测偏差较大，而可以预测人口结构，故可分别取其结果，进行预测分析。

问题2.建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。

首先是建立合理的模型来预测“单独二胎”政策后江苏人口变化，本文采用Leslie的改进模型进行预测，假设严格执行生育政策，通过改变其中的参数即可达到合理预测，且预测结果与预期相符。然后根据人口结构，通过人口红利可反映对经济的影响。“单独二胎”对住房、教育的影响本质上是人口变化带来的影响。于是采用人均模型进行评估。其中教育资源采用在校人数描述，在用该在校人数除以对应年龄人数表示人均教育资源占有率，住宅采用人均住宅面积表示，并引入影响度概念，通过以上两个影响度描述影响。

问题3.评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。

先假设没必要，即采用问题2中的模型预测全国未来50年的人口变化，得出人口结构分布，然后通过抚养比，老龄化人口比例，人口红利进行评估，是否为有利于社会发展的人口结构。若有必要在计算完全二胎情况下，预测全国未来50年的人口变化，人口结构分布，以及抚养比，老龄化人口比例，人口红利，再选择开放二胎的时间，计算以上比例并作出图像，与合适的比例相比较，最终确定合适的开放时间，使各项指标稳定在合适范围内的时间更长。

三、问题假设

1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题。

2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况。

3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化。

4、假设查得的数据真实有效。

5、在构造Leslie矩阵，设置β（t）时，假设严格执行生育政策，且执行二胎前，均满足单独二胎政策。即有一方为独生子女。

四、名词解释及符号说明

人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面。

生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女的数量。

人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之

比，以百分数表示。 生育率：bi 死亡率:：di 生存率：si 总和生育率：B

五、模型建立及求解 一、问题1

阻滞增长模型（Logistic 模型）

阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。表示为x 的函数r （x)。则它应是减函数。 于是有

)1(N

x

rx dt dx -= （1） 0

)0(x x =对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x 的线性函数，

即 )0,0()(>>-=s r sx r x r （2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为

m

x

时人口不再增长，即增长率

0)(=m

x r ，代入（2）式得m

x

r

s =

，于是（2）式为

)

1()(m

x x

r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得：

)0()1(x

x x x

rx dt dx m

=-= （4）

解方程（4）得 rt

m m

e x x

x t x --+=

)1(1)(0

（5）

二、模型的建立

为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据上

查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。

表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 总人口 60.2 61.5 62.8 64.6 66.0 67.2 66.2 65.9 67.3 年份 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 总人口 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83.0 85.2 年份 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 总人口 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95.0 96.259 97.5 98.705 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口

125.786

126.743

127.627

128.453

129.227

129.988

130.756

1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程（程序见附录1）得到

相关的参数，：0336.0,1809870737==r x m

.

所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：

0336

.0)12

.609871.180(171808987073)(--+=

e

t x （上图点为实际统计情况,图线为拟合曲线,由

图可得曲线拟合程度良好。）

该公式计算得1616599999)2060(=x

（6） 模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie 模型[2] 一、模型的准备

将人口按年龄大小等间隔地划分成m 个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为 2,1,0=t .设在时间段t 第i 年龄组的人口总数为

m i t n i ,2,1),(=，定义向量T m t n t n t n t n )](),(),([)(21 =，模型要研究的是女性的人口分布)(t n 随t 的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。 设第i 年龄组的生育率为i b ，即i b 是单位时间第i 年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i 年龄组的死亡率为i d ，即i d 是单位时间第i 年龄组女性死亡人数与总人数之比，i i d s -=1称为存活率。设i b 、i s 不随时间t 变化，根据i b 、i s 和)(t n i 的定义写出)(t n i 与)1(+t n i 应满足关系：在（9）式中我们假设i b 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t 以后出生而活不到1t +的那些婴儿。若记矩阵

??

?

??

???????????=--00000012

1121m m m s s s b b b b L （10） 则（9）式可写作

)

()1(t Ln t n =+

（11）

当L 、)0(n 已知时，对任意的 ,2,1=t 有

)

0()(n L t n t =

（12）

只要我们求出Leslie 矩阵L 并根据人口分布的初始向量)0(n ，我们就可以求出t 时段的人口分布向量)(t n 。

二．模型建立

以2000年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据国家统计局所给数据，以5岁为间距对女性分组，这样0至99岁就分了20个组。从附录(1)中可以的得到每组的生育率b1、b2、b3......b20，通过每组的死亡率di 计算存活率s1、s2、s3......s19.即si=1-di 。

