直线与平面平行的判定及性质教学设计

2.2.1 直线与平面平行的判定及性质教学设计

一、教材分析

直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

二、教学目标

1、知识与技能

（1）通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用。

（2）进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力。

2、过程与方法

（1）启发式：以实物（门、书、景色）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

（2）指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。

3、情感态度与价值观

（1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

（2）在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。

三、教学的重点与难点

教学重点：直线和平面平行的判定定理的发现及其应用。

教学难点：从生活经验归纳发现直线和平面平行的判定定理。

四、教学过程

（一）引入新课

1、内容回顾，老师带领学生复习直线与平面的已学内容。

直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的

点都在这个平面内）

直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交

直线与平面没有公共点——直线与平面平行

直线与平面平行

2、直观感知

老师提问学生：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

学生举例：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。

（二）新授内容

1、如何判定直线与平面平行：

如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那

么这条直线和这个平面平行。

老师给学生讲解例题：

例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于

经过另外两边的平面。

已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的

中点。求证：EF∥平面BCD

AE＝EB

?EF∥BD

AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面BCD

BD ?平面BCD

2．直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和

这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

已知：a ∥α，a ?β,α∩β＝b （如右图）

求证：a ∥b

证明：α∩β＝b ?b ?a a ?β

A //α ? a ∩b=φ ?a // b

b

?β

（三）巩固练习

如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一

矩形。

（1）求证：CD ∥平面EFGH ；

（2）求异面直线AB 、CD 所成的角

证明：

（1）矩形EFGH ?GH ∥EF

EF ?面ACD ?GH ∥面ACD GH ?面ACD GH ?面BCD

面BCD ∩面ACD ＝CD

?GH ∥CD

GH ?面EFGH CD ∥GH,且面BCD ∩面EFGH ＝GH ?CD ?面EFGH

?CD ∥平面EFGH

（2）如⑴可证CD ∥GH

同理可证AB ∥GF ?∠HGF 即为异面直线AB

与CD 所成的角且

矩形EFGH ?∠HGF ＝90°

∠HGF ＝90°

五、课堂小结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点

利用平行四边形或三角形中位线性质等。本节的重点是直线与平面平行的判定和性质定理。记清楚定理的描述，在应用定理时，要注意条件的满足，如判定定理中的三个条件一个不能少。简单扼要的课堂小结，可使学生深刻地理解数学理论在实际生活中的应用，并且逐渐地培养学生具有良好的学习习惯。

直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.

∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，

直线与平面平行的性质教案

直线与平面平行的性质 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质 自主学习 学习目标 1．理解直线与平面平行的性质定理的含义． 2．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理． 3．会证明直线与平面平行的性质定理． 4．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题． 自学导引 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和___________________________________________________________ _____________． (1)符号语言描述：________________. (2)性质定理的作用： 可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．

对点讲练 知识点一 利用性质定理证明线线平行 例1 如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 点评 线∥面――→转化线面平行的性质线∥线．在空间平行关系中，交替使用 线线平行、线面平行的判定与性质是解决此类问题的关键． 变式训练1 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：CD∥平面EFGH. 知识点二线面平行性质定理与判定定理的综合应用 例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP 作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

《平行线的性质》教学设计

《平行线的性质》教学设计 拜泉三中谢天友 一、教材分析 本节课的主要内容是平行线的三条性质等内容，首先在研究了平行线判定的基础上，研究了平行体的性质，使学生更容易接受。本节课再利用两直线平行，同位角相等来推理证明其它两条性质的过程有一次让学生感受到转化思想在解读数学问题中的应用。 二、教学重点：掌握平行线的性质，并会应用。 教学难点：综合应用性质解决问题。 三、教学目标： 1、使学生理解并应用平行线的性质。 2、培养识图和推理能力 四、教学过程 （一）复习回顾：平行线具有那些判定方法？（学生回答）（二）探索新知识。 （一）问题1：让学生用自带的三根细木条捆成三线八角的图形，并使其中的两条直线平行，同时用量角器测出人个角的度数。问题2：小组互相交流，并总结出平行线的性质。 问题3：让学生们自己交流的成果，并完善同学的总结，从而得到平行线的性质。 （二）平行线的性质： 1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线

