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简谐振动运动方程的推导

简谐振动运动方程的推导
简谐振动运动方程的推导

运动微分方程

运动微分方程 弹性体体积V ,表面积S ,密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量,t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P (t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度:表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率,其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ,P,Q ,R 为F 在x,y,z 上的分量。 散度定理的证明:S d F dV F s V ?=???????。 令()R Q P F ,,= ,假设F =(0,0,R),则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图,投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶 顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面

4.2 理想流体的运动微分方程讲解

4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体,是一种假想的,不存在的流体。实际流体有粘性,粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示;中心点为),,(z y x M ,M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ,z y x Y d d d ρ,z y x Z d d d ρ;流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ;由压强产生的表面力,在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下: z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程(同除m z y x d d d d =ρ)如下

??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程,是Euler 1755年推导出来的,故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分-Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位,其形式简单、意义明确,在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点,不论是否定常运动,经过时间t d ,质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=;s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === (4.3-1) 对式(4.2-1a )的三式依次乘z y x d ,d ,d ,相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= (4.3-2)

运动微分方程推导

以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力 黏性流体在运动时,表面力不仅有法向应力,还有切向应力,因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。 如在任一点取一微小的正六面体,如图所示,作用在平面ABCD 上的力 有法向应力 xx p ,与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作 用面的外法线方向,第二个脚标表示应力方向。 流体场内任一点的应力状况,即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力,都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程 在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见,其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值,正直表示应力沿相应坐标系的正向,反之亦然。由于流体不能承受拉力,因此,

xx p yy p ,zz p 必为负值。 由牛顿第二定律,x 方向的运动微分方程为: Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ,然后分别对x,y,z 求偏导,得到: 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? (1) 同理,在y 方向,由牛顿第三定律得:

[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ,然后分别对x,y,z 求偏导得: 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? (2)

简谐振动的运动学

简谐振动的运动学 本节主要讲解:根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程,并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程 方程的解为:⑴ ⑴式就是简谐振动的运动学方程,该式又是周期函数,故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期(T ) 完成一次全振动所用的时间: 对弹簧振子: 2. 频率() 单位时间内完成的全振动的次数: 的含义:个单位时间内完成的全振动的次数,即圆频率。 3. 振幅

物体离开平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始条件决定。如:t=0 时刻,, 由⑴式可得:, ∴⑵ 4. 位相和初位相 振动系统的状态指:任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够,还须知道 才能完全决定系统的运动状态。 叫简谐振动的相位。 当时,叫初相位。 由:⑶ 若:已知初始条件:,则⑶式有: ⑷ ⑸ ⑷,⑸式中的任意二个即可确定初位相。 相位差:两振动相位之差。 讨论:

⑴若 是 的整数倍,则振动同相位; ⑵若 是 奇数倍,则振动相位相反; ⑶若 ,则称 超前 ; ⑷若 ,则称 落后 。 相位差的不同,表明二振动有不同程度的参差错落,振动步调不同。 例 1 :一弹簧振子, 时, 求振动的初位相 。 解 : ∴ 在第一象限, 例 2 :讨论振动的位移,速度和加速度之间的关系。 解 : 设: , 则:

所以:速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前; 加速度的位相比位移的位相超前。 理解:加速度对时间的积累才获得速度,速度对时间的积累获得位移。 总结: ⑴简谐振动是周期性运动; ⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 频率及初相位决定,或者说,由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的,而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质,而且取决于初始条件。 三 . 简谐振动的图象:图线 描述:质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常做正弦、余弦函数的图象,故不再多讲,请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法: 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示:

简谐运动的描述物理教案

简谐运动的描述物理教案 教学目标: 1.知识与技能 (1)知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。理解周期和频率的关系。 (2)知道振动物体的固有周期和固有频率,并正确理解与振幅无关。 (3)理解振动图像的物理意义,能利用图像求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移;会将振动图像与振动物体在某时刻位移与位置对应,并学会在图象上分析与位移x有关的物理量。 (4)知道简谐运动的公式表示X=Asinwt,知道什么是简谐运动的圆频率,知道简谐运动的圆频率和周期的关系。 2.过程与方法:观察砂摆演示实验中拉动木板匀速运动,让学生学会这是将质点运动的位移按时间扫描的基本实验方法。 3.渗透物理方法的教育:提高学生观察、分析、实验能力和动手能力,从而让学生知道实验是研究物理科学的重要基础。 教学重点:振幅、周期和频率的物理意义;简谐运动图象的物理意义 教学难点:理解振动物体的固有周期和固有频率与振幅无关;振动图象与振动轨迹的区别;圆频率与周期的关系 教学器材:弹簧振子,音叉,课件;砂摆实验演示:砂摆、砂子、玻璃板(或长木板) 教法与学法:实验观察、讲授、讨论,计算机辅助教学 教学过程设计: 第一课时 1.新课引入 上节课讲了简谐运动的现象和受力情况。我们知道振子在回复力作用下,总以某一位置为中心做往复运动。现在我们观察弹簧振子的运动。将振子拉到平衡位置O的右侧,放手后,振子在O点的两侧做往复运动。振子的运动是否具有周期性? 在圆周运动中,物体的运动由于具有周期性,为了研究其运动规律,我们引入了角速度、周期、转速等物理量。为了描述简谐运动,也需要引入新的物理量,即振幅、周期和频率。

板书二振幅、周期和频率(或投影) 2.新课讲授 实验演示:观察弹簧振子的运动,可知振子总在一定范围内运动。说明振子离开平衡 位置的距离在一定的数值范围内,这就是我们要学的第一个概念――振幅。 板书1、振动的振幅 在弹簧振子的振动中,以平衡位置为原点,物体离开平衡位置的距离有一个最大值。 如图所示(用投影仪投影),振子总在AA’间往复运动,振子离开平衡位置的最大距离为 OA或OA’,我们把OA或OA’的大小称为振子的振幅。 板书(1)、振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离。 我们要注意,振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,而不是最大位移。这就意味着,振幅是一个数值,指的是最大位移的绝对值。 板书振幅是标量,表示振动的强弱。 实验演示:轻敲一下音叉,声音不太响,音叉振动的振幅较小,振动较弱。重敲一下 音叉,声音较响,音叉振动的振幅较大,振动较强。振幅的单位和长度单位一样,在国际 单位制中,用米表示。 板书(2)、单位:m 由于简谐运动具有周期性,振子由某一点开始运动,经过一定时间,将回到该点,我 们称振子完成了一次全振动。振子完成一次全振动,其位移和速度的大小、方向如何变化? 学生讨论后得出结论:振子完成一次全振动,其位移和速度的大小、方向与从该点开 始运动时的位移和速度的大小、方向完全相同。 在匀速圆周运动中,物体运动一个圆周,所需时间是一定的。观察振子的运动,并用 秒表或脉搏测定振子完成一次全振动的时间,我们通常测出振子完成20~30次全振动的 时间,从而求出平均一次全振动的时间。可以发现,振子完成一次全振动的时间是相同的。 板书2、振动的周期和频率 (1)、振动的周期T:做简谐运动的物体完成一次全振动的时间。 振动的频率f:单位时间内完成全振动的次数 (2)、周期的单位为秒(s)、频率的单位为赫兹(Hz)。 板书(3)、周期和频率都是表示振动快慢的物理量。两者的关系为T=1/f或f=1/T

质点运动微分方程

第3篇 动力学 第10章 质点运动微分方程 一、目的要求 1.对质点动力学的基本概念(如惯性、质量等)和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2.深刻理解力和加速度的关系,能正确地建立质点的运动微分方程,掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3.掌握质点动力学第二类基本问题的解法,特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时,质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识,并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容 1.基本概念: 动力学的基本定律,质点的运动微分方程;质点动力学的两类基本问题。 2.主要公式: (1)牛顿第二定律:a m F =(式中,质点的质量为m ,所受合力为F ,其加速度为a 。) (2)质点运动微分方程 1)矢径形式:22dt r d m F =或F r m =,∑=i F F 2)直角坐标形式:∑=x F dt x d m 22,∑=y F dt y d m 22,∑=z F dt z d m 22 3)自然坐标形式:2n m F υρ=∑,d m F dt τυ =∑,∑ = b F 0 强调:动力学基本定律仅在惯性参考系中成立,因此,公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点 1.重点: (1)建立质点运动微分方程。 (2)求解质点动力学的两类基本问题。 2.难点: 在质点动力学第二类问题中,根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示 1.建议 (1)在复习物理课程有关内容的基础上,进一步理解动力学各定律的实质,了解古典力学的适用范围。 (2)复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识,学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。 (3)注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点,归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时 课内(2学时)课外(3学时) 3.作业 10-5,10-12,10-14