得到每组女性的生育率与死亡率后，就可以得到Leslie 矩阵。

在用2000年的数据构建初始矩阵n(2000)见附录1 由)2000()2060(12

n L

n =即可算出2060年总人数，以及人口结构分布。

得n(2060)=[15825603，19204454，23651667，26693155，27002566，27479799，32050907，

41839312，53174783，55446271，50946852，52921417，62909605，96557588，117806898，

95063083，83511245，92788697，85706791，5642784] 其中65岁以上的为老年人，则老年人比例为：38.8% 由该比例可知2060年人口老龄化将会十分严重。 2、问题二

关于单独二胎影响，将先建立模型预测出人口变化，人口结构，在建立模型来评估人口变化对教育，住宅的影响。 按年龄分布的Leslie 改进模型。 （1）人口预测

1．模型准备

与Leslie 模型主体部分相同，不在赘述，引入参数β（K ），来说明单独二胎政

策与完全二胎政策带来的生育率变化。定义)()(10

4

k b k i ∑

=β，通过β（k ）来体现单独二胎政策。

2．模型建立

因2014年未有可信的数据，故以最近的一次人口普查数据为准，根据国家统计局网站第六次人口普查2010年数据，以该年为初始年份对以后各年女性总数及总人口数进行预测，仍以5年为间距对女性分组，将其分为20组，从附录2中得到每组生育率b1,b2,b3......b19,计算出每组存活率s1,s2,s3 (19)

其中)()(10

4

k b k i ∑=β，以15至49周岁为女性的育龄，故i=4，到第10组为止，通过控制β（k ）的值，来调控人口数量，实现单独二胎模型的建立。假设严格执行生育政策，独立二胎开放时，所有家庭均满足生二胎的条件，则β（k)的值较之前严格一胎制应翻倍。即b4,b5.......b10均翻倍。这样持续15年，在该生育率下计算完前3组人口，即得到2015,2020,2025年的人口后，β（k ）的值便会发生改变。因为开放二胎后的第一代进入育龄期，而这批后代不再是独生子女，即只能生一个。这也是在严格执行政策下得出的。则可得

)

(2)2030(10

9

8

7

6

5

4

b b b b b b b ++++++=β，同理可得下一个5年

)(2)2035(10

9

8

7

6

5

4

b b b b b b b ++++++=β 依次类推，

可得出β（2040），β（2045）、β（2050）、β（2055）、β（2060）的值，可发现2060年又回到了严格执行一胎制时的情况。接着2065年又会与2030年相同，如此循环。运用matlab 程序，代入2010年数据，这样得到从2015年至2060的人口变化以及人口结构分布，见附录2。以下为江苏依照该模型，执行严格二胎后的人数变化曲线。具体数据（见附录）

由图像和数据可知，执行二胎在2010至2020后人口数增长明显，从2020年至2040增长缓慢，到2040年达到峰值，在从2040年开始下降。分析认为是单独二胎政策带来了人口增长率的减少，从2060后人口增长率变为了2010年的初始状态。

由图像与数据可知，单独二胎后，幼年期比例先增大后减少，中青年比例持续减少，老龄人比例持续上升，说明江苏省在单独二胎的情况下老龄化程度会持续加

深。而其他年龄层人数比例持续减少。

（2）对江苏经济的影响

经济增长源于多种因素，少儿抚养比例下降，总人口中适龄劳动人口比重上升，而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。，根据人口红利的定义，就通过用江苏省劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化，确定人口红利的变化趋势。由以上预测，得出江苏省人口红利变化图：

由上图可知人口红利呈下降趋势，在50年后稳定，势必会对江苏经济带来负面影响。

（3）对关于教育住宅的影响评估

1.模型准备

本文认为人口对社会资源的影响主要靠人均水平来衡量，同时人均水平会有一个标准值来衡量是否处于合适范围。基于上述思考建立平均值模型。设总资源为ｓ（ｔ），人均量为ｗ（ｔ），人数为ｒ（ｔ），标准为ｋ０，

0)(

),

(

\)(

)(

k t

w

n

t r

t s

t

w=

=，其中ｎ定义为该资源的影响度。通过ｎ值来反映

人口对该社会资源的影响。

2.模型建立

通过查阅资料，分别从教育网上查到2003年至2007年各阶段教育的在校人数，求出平均值，即假设江苏省教育资源稳定在这一水平。在用该平均值比上2010年的对应人口（见附录3），设该比值为k0，定义ki为教育资源平均占有率。同样用预测出的数据计算其他年份的K值，比上k0，设比值为ｎ，定义为教育影响度。比较与1的大小，若小于1则说明二胎使该教育资源相对紧张，大于1说明教育资源相对宽裕。其中我们将江苏教育资源划分为学前教育，义务教育，中等教育，高等教育，对应的年龄段分别为0至4岁、5至14岁、15至19岁、20至30岁。.然后使用matlab进行矩阵运算，分别计算出2015年、2020年、2025年、2030年直至2060年各教育阶段的m值，m值表见附录，并画出四条

