含绝对值不等式优秀教案

【课题】2.4含绝对值的不等式

【教学目标】

知识目标：

（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法．

能力目标：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，以及逻辑推理能力，考察学生思维的积极性和全面性，领悟分类讨论、化归和数形结合的数学思想方法，培养数学理解力，化归能力及运算能力，初步学会用数学思想指导数学思维。

情感目标：激发学生学习兴趣，鼓励学生大胆探索，向学生渗透“具体－抽象－具体”、“未知－已知－未知”的辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。

【教学重点】

（1）不等式x a <或x a >的解法 ．

（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．

【教学难点】

利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．

教学方法：主要采取启导式教学，通过对初中不等式知识及绝对值的含义和几何意义等相关知识的学习引入，在教师指导下由实例引出解绝对值不等式的实际意义，导出解决含绝对值不等式的解法这一研究主题。 【教学设计】

（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；

（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

1-2课时．(80分钟)

【安全教育：清点人数】

(2,)+∞（如图（ 明确新知

(),a +∞．a （0a >）的解集．（2）

（1）

1,3??

+∞ ???

）由不等式26x ?，得

()

1,+∞

教学反思：本节课内容可以分成两节课来进行，前一节课主要讲解

x ()x (0)a a o a a >><>或型的不等式，后一节课主要讲解

(0)(0)ax b c c ax b c c +>>+<>或者型的不等式。

当然如果班级学生理解能力强，反应快，掌握好，也可以一节课完成。含绝对值的不等式有三种解法，一是根据绝对值的意义，二是两边平方，转化成一元二次不等式来解，三是分类讨论。结合中职生的实际情况，本节课主要学习第一种解法。后两种可以在复习课的时候选讲。教学主要通过数形结合，通过观察数轴来解含绝对值的不等式，教学中一定要反复强调结合图像，否则学生容易出错。由于知识点比较简单，可以多提问，提高学生学习热情，尤其是中等生和差生，有机会表现自己，借此提高学习数学的积极性。

教学板书：

含有绝对值的不等式

一、原理：

x ()a a o >>的解集是： x ∈（-∞，-a ）∪（a,+∞） x ()a a o >>的解集是： x ∈（-a,a ）

二、例题讲解： 例1：解下列不等式

（1）310x ->； （2）26x ?． 例2 解不等式213x -…例3 解不等式257x +>．

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式 [学习要求] （1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。 （2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x)

评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。 例2：型如：|x|a，（其中a>0）不等式的解法。 探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。 解：当a>0时， |x|a x2>a2x>a或x<－a；其几何意义为 评注： 解：型如|x|0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|0）的解集为－aa，（a>0）的解集为x>a或x<－a是十分重要的。 例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤ |a|+|b|” 探路：利用“代换法” 证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤ |a|+|b|

高考含绝对值不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ，

所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。

例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略) （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。

含绝对值的不等式解法·典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4???

解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ．

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{} R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略)

（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2-x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 解:当x ＜-2时，得2 (1)(2)5x x x <-??---+x 时，得1, (1)(2) 5.x x x >??-++

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

含绝对值的不等式-公开课教案

含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 （1）掌握|x|a(a>0）型的绝对值不等式的解法； （2）理解掌握绝对值的意义和利用数轴表示含绝对值的不等式的解集 2.能力目标 （1）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力； （2）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力； （3）采用分析与综合的方法，培养学生逻辑思维能力； （4）通过学生练习和老师点拨，培养学生的运算能力 3.情感目标 培养学生的学习兴趣和端正的学习态度，让学生理解学习数学的重要性 4.德育教育 我们为什么而读书 教学重点：|x|a(a>0）型的不等式的解法； 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．