振动运动学

振动运动学 1. 选择题 题号:10111001 分值:3分 难度系数等级:1 物体做简谐运动时,下列叙述中正确的是 (A )在平衡位置加速度最大; (B )在平衡位置速度最小; (C )在运动路径两端加速度最大; (D )在运动路径两端加速度最小。 [ ] 答案:(C ) 题号:10111002 分值:3分 难度系数等级:1 一弹簧振子,当0t =时,物体处在/2x A =(A 为振幅)处且向负方向运动,则它的初相为 (A ) π3; (B )π6 ; (C )-π3; (D )-π 6。 [ ] 答案:(A ) 题号:10111003 分值:3分 难度系数等级:1 两个同周期简谐振动曲线如图所示。x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2 ; (B) 超前π/2 ; (C) 落后π ; (D) 超前π 。 [ ] 答案:(B ) 题号:10111004 分值:3分 难度系数等级:1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开,使摆线与竖直方向成一微小角度θ ,然后由静止放手任其振动,从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初相为 (A) π ; (B) π/2 ; (C) 0 ; (D) θ 。 [ ] 答案:(C )

题号:10111005 分值:3分 难度系数等级:1 一弹簧振子,当0t =时,物体处在/2x A =-(A 为振幅)处且向负方向运动,则它的初相为 (A ) π3 ; (B )-π3 ; (C )23π- ; (D )23π 。 [ ] 答案:(D ) 题号:10112006 分值:3分 难度系数等级:2 一质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为/2A ,且向x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为 (C) [ ] 答案:(B ) 题号:10112007 分值:3分 难度系数等级:2 一质点作简谐振动,周期为T 。当它由平衡位置向x 轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 ; (B) T /8 ; (C) T /6 ; (D) T /4 。 [ ] 答案:(C ) 题号:10112008 分值:3分 难度系数等级:2 已知一质点沿y轴作简谐振动。其振动方程为3 cos()4 y A t ωπ=+。与之对应的振动曲线是

《§1.1简谐运动》公开课教学设计

《§1.1简谐运动》公开课教学设计 授课教师:杨清泉授课班级:平山中学k二3 授课时间:2010-4-8星期四授课地点:物理实验室 (一)【教学目标】 知识与技能: 1.通过观察与分析,了解什么是机械振动。 2.掌握简谐运动回复力的特征。 3.掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的定性规律 过程和方法: 1、通过观察演示实验,概括出机械振动的特征,培养学生的观察、概括能力. 2、指导学生建立物理模型的科学方法,培养学生从实际问题中抽象出物理模型的能力。 情感、态度与价值观: 1、渗透物理学方法的教育,运用理想化方法,突出主要因素,忽略次要因素,抽象出物理模型——弹簧振子,研究弹簧振子在理想条件下的振动。 2、把物理知识延伸到生活的应用中去,让学生亲自体会到物理的实用性,激发他们学习物理的热情。(二)【教学重点】 1.掌握简谐运动的回复力特征.2.简谐运动的相关运动物理量的变化规律 (三)【教学难点】 1.偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆. 2.在一次全振动中速度的变化. (四)【教学方法】 多媒体辅助教学、实验法(相关视频)、启发式的讲授课、讨论总结法、 (五)【教学教具】 多媒体课件、气垫弹簧振子、乒乓球、橡皮筋、铁架台、 (六)【新课过程】 一、导入新课 由一颗乒乓球说起物体运动状态: a:匀速直线运动;b:由静止释放——自由落体;c:水平抛出——平抛 d:线拉住在水平面内转动——匀速圆周运动 提问:若将系在铁架台上的乒乓球向下拉——运动特点? 二、新课教学 (一)机械振动 1.定义:物体在平衡位置附近做往复运动,简称振动。(P3) 2.特点:a:有一平衡位置(即做机械振动的物体静止时所处的位置)b:往复运动(平 衡位置附近) 1):学生举例:………… 2):教师举例演示:[演示实验] 图1(a)一端固定的钢板尺图1(b)单摆