平行，同位角相等。 几何符号化： ∵a//b ∴∠1=∠2 2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等。 几何符号化： ∵a//b ∴∠3=∠2 3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为：两直线平行，同旁内角互补。 几何符号化： ∵a//b ∴∠4+∠2=180° （三）教学引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别，两者的条件和结论正好相反，由角的数量，关系得出两条直线平行是平行线的判定，由知的两条直线平行得出角的数量关系是平行线的性质。 （四）初步应用 首先完全教材中例1的教学，处理方法是让学生自己独立完成，许集体形成统一答案，教师帮助学生完整推理过程。 其次进行拓展练习 已知如图直线AB//CD直线EF分别交直线AB,CD于点E,F,EG平分∠AEF，FH平分∠EFD,EG与FH平行吗？为什么

七年级数学下册平行线的性质教案好

《平行线的性质》教学设计 教学目的 1．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． 2．使学生了解平行线的性质和判定的区别． 重点难点 1．平行的三个性质，是本节的重点，也是本章的重点之一． 2．怎样区分性质和判定，是教学中的一个难点． 教学过程 一、复习导入 问：我们已经学习过平行线的哪些判定公理和定理？ 学生齐答： 1．同位角相等，两直线平行．2．内错角相等，两直线平行． 3．同旁内角互补，两直线平行． 问：把这三句话颠倒每句话中的前后次序，能得怎样的三句话？新的三句话还正确吗？ 学生答： 1．两直线平行，同位角相等．2．两直线平行，内错角相等． 3．两直线平行，同旁内角互补． 教师指出：把一句原本正确的话，颠倒前后顺序，得到新的一句话，不能保证一定正确．例如，“对顶角相等”是正确的，倒过来说“相等 的角是对顶角”就不正确了．因此，上述新的三句话的正确性，需要进 一步证明． 二、讲授新课 平行线的性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说： 两直线平行，同位角相等．怎样说明它的正确性呢？ 方法一通过测量实践，作出两条平行线a∥b，再任意作第三条直线c，量量所得的同位角是否相等． 方法二从理论上给予严格推理论证．(以下证法，教师可视学生接受情况，灵活处理讲或者不讲) 已知：如图2-32，直线AB、CD、被EF所截，AB∥CD． 求证：∠1＝∠2． 证明：(反证法) 假定∠1≠∠2， 则过∠1顶点O作直线A′B′使∠EOB′＝∠2． ∴A′B′∥CD(同位角相等，两直线平行)． 故过O点有两条直线AB、A′B′与已知直线CD平行，这与平行公

直线与平面平行经典题目

9.2 直线与平面平行 ●知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行. ●点击双基 1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β 答案：D 2.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c . 又b ?α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 答案：C 4.(06重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 解析：对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内， 且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直， 综上所述，选C. 5.已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .

《直线与平面平行》教学设计

16 直线与平面平行 教材分析 直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化． 教学目标 1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤． 2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力． 3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度． 任务分析 这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握． 教学设计 一、问题情境 教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？ 二、建立模型 ［问题一］ 1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？ 学生讨论，得出结论：

直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内． 2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？ 学生讨论，得出相关定义： 若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内． 3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？ 学生讨论，得出结论： 方法1：按直线与平面公共点的个数分： ［探索］ 直线与平面平行、相交的画法． 教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法． 1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图 16-1．

教案 平行线的性质(二)

