高三一轮复习之函数的性质
函数性质
（1）单调性
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,且x1
（2）奇偶性
对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立，则f(x)为偶函数）.
（3）周期性
周期函数f(x)的最小正周期T 必须满足下列两个条件：
①当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x);
②T 是不为零的最小正数.
一般地，若T 为f （x ）的周期，则nT （n ∈Z ）也为f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT).
（4）最值
一般地，设函数y=f （x)的定义域为I,如果存在实数M 满足：
①对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
②存在x0∈I,使f(x0)=M ，那么称M 是函数y=f(x)的最大值（最小值）.
（5）.函数单调性的判定方法
定义法：取值，作差，变形，定号，作答.其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解.
导数法.
复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
（6）.函数奇偶性的判定方法
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件.
（2）对于定义域内的任意一个x ，
若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
若都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.
若都有f(-x)-f(x ）=0，则f(x)为偶函数.
若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数.
例1．给出下列四个函数：①1)(+=x x f ，②x
x f 1)(=，③2)(x x f =，④x x f sin )(=,其中在),0(+∞是增函数的有
A ．0个
B ．1个
C ．2 个
D ．3个
例2.已知函数f(x)=x+x
1,x>0， （1）证明当0 （2）求函数f(x)=x+x 1,x>0的最小值. 例3.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 例4.函数???≥+<+=1 ,2log 1,2)(x a x x ax x f a 在R 上单调，则a 的取值范围是_______ 例 5. 以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④x x lg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( ) A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③ 例6.函数)(x f 为R 上奇函数，2)()(+=x f x g ，若3)5(=g ，则=-)5(g _______ 例7.已知f （x ）＝x 5＋ax 3 ＋bx －8，f （3）＝10，则f （-3）=____ ． 例8.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为 。 例9.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,3()(1)f x x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x = 例10.已知函数()1,1x f x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。 例11.若函数22()log (2)a f x x x a =+ +是奇函数，则实数a = 。 例12．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 A. 0 B. 21 C. 1 D. 2 5 例13．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 例14．已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ） A .12()()f x f x ->- B .12()()f x f x -<- C .12()()f x f x ->- D . 12()()f x f x -<- 例15．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23 ） 例16.已知函数f （x ）是奇函数，当54)(412+-=≤≤x x x f x 时，则当14-≤≤-x 时，函数f （x ）的最大值是 ． 例17.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1 [()]02 f x x -<的解集。 例18.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B ) 0 (C) 1 (D)2 例19．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =___________． 例20. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且 的值为则时，又当)5.113(,2)(23,)(1)3(f x x f x x f x f =-≤≤--=+（ ） 72.72.51.51. --D C B A 例21．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ） (A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f << 例22.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=） ，且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+） ，则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 例23. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，并且在),0[+∞上是单调函数，若0)1(,2)0(=-=f f ，则使得0)( A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．),1()1,(+∞--∞ D ．)1,1(- 例24．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<< 例25、已知函数()f x 的定义在0≠x 上函数，对定义域内的任意21,x x 都有)()()(2121x f x f x x f +=，且当1>x 时，,0)(>x f 1)2(=f （1）求证：()f x 是偶函数 ；（2）)(x f 在),0(+∞是增函数；（3）解不等式2)12(2<-x f 例26. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x 、y (-1,1)都有 。 （I ）求证：函数f(x)是奇函数； （II ）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；