第二节 简谐运动的描述

第二节 简谐运动的描述 【学习目标】 1、 能结合简谐运动的振动图像说出简谐运动的振幅、周期和频率 2、 能结合数学的观点初步体会相位的概念 3、 能写出简谐运动的表达式能画出简谐运动的振动图像 【新课教学】 一、全振动(看课本第5页) 请写出下列几种情况下弹簧振子一次全振动的过程 1、 从E 点开始向右运动 2、 从E 点水平向左的运动 3、 从A 点开始运动 4、 从O 点水平向右的运动 二、描述简谐运动的物理量——振幅、周期和频率(看课本第5—6页) 例题1、如图是弹簧振子的振动图像,由图像试判断振子的振幅、周期、频率及其简谐运动的表达式 例题2、弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动,BC 相距20cm ,某时刻振子处于B 点,经0.5s ,振子首次到达C 点,求: (1) 振子的振幅 (2) 振子的周期和频率 二、简谐运动的表达式(看课本第7—8页) 例题3:两个简谐运动的表达式分别为x1=4asin (4πbt + 2π),x2=2asin (4πbt+2 3π),求他们的振幅之比,各自的频率,以及他们的相位差。 例题4/:如图是甲乙两振子的简谐振动图像 1、 甲乙两振子的振幅之比 2、 甲乙两振子的频率之比 3、 甲乙两振子的相位差

思考:弹簧振子在T、1/2T、1/4T内经过的路程与振幅的关系 1、振子在一个周期内经过的路程及N个周期内通过的路程是多少/ 2、半个周期内通过的路程及N个半周期内通过的路程是多少? 3、1/4个周期内通过的路程与振幅的关系?请结合例二说明? 【夯实基础】 1、下列说法正确的是() A 物体完成一次全振动,通过的位移是4个振幅 B 物体在1/4个周期内通过的路程是1个振幅 C 物体在一个周期内通过的路程是4个振幅 D 物体在3/4个周期内通过的路程是3个振幅 2、如图示,弹簧振子在BC间做简谐运动,O为平衡位置,BC间距离为10cm,B到C 的运动时间为1s,则() A 从O C O振子做了一次全振动 B 振动周期为1s,振幅是10cm C 经过两次全振动,通过的路程是20cm D 从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm 3、如图所示为质点的振动图像,下列判断真确的是() A 质点振动的周期是8s B 振幅是正负2cm C 4s质点的速度为负 D 10s末质点的速度为0 4、质点做简谐运动,从质点经过某一位置时开始计时,下 列说法正确是() A 当质点再次经过此位置时,经历的时间为一个周期 B 当质点的速度再次与零时刻的速度相同时,经过的时间是一个周期 C 当质点的位移再次与零时刻相同时,经过的时间是一个周期 D 当质点经过的路程为振幅的2倍时,经过的时间为半个周期 5、弹簧振子的振幅增大到原来的4倍,其振动频率将 A、增大到原来的4倍 B、增大到原来的2倍 C、变为原来的1/2 D、仍保持不变 6、一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图所示,它的振动图像如图所示,设向右为正方向,则OB= cm,第0.2s末质点的速度方向,第0.7s 时,质点的位置在区间,质点从O运动到B再到A需时间t= s,在4s 内完成次全振动。 7、如图所示是两个简谐运动的振动图像,它们的相位差 是多少?

热传导+对流微分方程推导

热传导微分方程 导热又称热传导,是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间,由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递,没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导,但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律 傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为: q gradT λ=-? (2-1) 式中:q ——热流密度,是一个向量,2/()Kcal m h gradT ——温度梯度,也是一个向量,℃/m 。 λ——导热系数,又称热导率,/()Kcal mh C o ; 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数(thermal conductivity )及其影响因素 导热系数λ( /()Kcal mh C o )是热传导过程中一个重要的比例常数,在数值上等于每小时每平方米面积上,当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。 导热系数是指在稳定传热条件下,1m 厚的材料,两侧表面的温差为1度(K ,°C),在1秒内,通过1平方米面积传递的热量,用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k (W/m·K,此处的K 可用℃代替)。 导热系数为温度梯度1℃/m ,单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是:W/(m·K)。 在上述假设前提下,建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3.热传导微分方程推导 在t 时刻w 界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +??