5.3平行线性质（二） [教学目标] 1. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力 2. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论 3. 能够综合运用平行线性质和判定解题 [教学重点与难点] 重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点:平行线性质和判定灵活运用 [教学设计] 一.复习引入 1．平行线的判定方法有哪些？ 2．平行线的性质有哪些？ 3．完成下面填空 已知：BE 是AB 的延长线，AD//BC ，AB//CD ，若 100=∠D 则EBC A C ∠∠∠,, 4．b c b a ⊥⊥,那么a ，c 的位置关系如何？ 二．新课 1．例1，已知a//c,,b a ⊥直线b 与c 垂直吗？为什么？ 例2如图是一块梯形铁片的残余部分，量得 115,100=∠=∠B A ，梯形另外两个角分别是多少度？ 2．实践 与探究 （1）学生操作：用三角尺和直尺画平行线，做成一张55?个格子的方格纸。观察并思考：做出的方格纸的一部分，线段2211,C B C B …55C B 都与两条平行线5251,C A B A 垂直吗？它们的长度相等吗？

教师给出两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度叫做两条平行线的距离。 问题：AB//CD，在CD上任取一点E，作, EF 垂足F，问EF是否垂直DC？垂线段EF AB 是平行线AB、CD的距离吗？ 结论：两条平行线的距离处处相等，而不随垂线段的位置而改变 3．命题和它的构成 下列语句，分析语句的特点 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 （2）对顶角相等 （3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式 （4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等 这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断 命题：判断一件事情的句子，叫做命题 （1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知项推出的事项（2）形式：通常写成“如果…,那么…”的形式， 三．巩固练习 1．“等式两边乘以同一个数，结果仍是等式”是命题吗？如果是，它的题设和结论分别是什么？ 2举出一些命题的例子 四．作业 课本P25 （5781112）

《平行线的性质》教学设计

10.3 《平行线的性质》教学设计 一.教学内容和内容解析 1.教学内容 沪科版《义务教育教科书..数学》（七年级下册）第10章“相交线、平行线与平移”“10.3平行线的性质” 2.内容解析 平行线是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他 图形的基础，而且在实际中也有着广泛的应用。因此，探索和掌握好它的有关知识， 对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。 教材设置了一个通过探索平行线性质的活动，在活动中，鼓励学生充分交流， 运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用平行线性质解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。为学生今后 的学习打下了基础。 因此，无论在知识技能上，还是在学生能力的培养及感情教育等方面，这节课 都起着十分重要的作用。 二.教学目标和目标解析 1. 教学目标： 经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，并能解决一些实际问题。 2.目标解析： （1）经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。 （2）在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对平行线的性质的讨论，敢于发表自己的看法，并从中获益。培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的能力。 三．数学问题诊断分析 结合七年级学生的年龄及身心特点，几何教学应该重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索和合作交流以及新意识的培养。利用七年级学生都有好胜、好强的特点，扭转学数学难、数学枯燥的这种局面。形成一种勤动手、勤动脑，勤探索和肯合作交流的良好气氛，故有效的探究其证法及性质，既是本节课的重点，又是本节课的难点。教学中要突破这个难点，应考虑学生的年龄特点及认知规律，通过设置“课堂同步操作”，鼓励全体学生动手操作、交流讨论，由浅入深，化解难点，实现知识从感性到理性的跨越。 四．数学支持条件分析

《直线与平面平行的判定》教案

直线与平面平行的判定 教学目标 1.知识目标 ⑴进一步熟悉掌握空间直线与平面的位置关系; ⑵理解并掌握直线与平面平行的判定定理、图形语言、符号语言、文字语言; ⑶灵活运用直线与平面的判定定理,把“线面平行”转化为“线线平行”。 2.能力训练 ⑴掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想; ⑵进一步培养学生的观察能力、空间想象力与类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。 3.德育渗透 ⑴培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度; ⑵建立“实践——理论——再实践”的科学研究方法。 教学重点 直线与平面平行的判定定理 教学难点 直线与平面平行的判定定理的应用 教学方法 启发式、引导式、观察分析、理论联系实际 教具 模型、尺、多媒体设备 教学过程 （一） 内容回顾 师:在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系,有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？ 直线与平面平行 直线与平面相交 直线在平面内 //a α a α ?{} a A α=I

