2018年考研数学三真题与解析

2018年考研数学三真题及答案

一、 选择题

1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()

().sin A f x x x =

(

).B f x x =().?C f x cos x =

(

).D f x =

答案:() D 解析:方法一: ()()()

00sin 0lim

lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x

x A →→→-===可导 ()()(

)0000lim

lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导

()()()

2

0001cos 102lim

lim lim 0,x x x x x f x f x x C x

→→→-

--===可导 ()()(

)

0001

02lim

lim x x x x f f x x

D x →→→-

-==不存在,不可导

应选()D . 方法二:

因为()(1)0f f x ==

()(

)0001

02lim lim

x x x x f x f x x

→→→-

-==不存在

()f x ∴在0x =处不可导,选()D

对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()(

)3

2

:~?B f x x x

=在 0x =处可导

对()():x x C f cos =在 0x =处可导.

2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()1

00,f x dx =?则

()()1'0,02A f x f ??

<<

???

当时 ()()1''0,02B f x f ??

<< ???当时 ()()1'0,02C f x f ??

><

???

当时 ()()1''0,02D f x f ??

>< ???

当时 答案()D 【解析】 将函数

()f x 在

1

2

处展开可得 ()()()()()2

2

2

1

1

10

00''1111',

22222''1111111''',

22222222f f x f f x x f f x dx f

f x x dx f f x dx ξξξ?????

???=+-+- ? ??? ??????

????

??????

??????

?=+-+-=+-?? ? ??? ?

? ??????

??????????

?

?

??故当''()0f x >时,()1

011.0.22f x dx f f ??

??>< ? ???

???从而有

选()D 。 3.设(

)

(2

2

2

222

22

11,,11x x x

M dx N dx K dx x e π

π

π

π

ππ---++===++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >>

解析:()

2

222222

22

1211,11x x M dx dx dx x x π

π

π

π

ππ---+??

==+= ?++????? 221x x N dx e

π

π

-+=?,因为1x

e x >+所以11x x e +<

(

22

1,1 1.

K dx π

π-

=+>?

即111x

x

e +<<所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C .

4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则()

A ()0'0C Q =

B ()()00'

C Q C Q = C .()()000'C Q Q C Q =

D .()()

000'Q C Q C Q =

答案 D

【解析】平均成本()()()()()2',C Q dC Q C Q Q C Q

C Q Q

dQ

Q

-==,由于

()

C Q 在0Q Q =处取最小值,可知()00'0.Q C Q =故选(D).

5.下列矩阵中,与矩阵110011001??

?

? ???相似的为 111.011001A -?? ? ? ??? 101.011001B -??

? ? ??? 111.010001C -?? ? ? ??? 101.010001D -?? ? ? ???

解析:令110010001P -?? ?= ? ???则1

110010001P -??

?= ? ???

111011111001

0011010001001001120110110011010011001001001P AP ---??????

?????= ?????

??????

?????

-??????

?????= ?????

???????????

Q

∴选项为A

6.设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()XY 表示分块矩阵,则

()().?Ar A AB r A = ()().?B r ABA r A =

()()(){}.? ,C r AB max r A r B = ()().? T T D r AB r A B =

答案:()A

解析:易知选项C 错 对于选项B 举反例:取11001112A B ????

== ? ?????

1 则()001100,,331133BA A BA ????

==

? ?????

