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中考数学知识点专题复习系列训练题及解析(珍藏版)：20函数真题汇编与预赛典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题20函数真题汇编与预赛典型例题

1．【2019年全国联赛】已知正实数a 满足

，则

的值为

2．【2018年全国联赛】设f （x ）是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足

，则不等式组

的解集为

3．【2017年全国联赛】设

为定义在R 上的函数，对任意实数x 有.当0≤x ＜7时，

.则

的值为____________。

4．【2016年全国联赛】设正实数u 、v 、w 均不等于1.若，则

的值为________. 5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数

满足

，则的

值为______.

6．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11

a b

+= ． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则

的值为__

_________.

8．【2014年全国联赛】若函数()2

1f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .

9．【2013年全国联赛】设为实数，函数满足：对任意的，有.则的

最大值为______.

10．【2012年全国联赛】设.则

的最大值是______.

11．【2011年全国联赛】函数的值域为______.

12．【2011年全国联赛】设为正实数，且

.则

______.

13．【2010年全国联赛】函数的值域是________.

14．【2010年全国联赛】函数

在区间

上的最大值为8.则它在

这个区间上的最小值是________.

15．【2009年全国联赛】若函数，且．则______．16．【2009年全国联赛】若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．17．【2018年全国联赛】已知定义在R+上的函数f（x）为.

设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围.

18．【2016年全国联赛】已知为R上的奇函数，，且对任意，均有.求的值.

19．【2013年全国联赛】求所有的正实数对，使得函数满足：对任意的实数

20．【2012年全国联赛】设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

21．【2011年全国联赛】设函数，实数满足

.求的值.

22．【2009年全国联赛】求函数的最大值和最小值．

23．【2012年全国联赛】设是正整数）.证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于表示不超过实数的最大整数）.

24．【2010年全国联赛】设是给定的正整数，.记

.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如）.

1．【2018年浙江】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.

2．【2018年山西】函数的值域为________.

3．【2018年福建】函数的最小值为________.

4．【2018年福建】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.

5．【2018年江苏】设，期中表示的最大公约数，则的值为__ ______.

6．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是___ ____．

7．【2018年贵州】函数的最小值是______．

8．【2018年贵州】若方程a x>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______．9．【2018年北京】已知实数满足，则________. 10．【2018年北京】已知函数满足，那么的值域为_______.

11．【2018年福建】设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，2，…，20．并对任意的，都有，已知对任意的，若，则．求集合的元素个数的最小值．（这里，表示集合的元素个数）

12．【2016年江苏】已知函数．

（1）若对于任意的，均有，证明：；

（2）当时，证明：对于任意的成立的充分必要条件为．13．【2016年江苏】求方程的实数解．

14．【2016年甘肃】已知奇函数的定义域为，且在内递减，求满足：

的实数的取值范围．

15．【2016年北京】黑板上写有方程.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根.

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题20函数真题汇编与预赛典型例题

1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为.

【答案】

【解析】

由.

2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.

【答案】

【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.

注意到.

所以.

而，故原不等式组成立当且仅当.

3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。

【答案】

【解析】

由题得，所以函数的周期为7，

故答案为：

4．【2016年全国联赛】设正实数u 、v 、w 均不等于1.若，则

的值为________. 【答案】【解析】令

.则:

故. 从而，

5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数

满足

，则的

值为______. 【答案】4 【解析】

由已知条件及二次函数图像的轴对称性得

故答案为：4

6．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11

a b

+= ．【答案】108 【解析】

试题分析：设2

32362log 3log log ()2

,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=?==+=?

11a b

a b ab

++=

23610823

t t --==?．考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合

中的最大、最小元素分别为M 、m ，则的值为

___________. 【答案】

【解析】由，知

. 当时，取得最大元素

又，当

时，取得最小元素

因此，

8．【2014年全国联赛】若函数()2

1f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[0,2] 【解析】

试题分析：()[)()

22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ?-+∈+∞?=?+-∈-∞??，[)1,x ∈+∞时，()f x =2

x ax a -+=2

2a x ??- ???

24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2

x ax a +-=2

224a a x a ??+-- ??

?.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ??1, ?

??上单调递减，在,2a ??

+∞

???

上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即

0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.

考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设为实数，函数

满足：对任意的

，有

.则

的

最大值为______. 【答案】【解析】易知，

则

当，即时，取最大值.

10．【2012年全国联赛】设.则的最大值是______.【答案】.

【解析】

不妨设.则.

由.

当且仅当时，上式等号同时成立.

11．【2011年全国联赛】函数的值域为______.

【答案】

【解析】

由题得x≠1，

设.则.

设.因为，

所以，

则，且.故.

故答案为：

12．【2011年全国联赛】设为正实数，且.则______.【答案】

【解析】

由，得.

又，

即. ①

于是，②

再由式①中等号成立的条件，得.与式②联立解得

故.

故答案为：-1

13．【2010年全国联赛】函数的值域是________.

【答案】

【解析】

易知，的定义域是，且上是增函数.从而，的值域为.

14．【2010年全国联赛】函数在区间上的最大值为8.则它在这个区间上的最小值是________.

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得，令，因为，当时，则，则

，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为

，解得，所以函数的最小值为；当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为

，解得，所以函数的最小值为，所以函数的最小值为.

考点：函数的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次

函数的图象与性质是解答问题的关键.

