高二数学培优班圆锥曲线综合问题训练(教师版)

高二数学培优班圆锥曲线综合问题训练 教师版

一、选择题

1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆16

4942

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ?的面积为

（

A ．4

B ．6

C ．22

D ．24 答案 B 2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的右焦

点Ｆ交椭圆于A 、B 两点，P 为右准线上任意一点，则

APB ∠为

（ ）Ａ．钝角 Ｂ．直角 Ｃ．锐角 Ｄ．都有可能答案 C

3. (华南师大附中学09届高三上第三次综合测试)曲线241x y -+=(x ∈[-2，2])与直线(2)4y k x =-+两

个公共点时，实效k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,

)12

B ．13(,)34

C ．5

(

,)12

+∞

D ．53(

,]124

答案 D

4.(安徽省巢湖2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为圆心的圆经过原

点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于 ( )

A.23 C.4

9 答案 B 5. (北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、

2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足

212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（ ）

A ． 2

B ． 3

C ．23

3

D ．22答案 B

6. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线122

22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，

点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2

1

ta

n 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为 ( )A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322

=-y x D ．1125322=-y x

答案 B 7. (北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P 为抛物线2

2

1x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)2

17

,

6(，则PM PA +的最小值是 （ ）A . 8 B .219 C .10 D .2

21

答案 B 8..(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)从双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的

切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT

-与b a -的大小关系为（ ）

A 、MO MT b a ->-

B 、MO MT b a -=-

C 、MO MT b a -<-

D 、不确定 答案 B

9.（2007唐山二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x =-1,AM ⊥l 于M ，|AM |=λ，|AO |=

2

1

+λ（λ≥0），则A 的轨迹是（ ）A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C 10.（2007石家庄一模）已知F 为双曲线22a x -22

b

y =1（a ,b >0）的右焦点，点P 为双曲线右支上一点，以线段

PF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 B

11.(2007湖北八校联考)P 为双曲线22a x -22

b

y =1（a ,b >0）右支上一点，F 1，F 2分别是左右焦点，且焦距为2c ，

则△F 1PF 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A.a B.b C.,c D.a +b -c 答案 A 12. (2007武汉4月调研)已知点P 是椭圆C ：14

82

2=+y x 上的动点，F 1、F 2分别是左右焦点，O 为坐标原点，则|

|||||||21OP PF PF -的取值范围是（ ）

A.[0,22]

B.[)2,0

C.???

? ??22,21 D.[0,2] 答案 D 13.（2007黄冈模拟）设P (x ,y )是曲线C :252x +9

2

y =1上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则|PF 1|+|PF 2|( )A.小于10 B.大于10 C.不大于10 D.不小于10 答案 C 二、填空题

14（2007届高三名校试题）A 的坐标是（－2，0），B 是圆F ：（2-x ）122=+y 上的动点（F 为圆心），线段AB 的垂

直平分线交直线BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 。 答案

14

15412

2=-y x 15.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆122

22=+b

y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一

点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = .答案 3－116. (北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线192

22=-y a

x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a =__________.答案 217. (福建省南靖一中2008年第四次月考)过椭圆

x y F 22

13625

1+=的焦点作直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是此椭圆的另一焦点，则?ABF 2的周长为 .答案 2418. (福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)若双曲线22a x －22b

y =1的渐近线与方程为3)2(2

2=+-y x 的

圆相切，则此双曲线的离心率为 ．答案 219. (福建省漳州一中2008年上期期末考试)双曲线

22

1 916

x y -=的两个焦点为12F F 、，点P 在该双曲线上，若12

0PF PF ?= ，则点P 到x 轴的距离为 .答案 16

5

20. (黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知点P 是抛物线2

4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 。答案

121. （2009年郓城实验中学·理科)已知F 1、F 2是椭圆2

222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦

点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 答案

9

3

100

1，椭圆122

22=+b

y a x 上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x 轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴

和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；

（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点， 证明：∠F 1CF 2≤ π

2

；

（1

）易得222(,),,,,OM AB b b b b b c M c k k b c a e a ac a ac a a ==∴=?=?=∴==

（2）证：由椭圆定义得：222

1212121212||||||||||2,cos 2||||

FC F C F F FC F C a FCF FC F C +-+=∠=

222121212442||||2 1.2||||||||

a c FC F C

b FC F C FC F C --==-

222

212121212

22||||22||||(),cos 110,.222

FC F C b c FC F C a FCF FCF a c π+≤=∴∠≥-=-=∴∠≤ 2．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝xi ＋(y ＋2)j ，b ＝xi ＋(y －2)j ，

且|a |＋|b |＝8． （1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； （2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、

B 两点，设,+=是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由． 解：（1）∵a ＝xi ＋(y ＋2)j ，b ＝xi ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8 ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）

的距离之和为8 ∴点M 的轨迹C 为F 1、F 2为焦点的椭圆，其方程为

22

11216

x y += （2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点，这时0OP OA OB =+=

。

∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾，

∴直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋3，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)

由2222223:(43)18120(18)4(43)(21)011216

y kx y k x kx k k x y =+??

++-=?=-+->?+

=??消得此时

恒成立．且1212

22

1821

,4343k x x x x k k +=-

=-++ ∵OP OA OB =+

，∴四边形OAPB 是平行四边形

若存在直线l 使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即0OA OB ?=

∵11221212(,),(,)0OA x y OB x y OA OB x x y y ==∴?=?+?=

即22212122221185(1)3()90(1)()3()90,434316k k k x x k x x k k k k k k ++++=+-+-+=∴=∴=++即

∴存在直线:3l y x =+使得四边形OAPB 为矩形． 3 (开封市08届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为

坐标原点，点A 在双曲线的右支上，点B 在双曲线左准线上，.,22OF F ?=?= （1）求双曲线的离心率e ； （2）若此双曲线过C （2，3），求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D 1、D 2分别是双曲线的虚轴端点（D 2在y 轴正半轴上），过D 1的直线l 交双曲线M 、N ，l D D 求直线,22⊥的方程。解（1）?=,2F 四边形F 2 ABO 是平行四边形0,0)(22=?=-OF 即,2⊥∴∴四边形F 2 ABO 是菱形.∴.||||||22c F F ===由双曲线定义得|

|,2||11AB e c a AF =

+=,12

2+=+=

e

c c a ,022=-∴-e e )1(2舍去-==∴e e （2）,2a c e ==2

23,2a b a c ==∴，双曲线方程为,132

222=-a

y a x 把点C )3,2(代入有,3.13342

2

2=∴=-a a a ∴双曲线方程.19

323=-y x （3）D 1（0，－3），D 2（0，3），设l 的方程为),(),,(,32211y x N y x M kx y -=则由0186)3(193

3

222

2=-+-??????=--=kx x k y x kx y 因l 与与双曲线有两个交点，.3±≠∴k 2

2

1221318

,36k x x k k x x --=?--=

+ 99)(3,3186)(21212

212

2121=++-=?--=

-+=+∴x x k x x k y y k

x x k y y ,),3,(),3,(22222112D D y x D y x D ⊥-=-= 09)(3112121=+--?+??y y y y x x ,5.09318

3931822

2==+---+--∴

k k

k 即.5±=∴k 故所求直线l 方程为3535--=-=x y x y 或.