教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 口答 a (a>0） |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x|0）型绝对值不等 式的基础，为解这种类型的 绝对值不等式做好铺垫． 二、新课 【导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数有哪些？在数轴上表示出来． 【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程|x|=2来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它有两个解一个是2，另一个是－2． 【绝对值的意义】在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 【提问】如何解绝对值方程． 【设问】 1 解绝对值不等式|x|<2，并用数轴表示它的解集。 2 解绝对值不等式|x|>2，并用数轴表示它的解集。 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式|x|<2的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合；不等式|x|>2的解集就是表示数轴上到原点的距离大于2的点的集合。【巩固旧知识】 1.数轴的含义和几何意义 学生口答 归纳：数轴是一条规定了 原点、方向和单位长度的直 线。原点、方向和单位长度称 为数轴的三要素。 【笔答并点拨】 注意观察数轴上所表示的 集合，理解和区分两种情况 根据绝对值的意义自然引出 绝对值方程|x|=a（a>0）的 解法． 由浅入深，循序渐进，在 |x|=a（a>0）型绝对值方程 的基础上引出|x|0)型 绝对值方程的解法． 针对解|x|>a(a>0)绝对值不 等式学生常出现的情况，运 用数轴质疑、解惑． 落实会正确解出|x|0) 与|x|>a(a>0)绝对值不等式 的教学目标．

《含绝对值不等式的解法》导学案

《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标： 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化 学习重点：简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备（请在上课之前自主完成）： 1．绝对值的定义：||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义： （1）实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. （2）任意的两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ， 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式： ①0a b ?>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ③0=ab 时，易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1：含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3．设a 为正数, 则 (1).()f x a ? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤-213 例2：解不等式7324≤-+x x 变式演练：|2||1|x x -<+ （2）利分段讨论法（即零点分段法） 例4 解不等式512≥-+-x x 变式演练：解不等式52312≥-++x x ;

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a ＜-6，化简26a -得() +6 2.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|＜3}，B ={x ||x -1|≥1}，则A ∩B 等于() A.{x |-1＜x ＜5} B.{x |x ≤０或x ≥2} C.{x |-1＜x ≤0} D.{x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是（） 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2｜x ｜-3＞0 3.已知全集U =R ,A ={x ｜x 2-2x -8＞0},B ={x ｜｜x +3｜＜2},求： (1)A ∪B ,C u （A ∪B ）(2)C u A ,C u B ,（C u A ）∩（C u B ） 4.解不等式3≤|x －2|＜97.解不等式|3x －4|＞1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式|x +1|+|x －2|<4.

含绝对值不等式的解法

学科：数学 教学内容：含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1．绝对值的意义是：? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝． ｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝． 【思考导学】 1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？ 答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？ 答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7． 解法一：原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜ 23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x

不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x 的不等式： (1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1． 解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1 当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 － 24+a ＜x ＜2 2 -a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为?， 综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜ 2 2 -a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是?． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－ 3 2 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－ 3 2 或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为?． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)． ［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1． 解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1 (1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件．

例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．

含两个绝对值的不等式

含绝对值不等式的解法 (3) 学习目标：1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题 2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想：去掉绝对值符号，等 价转化，数形结合。 一课前准备，复习： 根据公式：|x|0)?； |f(x)|a(a>0)?； |f(x)|>g(x)?． (1)|ax＋b|≤c(c>0)?_____________________________________ (2)|ax＋b|≥c(c>0)?_____________________________________ 变式一：d＜|ax+b|＜c( 0＜d＜c)? 二．新课导学：含两个绝对值的不等式解法 1．|x－a|<|x－b|和|x－a|>|x－b|型不等式的解法 对于这种类型不等式的解决办法是去掉绝对值． ①|x－a|<|x－b|?； ②|x－a|>|x－b|? . 再将这个式子整理，便可化为一般的不等式求解． 试试：解不等式(1) |2||1| -<+； x x 2．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法 例解不等式：|x＋3|＋|x－ 3|>8 解法一：零点分段法： 具体做法：（1） （2） （3）； 解 i)当x≤－3时，原不等式可化为，即x<－4，此时，不等式的解为

x<－4. ii ）当 时，原不等式可化为x+3+3-x>8，6>8矛盾，此时不等式无解。 iii ）当x ≥3时，原不等式可化为 ，即x>4.此时不等式的解为x>4. 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法二：利用绝对值的几何意义，借助 求解。 解 如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为 ，因此区间[－3,3]上的数 不等式的解．设在A 点左侧存在一点A1，使得A1到A ，B 的距离之和为8，即|A1A|＋|A1B|＝8，设点A1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 同理，设点B 的右侧存在一点B1，使|B1B|＋|B1A|＝8，设点B1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 从数轴上可以看到，A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ，而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都 8. 所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键. 解 原不等式可转化为 >0， 构造函数y ＝ ，即y ＝??? －2x －8 x ≤－3 ，－2 －3

