2019年全国高中数学联赛模拟试题

2019年全国高中数学联赛模拟试题01

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.设127()3

x f x x +=-+，11()(())n n f x f f x +=，2,3x x ≠-≠-，则2019(2020)f =______.2.设(2,4)A =-，2{|40,}R B x x ax x =++=?．若A B 的非空子集个数为1，则实数a 的取值范围是．

3.设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥??≥??+++≤?

，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.

4.二元函数22()cos 47cos 47cos 4cos 48sin sin 6f x y x y x y x y =+++-+，

的最大值为．

5.已知B 是双曲线22:2410C x y -+=上靠近点(0,)(1)A m m >的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点，则m 的取值范围是．

6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为3

4，第偶数局，乙赢的概率为34

.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.

7.设五边形ABCDE 满足120A B C D ∠=∠=∠=∠= ，则AC BD AE ED ??的最小值为．8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为075.这样的截面共可作出个．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）试求实数a 的取值范围，使得2是不等式22log (23)21log x x a a

+->+的最小整数解.10.（本小题满分20分）数列{}1n n a ≥定义为11a =，24a =，)1112n n n a a a n -+=+≥.⑴求证：数列{}1n n a ≥为整数列；

⑵求证：121n n a a ++()1n ≥是完全平方数.

11.（本小题满分20分）已知S ，P (非原点)是抛物线y =x 2上不同的两点,点P 处的切线分别交x ，y 轴于Q ，R .

(1)若PR PQ λ=,求λ的值;

(2)若PR SP ⊥,求ΔPSR 面积的最小值.

2019全国高中数学联赛模拟试题02

一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2019a b +的取值范围是__________．

2.函数()sin cos (,)Z f x a x b x a b =+?满足(){}()(){}00x f x x f f x ===，则a 的最大值为．

3.设复数1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-，（,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=．

4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为．

5.在ABC ?中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ?所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=?+?+? 的最小值是．

6.正数列{}n a 满足:

14n n n S a =(n S 为前n 项之和),则

2n n a =_____________________．7.已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2019 克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．

8.6名男生和x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4

名男生站在一起的概率为p ，若1100

p ≤，则x 的最小值为．

二、解答题（本大题共3小题，共56分）

9.（本小题满分16分）已知正数数列}{n a 满足：

2

1211133n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++=+*n N ∈）

，且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．

10.（本小题满分20分）二次函数()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且

150DAC ∠= ，则0x >时，求()f x x

μ=的最小值．11.（本小题满分20分）如下图，椭圆)1,0(),0,2(,14

:22--=+ΓB A y x 是椭圆Γ上的两点，直线)0,0)(,(.1:,2:000021>>-=-=y x y x P y l x l 是Γ上的一个动点，3l 是过点P 且与Γ相切的直线，E D C ,,分别是直线1l 与2l ，2l 与3l ，1l 与3l 的交点，求证：三条直线BE AD ,和CP 共点。

2019年全国高中数学联赛模拟试题03

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B = ___________.

2.若函数()23log 2a f x ax x ??=-+ ???

在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.3.已知02

πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n = .那么，100a =_________.

5.已知点(1,2,5)P 是空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C 三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为．

6.在ABC ?中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31cos()32A B -=

，则ABC ?的面积为．

7.已知过两抛物线21:1(1)C x y +=-，22:(1)41C y x a -=-++的交点的各自的切线互相垂直，则实数a 的值为．

8.若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是集合{}1,2,,2019M = 的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，则n 的最大值为．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n n

a a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．

（2）当1n ≥时，212|331n

n n r a r +=-，这里23r =-．

10.（本小题满分20分）设椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明：PF QF ⊥．

11.（本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．

2019年全国高中数学联赛模拟试题04

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是．

2.函数tan(2017)tan(2018)tan(2019)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为．

3.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈,若12||1PP =,则20192020||P P =．

4.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是．

5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是．

6.一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内

切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 52

BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为．

7.设AB 是抛物线px y 22=的一条焦点弦，且AB 与x 轴不垂直，P 是y 轴上异于O 的一点满足O ，P ，A ，B 四点共圆，点A ，B ，P 的纵坐标分别为021,,y y y ，则0

21y y y +=．

8.用s σ（）

表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a = 是正整数集，且1211a a a << ，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=，则满足上述要求的10a 的最小值为

．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）已知,,x y z 是正实数,求证:0222z y x z y x x y y z z x ---++≥+++10.（本小题满分20分）设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221

112212121n n n k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑11.（本小题满分20分）已知直线x y =与椭圆C ：111

162

2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．

（1）用α表示四边形MANB 的面积；

（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．

2019全国高中数学联赛模拟试题05

一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数2()24f x x x x =--.