单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为:dydz x T ??-λ ; 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为:dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ; 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为:dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图 同理,单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为: dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ (3-1)

简谐振动总结

★简谐运动 简谐运动(Simple harmonic motion)(SHM)(直译简单和谐运动)是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。(如单摆运动和弹簧振子运动)实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动叫做简谐运动。 定义 如果做机械振动的质点,其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律,这样的振动叫做简谐运动,又名简谐振动。因此,简谐运动常用 作为其运动学定义。其中振幅A,角频率,周期T,和频率f的关系分别 为:、 。 科学结论 振幅、周期和频率 简谐运动的频率(或周期)跟振幅没有关系,而是由本身的性质(在单摆中由初始设 定的绳长)决定,所以又叫固有频率。 一般简谐运动周期, 其中m为振子质量,k为振动系统的回复力系数。 一般,若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。 单摆运动周期

其周期 (π为圆周率)这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅(a<5°)都和摆球质量无关,仅限于绳长<<地球半径。[2] 扩展:由此可推出,据此可利用实验求某地的重力加速度。 周期公式证明 为了使示意图更加简洁,全部假设k=1,这样的话以为F回=-kx(并且在此强调此处负号只表示方向,不表示数值,所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号),所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x,所以在两个示意图中都是用一条线表示的。一般简谐运动周期公式证明 因为简谐运动可以看做圆周运动的投影,所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。圆周运动的;很明显v无法测量到,所以根据 得到。 其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即 (F=-kx中负号只表示方向,所以在这省略)。 所以得到; 因为x与r之间的关系是:x=rcosα,所以上式继续化简得到: 。 然后再将v带入之前的圆周运动T中,即可得到 。

运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系 着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学:牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律(引力理论).

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律 两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1)在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2)万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3)经典力学中其他常见的力:重力;弹簧弹性力;柔软绳的张力;刚性线或面的支撑力;刚性线或面的摩擦力;洛伦兹力;质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观 (1)力学相对性原理:对任何惯性系,力学运动规律完全相同.或者说,对力学运动规律而言,一切惯性系都是等价的.

第3章振动系统地运动微分方程的题目解

习 题 3-1 复摆重P ,对质心的回转半径为C ρ,质心距转动轴的距离为a ,复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度,选复摆转角?为广义坐标,原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下,根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体,质心为C ,与圆心O 1的距离为e ,柱体半径为R ,质量为m ,对质心的回转半径为C ρ,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度,选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为: 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v : 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束,重力的元功为 题3-1图 题3-2图

θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt , θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ,等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ,1cos ≈θ,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 (1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b )所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ,C y ,θ ,F ,N 五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C , ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力N ,F ,就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下,未知约束力在动能定理的表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 (2)本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=

第2章 2 简谐运动的描述

2.简谐运动的描述 学习目标:1.[物理观念]理解振幅、周期和频率,了解相位. 2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动. ☆阅读本节教材,回答第35页“问题”并梳理必要的知识点.教材第35页问题提示:根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点,物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动. 一、描述简谐运动的物理量 1.振幅 (1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅.用A表示,国际单位为米(m). (2)物理含义:振幅是描述振动范围的物理量;振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小. 2.周期(T)和频率(f) 内容周期频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全 振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用 时间之比 单位秒(s)赫兹(Hz) 物理含义都是表示振动快慢的物理量 联系f= 1 T 注意:不管以哪个位置作为研究起点,做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的. 3.相位:在物理学中,周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相