7. 设随机变量X 的概率密度()f x 满足

()()11+=-f x f x ，且()2

00.6=?f x dx ，

则{}0______<=P X ．

(A)

0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6． 解 由()()11+=-f x f x 知，概率密度()f x 关于1=x 对称，故

{}{}02<=>P X P X ，

且{}{}{}00221<+≤≤+>=P X P X P X ，由于{}()2

0020.6≤≤==?P X f x dx ，

所以{}200.4<=P X ，即{}00.2<=P X ，故选项A 正确．

8. 设()12,,,n X X X K 为取自于总体()2

,X N μσ:的简单随机

样本，令

∑==n

i i

X n X 1

1

，1S =

2

S =

，

则下列选项正确的是______．

(A) )()X t n S

μ-:；

(B) )()1X t n S

μ--:；

(C)

)()

*

X t n S

μ-:；

(D)

)()*

1X t n S μ--:．

解

由于

()~0,1

N ，)1(~)()1(22

1

2

2

2

--=

-∑=n X X

S

n n

i i

χσσ

，且

与

2

2

(1)n S σ

-相互独立，由t 分布的定义，得

)~(1)

X t n S

μ-=-，

故选项B 正确． 二、 填空题

9.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程为__。 答案43y x =-

【解析】函数()f x 的定义域为()23

224

0,,'2,''2,'''y x y y x

x x +∞=+=-

=。 令''=0y ,解得x=1,而()'''10,y ≠故点(1,1)为曲线唯一的拐点。 曲线在该点处切线的斜率()'14,y =故切线方程为43y x =-。

10.__.x e =?

arcsin ,=tan x x x e C t t C

e C

====??答案【解析】令t=e 则

原式

11.差分方程25?-=x x y y 的通解______. 【答案】

125

x x y c +=?-

()()2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y c y c c c c y c *+????-?=?-?-?-?=?-?+?-?-=-==?==?-【解析】由于，故原差分方程可化为即。

设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c 为任意常数。

12.函数()x ?满足()()()()()20,x x x x x x x x ???ο+?-=?+??→且

()02?=,则()1__.?=

答案 ()12.e ?=

【解析】()()()()()()2,,'=2x x x x x x x x x ??ο???=?+?由可知可微且。 这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为()2

;x x ce ?=再由

()02

?=,可得2c =。

故

()()2

2,12x x e e ??==。

13.设A 为3阶矩阵,123,,ααα为线性无关的向量组,若

112322332322,A A A αααααααααα=++=+=-+，,可得 ()()123123200,,,,111121A αααααα??

??=-??????

。

由于123,,ααα线性无关,故200111121A ??

??

-??????

:=B ，从而有相同的特征值。

因()()220011

1

223,1

2

1

E B

λλλλλλλ--=--=--+---

故A 的实特征值为2。

14.设随机事件,,A B C 相互独立，且

1

()()()2

===

P A P B P C ， 则()______?=P AC A B ．

解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得

()()

()()()()()()()

()()()()11122.

111132222

??????=

?=+-?=

+-??

==+-?P AC A B P AC A B P A B P AC P A P B P AB P A P C P A P B P A P B 三、 解答题

15.已知实数,a b ,满足()1

lim 2,x x ax b e x →+∞??+-=????

求a,b 。 答案 1,1a b ==

【解析】()011

,lim

2,t t a bt e t x t

+→+-=令 =可得 ()0000111lim lim lim lim t t t t

t t t t a bt e ae ae be b

t

t

t

+

+

++

→→→→+---=+=+其中

可知0011

lim 2,lim ,1t t t t ae ae b a t t

++→→--=-=而要使得存在必须有。 01

,lim =1=2, 1.

,1,1t t ae b b t

a b +→--===此时有故综上。

16.设平面区域D 由曲线

y =

y =及y 轴围成。

计算二重积分2D x dy ??。

答案

)2.32

π-

【解析】

)

2

2

I x dy x dx ==

(

)30

22

24

0,

,sin ,cos sin 2288432

x

x dx x x t t tdt td t ππ=-===?=其中对于令可化为

而)3

40

112416x dx x π==-=-，综上。 17.将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

【解析】设分成的三段分别为,,,x y z 则有2x y z ++=及x,y,z>0，圆的

面积

为

222222

123222

1111=,=+416416112,+416S x S y S x y x y z x y πππ=

++=，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S ，则问题转化为在条件x,y,z>0下,求函数

的最小值。令

()222

11+2,416x y z x y z λπ+++-L=

=0

2

=0

8

,

=20

,

9

L x

x x

L y

y

y

L

z

z x

L

x y z

λ

π

λ

λ

λ

?

