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高中数学常见函数讲义

高中数学常见函数研究讲义

一、一次函数和常函数：

（一）、一次函数（二）、常函数定义域：（- ∞，+ ∞）定义域: （- ∞，+ ∞）值域：（- ∞，+ ∞）正 k=0 反值域：{ b }

解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)

图像：一条与x 轴、y 轴相交的直线图像：一条与x 轴平行或重合的直线

b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0

单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓

奇偶性：奇函数?=0b 奇偶性: 偶函数非奇非偶?≠0b

周期性: 非周期函数周期性：周期函数，周期为任意非零实数反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数反函数仍是一次函数

例题：

二、二次函数

1、定义域：（- ∞，+ ∞）

2、值域： ),44[,02

+∞-∈>a

b a

c y a

]44,(,02

b a

c y a --∞∈<

3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y

4、图像:一条开口向上或向下的抛物线

开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小

绝对值：随着,00<>a a a a

正半轴相交与负半轴相交与y c y c c

,0,0><

对称轴：a

b x 2-=对称轴：；)

44,2(2a

b a

c a

b --顶点：轴交点个数图像与x a

c b →-=?42：与x 轴交点的个数。

两个交点,0>?一个交点,0=?无交点,0

5、单调性：↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0a

b a

↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0a

b a

6、奇偶性：偶函数?=0b

7、周期性：非周期函数

8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，

上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞a

b a

例题:

三、反比例函数和重要的分式函数

（一）、反比例函数（二）、分式函数b

ax d

cx y ++= 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）定义域：),(),(+∞-

--∞a

a b 值域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）值域: ),(),(+∞-∞a c a c

解析式：)0()(≠=k x

k x f 解析式：)(a b

x b ax d cx y -≠++=

图像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线图像：以a b x -=和a

y =为

渐近线的双曲线

单调性： k>0,（- ∞，0）↓,（0，+ ∞）↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-a

上 k<0,（- ∞，0）↑,（0，+ ∞）↑ 单调性相同奇偶性：奇函数奇偶性：非奇非偶对称性：关于原点对称对称性：关于点),(a

a b -

成中心对称周期性：非周期函数周期性：非周期函数

反函数：在定义域上有反函数，反函数：在定义域有反函数，反函数是其本身。反函数是)(a

x c ax d bx y ≠-+-=

（三）、)0()(>+=k x k

x x f （四）、)0()(>-=k x

k x x f 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）值域：

)

,2()2,(+∞--∞k k 值域:（- ∞，+ ∞）

图像：图像：

单调性：

↑

+∞↓↓

-↑--∞),(,),0()0,(,),(k k k k 单调性：（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑

奇偶性：奇函数奇偶性：奇函数对称性：关于原点对称对称性：关于原点对称四、指数函数、对数函数和幂函数（一）、指数和对数运算及性质： 1、根式

又因为(b a )n 可看作a n ·b -n

，所以（b a ）n ＝n n b

a 可以归入性质(3).

现在我们来研究如何用幂表示底数。

（1）、n 次方根的定义：若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根. 问题：x 如何用a 表示呢?

【平方根】偶次方根有下列性质：

在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；【立方根】奇次方根有下列性质：

在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. （2）、n 次方根的性质：

)(2,12,*N k k

n a k n a x n n ∈?????=±+==，其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.

（3）、根式的运算性质

①（a a n n =)(）② ???=为偶数

为奇数

n a n a a n n |,|,

(1)33)8(- （2）2)10(- (3)44)3(π-

（4）2)(b a -（a ＞b ）

解：(1) 33)8(-＝－8 (2) 2)10(-＝｜－10｜

(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3 (4) 2)(b a -＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ）例2、求值：

5.132)2(;246347625)1(??---++

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0