最新万有引力定律及应用

第4讲 万有引力定律及应用

一、开普勒三定律的内容、公式

定律 内容

图示或公式

开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

a 3

T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量

自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B

解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律. 二、万有引力定律 1.内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比. 2.表达式

F ＝

G m 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－

11N·m 2/kg 2.

3.适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. 4.天体运动问题分析

(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供. (2)基本公式：

G Mm r

2

＝ma ＝?????

m v 2

r

→v ＝GM r

mrω2

→ω＝GM

r 3

mr ????2πT 2

→T ＝2πr 3

GM m v ω

自测2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km ，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( ) A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案 B

解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G Mm

r 2＝m v 2r

＝mrω2＝mr ????2πT 2＝ma ，解得v ＝GM

r

，T ＝4π2r 3

GM

，ω＝GM r 3，a ＝GM

r 2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B 正确. 三、宇宙速度 1.第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.

(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度. (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度. (4)第一宇宙速度的计算方法. 由G Mm

R 2＝m v 2R 得v ＝

GM

R

； 由mg ＝m v 2

R 得v ＝gR .

2.第二宇宙速度

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s. 3.第三宇宙速度

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.

自测3 教材P48第3题 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？ 答案 8.9 m/s 2 7.3 km/s

解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg ＝GMm

R 2

故

g 金g 地＝M 金M 地·(R 地

R 金

)2 金星表面的自由落体加速度g 金＝g 地×0.82×(10.95)2

m/s 2≈8.9 m/s 2

由万有引力充当向心力知GMm R 2＝m v 2

R 得v ＝

GM

R

所以v 金

v 地

＝

M 金M 地·R 地

R 金

＝0.82×1

0.95

≈0.93

v 金＝0.93×7.9 km/s ≈7.3 km/s.

命题点一 开普勒三定律的理解和应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.

3.开普勒第三定律a 3

T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同.但该定

律只能用在同一中心天体的两星体之间.

例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )

图1

A.从P 到M 所用的时间等于T 04

B.从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大

C.从P 到Q 阶段，速率逐渐变小

D.从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD

解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为1

2T 0，根据开普勒第二定律可知，

从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于1

4T 0，选项

A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项

B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项

C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项

D 正确.

变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C

解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D 错误.

变式2 (多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )

图2

A.T 卫

B.T 卫>T 月

C.T 卫

D.T 卫＝T 地 答案 AC

解析 设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r

卫、r 同和

r 月，

因r 月>r 同>r 卫，由开普勒第三定律r 3

T

2＝k ，可知，T 月>T 同>T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T

地，故有T 月>T 地>T 卫，选项A 、C 正确.

变式3 如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是( )

图3

A.卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度

B.卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度

C.卫星由A 运动到B 过程中动能减小，势能增加

D.卫星由A 运动到B 过程中引力做正功，机械能增大 答案 B

解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝θ

t 知，卫星在A 点的角速度小于B 点的角速度，选项A 错误；

设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，卫星的轨道半径为r ，由万有引力定律得G mM

r 2＝ma ，

解得a ＝GM

r 2，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度，

选项B 正确；卫星由A 运动到B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C 错误；卫星由A 运动到B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D 错误. 命题点二 万有引力定律的理解

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向.

(1)在赤道上：G Mm

R 2＝mg 1＋mω2R .

(2)在两极上：G Mm

R

2＝mg 0.

(3)在一般位置：万有引力G Mm

R

2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和.

越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm

R 2＝mg .

2.星球上空的重力加速度g ′

星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM (R ＋h )2，得g ′＝GM

(R ＋h )2.

所以g

g ′

＝(R ＋h )2R 2.

3.万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解

①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力. ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.

(2)两个推论

①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.

②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′m

r

2.

例2 如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )

图4

A.一直增大

B.一直减小

C.先增大后减小

D.先减小后增大 答案 D

解析 设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r ，则物体m 所受的万有引力F ＝G ·ρ·43πr 3·m r 2＝43πGρmr ，此处的重力加速度a ＝F m ＝4

3

πGρr ，故选项D 正确.

例3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二.若地球半径为R ，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速

度之比为( )

A.R －d R ＋h

B.(R －

d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3 D.(R －d )(R ＋h )R 2

答案 C

解析 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝G M

R 2.

由于地球的质量为：M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3

R 2＝4

3πGρR .

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm

(R ＋h )2

＝ma ，“天

宫一号”的加速度为a ＝GM (R ＋h )2

，所以a g ＝R 2

(R ＋h )2，g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2

R 3，故C 正确，A 、B 、

D 错误.

变式4 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )

A.0

B.GM (R ＋h )2

C.GMm (R ＋h )2

D.GM

h 2

答案 B

命题点三 天体质量和密度的估算

天体质量和密度常用的估算方法

使用方法

已知量 利用公式 表达式 备注

质量的计算

利用运行天体

r 、T

G Mm r 2＝mr 4π2

T 2 M ＝4π2r 3GT 2

只能得到中心天体的质量

r 、v

G Mm

r 2＝m v 2r M ＝r v 2G

v 、T

G Mm

r 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG

利用天体表面

g 、R mg ＝GMm R

2

M ＝gR 2G