ｎ值曲线。

由上图可以看出执行二胎后，高等教育，中等教育在2010年至2025年n值上升且大于1，在25年达到峰值。则说明中高等教育资源相对较宽裕，对该阶段教育资源压力持续减少。而义务教育与学前教育n值下降且小于1，在25年达到最低值。则该两个阶段资源相对紧张，对该阶段教育资源的压力持续增大，在25那年达到最大。从2025年起，高等教育与中等教育n值下降，分别在35年与40年达到最低值，在上升。义务教育与学前教育持续上升，虽然其中稍有波动。这些变化均来自人口结构的改变，人口峰值流动的影响。

关于住宅也用相同的方法引入人均住宅面积ｗ，住房影响度n，n=人均住宅面积＼３０，其中３０㎡＼人为小康水平，ｎ值越大则说明住房需求相对宽裕，ｎ越小则相对紧张。

通过查找资料，得到江苏2004年至2011年住宅总面积（附录３），根据这几组数据，拟合出住宅面积变化的曲线，并对之后住房面积进行预测，再用该面积比上对应年分的人数，即得那一年的人均住宅面积ｗ。用相同方法计算出历年的ｎ值，如n值表见附录，并作出ｎ

值曲线。

问题３

评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。

，先假设没有完全放开的必要，即执行单独二胎政策，预测未来５０年后人口变化，人口老龄化，人口红利，以及抚养比的情况，通过评估，与标准相比较，看是否需要完全放开二胎。若需要，则在完全放开二胎的情况下，选择不同时间放开，在进行评估比较，得出在何年放开比较合适。

１、模型准备

与问题二采用相同模型，即ｌｅｓｌｉｅ改进模型，故此处省略。 ２、模型建立

单独二胎政策采用与问题２相同的方法进行建模，以２０１０年为初始年份，对之后５０年人口进行预测，以５年为一个年龄段，共分２０组，从附录４中得到每组的生育率ｂ１

、ｂ２、ｂ３.．．．．．ｂ２０。每组死亡率ｓ１、ｓ２、ｓ３．．．．．．Ｓ１９．其中

)()(104

k b k i

∑=β，以15至49周岁为女性的育龄，故i=4，到第10组为止，通

过控制β（k ）的值，来调控人口数量，实现单独二胎模型的建立。Β（ｋ）的值的确定与问题２相同，不在赘述．预测出从２０１５年至２０６０年全国人口变化及人口结构变化，在计算劳动人口比例，老龄化人口所占百分比，抚养比，各值见附录，同时做出各比例曲线图。为了更能说明情况，本文也预测出了在完全二胎政策下，老龄化人口所占百分比，劳动人口比例变化，抚养比变化，依然以2010年为初始年份，按上述过程建立Leslie 矩阵，因为完全开放二胎，假定满足条件的夫妻都会生二胎，则认为生育率会翻倍，即β（t ）变为2倍，即b1、b2、b3.......b20变为2倍。下面将所得各个数据放在一起进行比较。

上图为总人口变化图线，可以看出到前25年两组总人口均增大，2025年单独二胎达到最大值，然后下降。2030年完全二胎下总人口数达到最大值，然后开始下降。单独二胎人口下降要快一些。

从图中看出两种情况下该比例持续下降，在2033年处分开完全放开二胎比单独二胎情况下下降更快一些。但整体差别不大。

从图线变化可以看出，蓝线的增长快于红线，即完全放开二胎的情况下，人口抚养比增长快于单独二胎的情况。

老龄化人口比重中，单独二胎的增长要快于完全二胎。

综合以上曲线变化情况看出，老龄化程度，抚养比，劳动人口比重，以及总人口具有相同的变化趋势，而这种变化趋势显然不利于社会良性的发展。出现这种结果，与本文建立的假设有关，认为是严格执行二胎政策，在这个模型下势必会产生如此结果。同时也可以看出执行完全开放二胎的必要性。故认为国家有放开二胎政策的必要，同时也需要单独二胎政策进行过渡，在合适比例之时，即2015年时执行完全二胎政策较合适。