(二)新课导入 1、如何判定直线与平面平行 师:请同学回忆,我们昨天就是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ 生:借助定义,说明直线与平面没有公共点。 师:判断直线与平面有没有公共点,需要将直线与平面延展开瞧它们有没有交点,但延展判断并不方便灵敏,那就需要我们挖掘一种新的判定方法。我们来瞧瞧生活中的线面平行能给我们什么启发呢？ 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l 与 书本所在的平面具有怎样的位置关系？ 师:您们能用自己的话概括出线面平行的判定定理不？ 生:如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行。 2、分析判定定理的三种语言 师:定理的条件细分有几点？ 生:线在平面外,线在平面内,线线平行 (师生互动共同整理出定理的图形语言、符号语言、文字语言) 图形语言 符号语言 文字语言 线线平行, 则线面平行。 (三)例题讲解 师:如果要证明线面平行,关键在哪里？ 生:在平面内找到一条直线,证明线线平行。 例1 已知:如图空间四边形ABCD 中,E 、F 分别就是AB 、AD 的中点。求证:EF ∥平面BCD 。 证明:连结BD AE ＝ EB ? EF ∥BD AF ＝FD EF ?平面BCD ?EF ∥平面BCD BD ?平面BCD 着重强调:①要证EF ∥平面BCD,关键就是在平面BCD 中找到与EF 平行的直线; ②注意证明的书写,先说明图形中增加的辅助点与线,证明步骤严谨。 例2 如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,证明BD 1∥平面AEC 。 观察 l b a αααα////a b a b a ??? ? ?? ??

北师大版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》教案

2．3平行线的性质 1．理解平行线的性质；(重点) 2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点) 一、情境导入 窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？ 二、合作探究 探究点：平行线的性质 【类型一】两直线平行，同位角相等 如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是() A．35°B．70°C．90°D．110° 解析：由∠1＝∠2，可根据“同位角相等，两直线平行”判断出a∥b，可得∠3＝∠5.再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5.∵∠3＝70°，∴∠5＝70°，∴∠4＝180°－70°＝110°.故选D. 方法总结：此题主要考查了平行线的判定方法与性质1，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【类型二】两直线平行，内错角相等 如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为() A．40°B．20°C．60°D．70° 解析：∵∠A＝∠D，∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°.故选B. 【类型三】两直线平行，同旁内角互补 如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为()

A ．95° B ．85° C ．70° D ．55° 解析：根据“对顶角相等”得到∠5＝∠1＝85°，再由“同旁内角互补，两直线平行”得到a ∥b ，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到结论．如图，∵∠5＝∠1＝85°，∴∠5＋∠2＝85°＋95°＝180°，∴a ∥b ，∴∠3＋∠4＝180°.∵∠4＝125°，∴∠3＝55°.故选D. 【类型四】 平行线性质的实际应用 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC ＋∠BCD ＝________度． 解析：过B 作BF ∥AE ，则CD ∥BF ∥AE .根据平行线的性质即可求解．过B 作BF ∥AE ，则CD ∥BF ∥AE ，∴∠BCD ＋∠1＝180°.又∵AB ⊥AE ，∴AB ⊥BF ，∴∠ABF ＝90°，∴∠ABC ＋∠BCD ＝90°＋180°＝270°.故答案为270. 【类型五】 平行线性质与判定中的探究型问题 如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 之间的两点，且∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF . (1)判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由； (2)求出∠AFD 与∠AED 之间的数量关系． 解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线． 解：(1)∠AED ＝∠BAE ＋∠CDE .理由如下：过点E 作EG ∥AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥CD ，∴∠AEG ＝∠BAE ，∠DEG ＝∠CDE .∵∠AED ＝∠AEG ＋∠DEG ，∴∠AED ＝∠BAE ＋∠CDE ； (2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ，∴∠AED ＝32 ∠AFD . 方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解． 三、板书设计 平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质 1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α; ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③ 3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ?α，n ∥α，则m ∥n ④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ?α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b . 其中真命题的个数是 . 答案 0 5. 直线a //平面M ,直线b ? /M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα?? B.b a b //，α? C.c a b a c b //////，，，αα? D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈?，，，，α且BD AC = 7. 如果直线a 平行于平面α,则 A.平面α内有且只有一直线与a 平行 B.平面α内无数条直线与a 平行 C.平面α内不存在与a 平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α?b D .α//b 或α?b 9. 下列命题正确的个数是