?

+=?

??

=

?

?

??

?+=

?

??

??

=

??

?

??

+=

??

?=

??

?

???

++-=

??

?

+

则有解得唯一条件极值点为

为最小值

18.已知()()

2

1

cos211,.

1

n

n n

n

x a x x a

x

∞

=

-=-<<

+

∑求

答案()()

22

21

12222,0,1,2,;

n

n

a n n n

+

+

=-+=+=L

()

()

()()

()

()

()

22

21

2

1212

12121,0,1,2,

2!2!

n n

n n

n

n

a n n n

n n

+

--

=+-+=-+=L。

【解析】

()

1

-

2

1+x

将cos2x与展成幂级数可得

()

()

()

()()

()

()

()()()

22

2

00

1

2

00

212

cos21,,

2!2!

11

'111,11

1

1

n n n

n n

n n

n n

n n

n n

x x

x x x

n n

x n x x

x

x

∞∞

==

∞∞

+

==

-

=-=-∞<<+∞

??

??

-==-=-+-<<

???

+

??

+??

∑∑

∑∑

则()()

22

21

12222,0,1,2,;

n

n

a n n n

+

+

=-+=+=L

()

()

()()

()

()

()

22

21

2

1212

12121,0,1,2,

2!2!

n n

n n

n

n

a n n n

n n

+

--

=+-+=-+=L。

19.设数列{}n X满足:()

1

1

0,11,2,.

n n

x x

n

x x e e n

+

>=-=L证明{}n X收敛,

并求lim.n

n

x

→+∞

证明:①证明0

n

x>

,易证

②再证{}n X 单减,由

()1

01,0,0

n n n x x x n n n e e e e

e x x x ξ

ξ+--===∈-拉格朗日中值定理 {}1,lim n n

n n x x x x x ξ+→+∞

∴=<∴单减有下界由此得存在

③设lim ,1

A A n n x A Ae e →+∞

==-则

0A ?=

20.设实二次型()()()()2

2

2

1231232313,,,f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a

是参数.

(1)求()123,,0f x x x =的解; (2)求()123,,f x x x 的规范形. 解析:(1)()123,,0f x x x =而123231

300,0

x x x x x x ax -+=??

+=??+=?

由

11110

201101110002A a a -???? ? ?=→ ? ?

? ?-????

得 当2a ≠时,()3,r A =只有零解1230.x x x === 当2a =时,()2,r A =方程有无穷多解, 通解为

12321,1x x x k k x -???? ? ?==- ? ? ? ?????

为任意常数.

(2)由(1)知,当2a ≠时A 可逆,

令112322333y x x x y x x y x =-+??

=+??=?

,即Y AX =,则规范形为222123,f y y y =++ 当2a =时,()2,r A =

令1123

22333y x x x y x x y x =-+??=+??=?

,则()2

22221212122132,22f y y y y y y y ??

=+++=++ ???

令1

122

23312z y y z z y ??=+????

??=??

?=???

,则得规范形为22

12.f z z = 21.已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ??

?

= ? ?-??

可经初等变换化为矩阵

12011111a B ??

?= ? ?-??

(1)求a ;

(2)求满足AP B =的可逆矩阵P . 解析:(1)A Q 经过初等列变换化为B

()()

121212130010127033000r A r B a a a A a a a a ∴=?????? ? ? ?=→-→- ? ? ?

? ? ?--??????

Q

()()22

121

212011011011111013002r A r B a a a B a a ∴=∴=?????? ? ? ?=→→ ? ? ?

? ? ?-+-??????由得a=2.

(2)令()()1123123,,,,,P X X X B b b b ==

()()()()1123123123,,,,,,=1231

22122122

122130011012

111272111036

3331221221063

440121110121

110000000000

00i i AP A X X X AX AX AX b b b AX b i A B ===∴=????