含绝对值的不等式解法练习题及标准答案

含绝对值的不等式解法练习题及答案

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例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ]

A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 例解不等式 －＋≥．8 321 2 ||||x x 分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接 去分母．

含有绝对值不等式的解法-典型例题

含绝对值不等式的解法 例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． 解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得 ｜x+3｜2>｜x-5｜2， 即（x+3）2>（x-5）2, x>1． ∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝． 评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ） A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3 分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B． 评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3． 分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论． 解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;① 当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②

又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③ 取①、②、③并集知不等式的解集为 ｛x｜x<- ，或x>2｝． 例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1 解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段： 于是，原不等式变为 （Ⅰ）? 或（Ⅱ） 或（Ⅲ） 解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得5； （Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集． 说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．

含绝对值的不等式解法练习题及答案

学习好资料欢迎下载 例 1不等式|8－3x|＞0的解集是 [] A． B ． R C． {x|x ≠88 }D．{ } 33 8 分析∵ |8－3x|＞0，∴ 8－3x≠ 0，即x≠． 答选 C． 例 2绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 [] A ． 3 B． 2 C．－ 2 D．－ 5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤ 5． 从而－ 5≤x＜－ 2 或 2＜ x≤ 5，其中最小整数为－5， 答选 D． 例 3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜ |3x－ 1|≤ 7，即 4＜3x－ 1≤7 或－ 7 ≤ 3x－ 1＜－ 4解之得5 ＜ x≤ 8 或－ 2≤ x＜－ 1，即所求不等式解集为33 58 ． {x| － 2≤ x＜－ 1或＜ x≤} 33 例 4已知集合 A ＝ {x|2 ＜ |6－ 2x|＜ 5，x∈ N} ，求 A ．分析转化为解绝对值不等式． 解∵ 2＜|6－ 2x|＜ 5 可化为 2＜ |2x－ 6|＜5 －5＜ 2x－ 6＜ 5， 即 2x － 6＞ 2或 2x － 6＜－ 2， 1＜ 2x ＜11， 即 2x ＞ 8或 2x＜ 4， 解之得 4＜ x＜11 或 1 ＜ x＜ 2．22 因为 x∈ N，所以 A ＝ {0 ，1， 5} ． 说明：注意元素的限制条件． 例 5实数a，b满足ab＜0，那么 []

A ． |a－b|＜ |a|＋ |b| B． |a＋ b|＞ |a－ b| C． |a＋ b|＜ |a－ b| D． |a－b|＜ ||a|＋ |b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵ a、b 异号， ∴|a＋ b|＜ |a－b|． 答选C． 例 6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为 [] A ． a＝1， b＝ 3 B． a＝－ 1， b＝ 3 C． a＝－ 1， b＝－ 3 1 3 D ． a＝2， b＝2 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知， b＞ 0，原不等式的解集为{x|a － b＜ x＜ a＋ b} ，由于解集又为{x| － 1＜x＜ 2} 所以比较可得． a－ b＝－ 11 ， b＝3． ，解之得 a＝ a＋ b＝ 222 答选 D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例 7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． 解若 2m－ 1≤ 0即m≤1 ，则 |2x－ 1|＜ 2m－ 1恒不成立，此时原不等 2式的解集为； 若 2m－ 1＞ 0即 m＞1 ，则－ (2m－ 1) ＜ 2x－ 1＜ 2m－ 1，所以 1－ m＜ 2 x＜ m． 综上所述得：当m≤1 时原不等式解集为；2 当 m＞1 时，原不等式的解集为2 {x|1 － m＜ x＜m} ． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 例 8 解不等式3－|x| ≥ 1 ．|x|＋ 2 2 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．

含绝对值的不等式解法典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] 答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7 例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴|a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D．

说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． x＜m． {x|1－m＜x＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 点击思维 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便． 例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1 ①或6－|2x＋1|＜－1 ②由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论． 例10 已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________． 分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5， ∴a＞5． 当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5． 当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空． 解法二|x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5． 解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以a＞5时不等式有解． 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x． 分析一对2－x的取值分类讨论解之． 解法一原不等式等价于：