直线与平面平行的性质的教学设计

《直线与平面平行的性质》教学设计 一、教材分析： 直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可以推出线线平行. （2）应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力. 2、情感态度与价值观 （1）让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力. （2）培养学生良好的思维习惯，渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 三、教学重、难点： 教学重点：通过直观感知、操作确认，概括直线和平面平行的性质定理. 教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明和应用. 四、教学理念： 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用引导发现法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程。通过学生自主的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生探索新知的精神。 五、设计思路： 本节直线与平面平行的性质与实际生活联系紧密。学习时，一方面引导学生从实际生活出发，把知识与周围的事物联系起来；另一方面，教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线与平面平行的性质及其证明。 六．教学基本流程：

人教版初中数学平行线的性质教案

2.3 平行线的性质 一、教材分析： 本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（五四学制）七年级上册第2章第3节平行线的性质，它是平行线及直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是?空间与图形?的重要组成部分。 二、教学目标： 1.知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。 2.解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。 3.情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。 三、教学重、难点： 重点：平行线的性质 难点：?性质1?的探究过程 四、教学方法： ?引导发现法?与?动像探索法? 五、教具、学具：

教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器。 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思： 1．播放一组幻灯片。内容：①火车行驶在铁轨上；②游泳池；③横格纸。 2．声音：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？ 学生活动： 思考回答。①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行； 教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题。 问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？ 引出课题——平行线的性质。 （二）数形结合，探究性质 1．画图探究，归纳猜想 任意画出两条平行线（a‖b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（如图）。 问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表： 第一组

直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定 一、教学内容分析: 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 二、学生学习情况分析： 任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助 实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定 理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的 过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养 成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力， 提高学生的数学逻辑思维能力。 四、教学目标 通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。 五、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 六、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并

直线与平面平行的判定定理

§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、学习目标： （1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 二、学习重点与难点 重点：直线与平面平行的判定定理及应用。 难点：直线与平面平行的判定定理的探索及应用。 三、教学过程 (一)知识准备、新课引入 α 提问2：今天我们针对直线与平面平行的位置关系进行探究。根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）探求判定定理 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示： 当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以的感觉， 当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象是 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？ (2)如果平面外的直线a与平面α内的一条直线b平行，那么直线a与平面α平行吗？

4、归纳确认： 直线和平面平行的判定定理： 文字语言： 图形语言： 符号语言： 简单概括：（内外）线线平行 线面平行 温馨提示： 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 5、思考：你能否尝试证明一下线面平行判定定理？ （三）应用定理，巩固与提高 例1：已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 试判断EF 与平面BCD 的关系，并予以证明 变式：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 上的点， 且AE= 31AB ，AF=3 1AD 求证：EF ∥平面BCD ． A B C D E F

直线及平面平行的性质教学设计及教学反思

《直线与平面平行的性质》教学设计 南蔡村中学 一、学情分析： 1、知识上：学习过“空间直线与平面的位置关系”，“直线与平面平行的判定”等知识，为学习“直线与平面平行的性质”作了必要的知识准备。 2、思维上：研究过判定定理的推导过程，已经初步具备了一定的逻辑思维和推理论证能力。 3、能力上：积极引导学生学会观察，学会分析问题、探究问题、自主归纳总结得出规律与结论。 二、学习容分析 《点、直线、平面之间的位置关系》在必修2中安排在第一章《空间几何体》之后,将使学生在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，进一步认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。 “空间直线与平面平行的位置关系”是“空间直线平行关系”和“空间平面平行关系”的桥梁与纽带。即 “线线平行线面平行 三、教学目标 （一）知识目标： 1.理解直线与平面平行的性质定理。 2.能利用这个性质定理去解决一些简单问题。 （二）能力目标： 1.在探究直线与平面平行的性质定理的过程中让学生体会直线与平面平行中蕴含 着哪些特殊的直线与直线之间的位置关系，体会探索思路中蕴含的转化、类比、