15．【2009年全国联赛】若函数，且．则______．【答案】

【解析】

因为，所以．故．

16．【2009年全国联赛】若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．【答案】

【解析】

当且仅当

①

对①由求根公式得

①

．

(ⅰ)当时，由①得

所以同为负根．

又由①知

所以原方程有一个解．

(ⅱ)当时，原方程有一个解．

(ⅲ)当时，由①得

所以同为正根，且，不合题意，舍去．

综上可得为所求．

17．【2018年全国联赛】已知定义在R+上的函数f（x）为.

设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围.

【答案】（81，144）.

【解析】不妨假设a

a∈（0，3），b∈（3，9），c∈（9，+∞），并且f（a）=f（b）=f（c）∈（0，1）.

由f（a）=f（b）得.

即，因此ab=32=9.于是abc=9c.

又，

故c∈（9，16）.进而abc=9c∈（81，144）.

所以，abc的取值范围是（81，144）.

18．【2016年全国联赛】已知为R上的奇函数，，且对任意，均有.求的值.

【答案】

【解析】

设.则.

在中，取.

注意到，，及为奇函数.

故

则

19．【2013年全国联赛】求所有的正实数对，使得函数满足：对任意的实数

【答案】

【解析】

由题意得. ①

先求所满足的必要条件.

在式①中令，得

由于，故可取到任意大的正值，因此，必有，即.

在式①中再令，得

.②

将式②左边记为.显然，.否则，由，知，此时，

则可取到负值，矛盾.

故

对一切实数成立.

于是，，即.

进一步，考虑到此时，再由，知.

从而，求得满足的必要条件为.③

下面证明，对满足条件③的任意实数对及任意非负实数，式①总成立，即

事实上，在条件③成立时，有.

再结合，得

综上，所求的正实数对全体为.

20．【2012年全国联赛】设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】

略

21．【2011年全国联赛】设函数，实数满足

.求的值.

【答案】

【解析】

由题设得

则.

由，知.故①

又由有意义，知.从而，.

于是，.则.

故.

从而，.解得（舍去）.

把，代入式①解得.因此，.

22．【2009年全国联赛】求函数的最大值和最小值．

【答案】

【解析】

函数的定义域为.因为

当时等号成立．故的最小值为．……………………………………………5分

又由柯西不等式得

所以．………………………………………………………………………………10分

由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………………………………………………………………………15分

23．【2012年全国联赛】设是正整数）.证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于表示不超过实数的最大整数）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

证法1 （1）对任意，有

令.则

又令.则.

从而，存在，使得

否则，存在，使得.

于是，，与，矛盾.

故一定存在，使得.

（2）假设只有有限个正整数，使得.

令.则.故不存在，使得

，与（1）的结论矛盾.

所以，数列中有无穷多项属于.综上，原命题成立.

证法2 由证法1，知当充分大时，可以大于任何一个正数.

令.则.

当时，.

同证法1可证，对于任何大于的正整数，总存在，使得，即.

令.

则.

故一定存在，使得.

从而，.

这样的有无穷多个.

所以，数列中有无穷多项属于.

24．【2010年全国联赛】设是给定的正整数，.记

.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如）.

【答案】见解析

【解析】

记表示正整数所含的2的幂次.则当时，为整数.

下面对用数学归纳法.

当时，为奇数，为偶数，

此时，为整数.

假设命题对成立

对于，设的二进制表示具有形式

，

其中，或l，.

故.①

显然，中所含的2的幂次为.

故由归纳假设知，经过次迭代得到整数.

由式①知，是一个整数.

1．【2018年浙江】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.

【答案】

【解析】

由为奇函数可知，解得a= 2，即，

由此得的值域为.

2．【2018年山西】函数的值域为________.

【答案】

【解析】

由条件知.

令.则

，

因为，所以，.

3．【2018年福建】函数的最小值为________.

【答案】

【解析】

设log3x=t，则.

∴.

∴当时，f(x)取最小值.

4．【2018年福建】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.

【答案】[1，2]

【解析】

∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线.

∴，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2.

∴a的取值范围为[1，2].

5．【2018年江苏】设，期中表示的最大公约数，则的值为________.

【答案】520

【解析】

如果，则，所以.

又，

所以.

故答案为：520

【答案】牛得亨先生的女儿

【解析】

由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．

因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．

故答案为：牛得亨先生的女儿

7．【2018年贵州】函数的最小值是______．

【答案】

【解析】

因为

此即为直线y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离．

故答案为：

8．【2018年贵州】若方程a x>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

由a x>x知x>0，故，令（x>0），则．当时，；当时，．所以在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．故，即．

故答案为：

9．【2018年北京】已知实数满足，则________.

【答案】1

【解析】

化为对数，有，所以

10．【2018年北京】已知函数满足，那么的值域为_______.

【答案】

【解析】

设函数满足，

.所以所求函数是，其图像如图，易知的值域是.

【答案】180

【解析】

记．

不妨设，2，...，， (20)

设，2，…，．

因为对任意的，都有，所以，…，互不相同，，即．

又对任意的，若，则，

所以当，…，20时，．

即，当，…，20时，．

所以

．

若，则．

若，则．所以总有．

另一方面，取，其中，2， (20)

则符合要求．

此时，．

综上所述，集合的元素个数的最小值为180．

12．【2016年江苏】已知函数．

中考数学函数知识点汇总

2012广州中考数学二次函数知识点 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0