位来描述. 二、简谐运动的表达式 1.表达式:简谐运动的表达式可以写成 x =A sin ()ωt +φ或x =A sin ? ?? ??2πT t +φ 2.表达式中各量的意义 (1)“A ”表示简谐运动的“振幅”. (2)ω是一个与频率成正比的物理量,叫简谐运动的圆频率. (3)“T ”表示简谐运动的周期,“f ”表示简谐运动的频率,它们之间的关 系为T =1f . (4)“2πT t +φ”或“2πft +φ”表示简谐运动的相位. (5)“φ”表示简谐运动的初相位,简称初相. 说明: 1.相位ωt +φ是随时间变化的一个变量. 2.相位每增加2π就意味着完成了一次全振动. 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)振幅就是振子的最大位移. (×) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期. (×) (3)振动物体的周期越大,表示振动得越快. (×) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关. (×) 2.(多选)如图所示,弹簧振子以O 点为平衡位置,在B 、C 间振动,则( ) A .从 B →O → C →O →B 为一次全振动 B .从O →B →O → C →B 为一次全振动 C .从C →O →B →O →C 为一次全振动 D .B 、C 两点关于O 点对称

高三物理简谐运动的公式描述

简谐运动的公式描述教案 教学目标 1.知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象. (2)知道振动图象的物理含义,知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线. (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义. (4)知道简谐运动的位移公式为x=A sin(ωt+?),了解简谐运动位移公式中各量的物理含义. (5)了解位相、位相差的物理意义. (6)能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相. 2.过程与方法 (1)通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1—3—1中数据的比较,并描出z—t函数曲线,判断其结果,使学生获知匀速圆周运动在x方向的投影和简谐运动的图象一样,是一条正弦或余弦曲线. (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相,使学生懂得化难为易 以及应用已学的知识解决问题. (3)通过课堂讲解习题,可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点. 3.情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习,培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简, 科学地寻找解决问题的方法. (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯. ●教学重点, 难点 1.简谐运动位移公式x=A sin(ωt+?)的推导 2.相位, 相位差的物理意义.. ●教学过程 教师讲授 简谐振动的旋转矢量法 在平面上作一坐标轴OX,由原点O作一长度等于振幅的矢量A 。 t=0,矢量与坐标轴的夹角等于初相? 矢量A以角速度w逆时针作匀速圆周运动,研究端点M 在x 轴上投影点的运动,1.M 点在x 轴上投影点的运动 x=A sin(ωt+?)为简谐振动。 x代表质点对于平衡位置的位移,t代表时间,简谐运动的三角函数表示 回答下列问题 a:公式中的A代表什么? b:ω叫做什么?它和f之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相?

《简谐运动》教案

简谐运动 一、教学目的 1、知识与能力: (1)认识弹簧振子 (2)通过观察和分析,理解简谐运动的位移——时间图像是一条正弦曲线,培养分析和概括能力; 2、过程与方法:经历对简谐运动运动学特征的探究过程,加深领悟用图像描绘运动的方法; 3、情感、态度、价值观:培养学习物理的兴趣,陶冶热爱生活的情操。 二、教学重点:简谐运动位移——时间图像的建立及图像的物理含义 三、教学难点:简谐运动位移——时间图像的建立 四、教具:水平弹簧振子、竖直弹簧振子、单摆、振铃、托盘天平、物体平衡仪、音叉、乒乓球等。 五、教学过程 [引入]今天我们开始学习第十一章机械振动,第一节简谐运动(板书)。首先请大家欣赏一段古筝演奏。 问题1:古筝为什么能够发出声音?(琴弦的振动) 问题2:还有哪些乐器是靠琴弦的振动发出声音的?(小提琴、大提琴、吉他、二胡、琵琶等) 振动在我们生活中十分常见 问题3:能不能再举例一些生活中类似这样的振动?(说话时声带振动等;剧烈而令人恐惧的振动——地震) 我们实验室也普遍存在这样的振动,请大家仔细观察,演示如:天平指针的振动、音叉的振动、单摆的振动、水平弹簧振子、竖直弹簧振子。在我们演示的振动中有水平方向的振动也有竖直方向的振动。 问题4:它们具有共同的特征是什么?(在某一中心位置来回运动,强化“往复”和“周期性”) 我们把这个中心位置叫做平衡位置(原来静止的位置,标出竖直弹簧振子的平衡位置,把振动的物体叫做振子) 一、机械振动:物体在平衡位置附近所做的往复运动。简称为振动 特点:往复性、周期性 简图示意: 实际的振动是非常复杂的,大家已经观察到刚刚的振动在阻力的作用下,有些很快就停下来,有些振动的幅度正在减弱。为了研究的方便,我们

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