从特殊到一般等思想方法。 2.通过与线面平行的判定定理作对比，让学生体会知识之间的相互联系以及知识点 的灵活应用。 3．结合已学知识，让学生自己总结出判定空间中直线与平面平行的方法。 四、教学重点、难点 重点：直线与平面平行的性质定理及其应用。 难点：发现线面平行性质，理解线面平行性质与判定定理的关系并把它们整合到数学知识体系中。 五、教学手段 计算机PPT，投影仪 六、课堂教学基本流程

平行线性质教案

§5.3平行线的性质（一） 教学目标1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性 质，并能运用它们作简单的推理． 重点：平行线的三个性质．难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定． 关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质． 教学过程 一、复习 1．如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？ 2．把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？ 二、新授 1．实验观察，发现平行线第一个性质 请学生画出下图1进行实验观察．设l 1∥l 2，l 3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小， 8 76 54132 图1 图2 图3 你能发现什么关系？请同学们再作出直线l 4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？ 平行线性质1(公理)：两直线平行，同位角相等． 2．演绎推理，发现平行线的其它性质 （1）已知：如图2，直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ．求证：∠1= ∠2． （2）已知：如图3，直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ．求证：∠1+∠2=180°． 在此基础上指出：“平行线的性质2 (定理)”和“平行线的性质3 (定理)”． 3．平行线判定与性质的区别与联系（将判定与性质各三条全部用多媒体显示．） （1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． （2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的． 三、例题 例2如图4所示，AB ∥CD ，AC ∥BD ．找出图中相等的角与互补的角． 此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截． F E D C B A A B C D 图4 图5

直线与平面平行教学案例分析

直线与平面平行案例分析 一、教学内容分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 二、学生学习情况分析 任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。 五、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 六、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

七年级数学平行线的性质第一课时教案

平行线的性质 (第1课时) 教学目标： 知识目标： 1、理解并掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理。 2、经历探索直线平行的性质的过程,并能灵活运用它们进行简单的推理和计算。 数学思考：经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，掌握平行线的性质，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力。 情感态度：通过对平行线的性质的探究，是学生认识到数学与现实生活的密切联系，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识。 教学重点：探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 教学难点：能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用. 教学过程： 一、复习引入 思考：判定两条直线平行的三种方法是什么？ 在这一节课里:我们探究：如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达? 二、探究新知 1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的4个角 c b a 4 3 2 1 2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.

3.学生根据测量所得数据作出猜想. 图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 分析后,让学生写出猜想. 教师板书： (1):两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等. (2):两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等. (3):两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补. 学生验证猜测. 学生活动: 设l1∥l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？请同学们再作出直线l4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？ 归纳： 平行线的性质: 性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等. 性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等. 性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补.

直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定 [新知初探] 1．直线与平面平行的判定 [点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a?α； (2)直线b在平面α内，即b?α； (3)两直线a，b平行，即a∥b. 2．平面与平面平行的判定 [点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的． (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α() (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行() (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()

答案：(1)× (2)× (3)× 2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ?α，a ∥b B ．b ?α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c C ．b ?α，A ，B ∈a ，C ， D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ?α，b ?α，a ∥b 解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确． 3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．平行或相交 D ．以上判断都不对 解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交． 直线与平面平行的判定 [典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G . [证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ?平面AD 1G ，AD 1?平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G . 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平 面内 找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等． 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE . 证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . ∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，