?

?

=→----→ ? ? ? ?------?

???????

?

?----→---- ? ? ? ??

???

M M M

M M M M M M M M M M ，，

()

()

111111112222222233336363b =2121,106464b =2121,10646b =2110k AX X k k k k k AX X k k k k AX X k --+??????

? ? ?

∴=+-=- ? ? ? ? ? ?

??????

--+?????? ? ? ?

=+-=- ? ? ? ? ? ?

??????

--???? ? ?=+-= ? ? ? ?????的通解为为任意常数的通解为为任意常数的通解为()3333421,k k k k +?? ?

- ? ?

??

为任意常数

12311231231231231123321

2

3

636464=212121(,,)

636464

=212121=k k k P k k k k k k k k k k k k P k k k k k k k k -+-+-+?? ?∴--- ? ???-+-+-+----Q ，，其中为任意常数，

，

当

23

k k ≠时,

1

P 可逆,取可逆矩阵

123123123123636464=212121(,)k k k P k k k k k k k k k -+-+-+??

?

---≠ ? ???

，，为任意常数，使得AP=B.

22. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为

{}{}

1112

P X P X ===-=

， Y

服从参数为λ的泊松分布()P λ．令Z

XY

=，求（1）(),Cov X Z ；

（2）Z 的概率分布．

解 （1）由题意，知

()

()1111022E X =?

+-?=，()()

2221

111122

E X =?+-?=， 则()()()221D X E X E X =-=，且()E Y λ=．于是，由协方差计算

公式，得

()

()

()()()()()()()

()()

22

2

,,.

Cov X Z Cov X X Y

E X Y E X E X Y

E X E Y E X E Y E Y D X ==-?=?-?=?

（2）随机变量Z

XY

=的取值为0,1,2,±±K ，则

{}

{}

{

}

{}{}

{}{

}0001,01,0

1010

11,20!20!P Z P X Y P X Y P X

P Y P X P Y e e e λλ

λλλ---===-=+====-?=+=?==?+?=

{

}

{

}

{}{

}1,11,2!

k P Z k P X Y k

P X

P Y k

e k λλ-======?==?

同理，

{}

{

}

{

}{

}1,11,2!

k P Z k P X Y k

P X P Y k e k λλ-=-==-===-?==?

其中，1,2,k

=K

．

23 .总体X 的概率密度为

()

1,2x

f x e

σ

σσ

-=，（x -∞<<+∞）

其中()0,σ∈∞为未知参数， ()12,,,n X X X K 为取自于总体X 的简

单随机样本．记σ的最大似然估计量为μσ，求（1）μσ；（2）

μ()μ(),E D σ

σ．

解 （1）构造似然函数

()

()

111

,11,

22n

i

i

i n

i i x x n

n n i L f x e e σσ

σσ

σσ==--==∑==∏∏

方程两边取自然对数，得

()()

1

ln ln 2n

i

i x

L n σσσ

==--

∑，

求上述方程的驻点，得

()1

2

ln 0n

i

i x

d L n d σσ

σσ==-+=∑，

即最大似然估计量为μ1

n

i

i X

n

σ

==∑．

（2）由期望的公式，得

()()

0,12122x

x

E X

x f x dx

x e x e dx σ

σ

σσ

σσ

+∞

-∞-+∞

-∞-+∞=?=?=?=?

??，

同理，

()()

2

2222

02

20

,1212212,

x

x

x

E X E X x f x dx

x e dx x e dx

x e dx σσσσσ

σ

σσ

+∞-∞-+∞-∞-+∞-+∞??==? ???

=?=?=?=????

由方差的公式，得()

()

22

2D X E X E X σ????=-= ??

???，则 μ()

()1n

i

i X E E E X n σ

σ=?? ?

?=== ? ??

?

∑，

μ()

()2

11

n

i

i X D D D X n n n

σσ

=?? ? ?===

? ??

?

∑．