2.已知,,a b c 成等比数列，log ,log ,log c b a a c b 成等差数列，则该等差数列的公差为.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.

4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =.

5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于

.6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个非负实根构成公差为1的等差数列，则3a b c ++的最大值是.

7.设O 是ABC ?的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++ ，

0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.

二、解答题（本大题共3小题，共56分）

9．（本小题满分16分）已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．

10．（本小题满分20分）已知函数()()322,32f x x ax bx c g x x ax b =+++=++及△ABC 满足下列条件：

（1）,,A B C ∠∠∠成等差数列；

（2）tan B 为方程()0f x =的一个根，

（3）tan ,tan A C 为方程()0g x =的两个不相等的实根；

（4）(tan )(tan )0

f A f C +=求()(),f x

g x 及,,A B C ∠∠∠的度数。

11．（本小题满分20分）过抛物线24y x =的焦点F 做直线l 与抛物线交于,A B 。

（1）求证：△AOB 不是直角三角形；

（2）当l 斜率为12

时，抛物线上是否存在点C 使得△ABC 为直角三角形，若存在，求出所有的点C ；若不存在，说明理由。

2019年全国高中数学联赛模拟试题06

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.不等式()23310201851x x x x x ++>++的解集是．

2.适当排列三个正实数21081207,2,262a a a a +++-使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列，则a 的值等于．

3.已知空间四边形ABCD 的对角线10,6,,AC cm BD cm M N ==分别是,AB CD 的中点，若异面直线,AC BD 所成角为60 ，则MN =

．4.在△ABC 中，设

sin sin sin a b B a B A +=-且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，则a c b +=．

5.设P 为圆221x y +=上一定点，点,Q R 在该圆的内部或圆周上，且△PQR 是3的正三角形，则22OQ OR +的最小值是．

6.已知[],,0,1a b c ∈，则111a b c bc ca ab +++++的取值范围是．

7.过椭圆22

1259

x y +=内一点(3,2)M 作直线12,l l 分别与椭圆交于点,,,A B C D ，过,A B 分别作椭圆的切线交于P ，

过,C D 分别作椭圆的切线交于Q ，则直线PQ 的方程是．

8.边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为O ，对,,,,,,A B C D E F O 这7个点中的任意两点，以其中一点为起点，另一点为终点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的绝对值的数学期望是．

x

y

P A

O

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）已知数列{}n S 的通项公式为22

n n n S +=，数列{}n M 满足：11t M S =，2213M M M =?且当2n ≥时n M ＝n t S －1n t S -，其中

()**11,2,n t t N n n N =∈≥∈，证明：一定存在数列{}n t 使得数列{}n M 中的每个数均为完全平方数.

10.（本小题满分20分）非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a .求

222222

()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.11.（本小题满分20分）如图，已知抛物线C ：x =y 42，过点A （1，2）作抛物线C 的弦AP ，AQ .

（1）若AP ⊥AQ ,证明：直线QP 过定点，并求出定点坐标；

（2）假设直线PQ 过点T (5,-2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△QAP 的个数，若不存在请说明理由．

2019年全国高中数学联赛模拟试题07

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6

πβα=-，则x 的值是．2.已知集合{(,)|1M a b a =≤-，且}b m ≤，其中m R ∈．若任意(,)a b M ∈，均有230b a b a ?--≥，则实数m 的最大值为．

3.复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于．

4.已知331(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→n n n b a lim ．

5.{}min ,a b 表示a 、b 中较小的数，不等式41min ,48min ,x x x x ????+≥?????????

的解集是．

6.在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC =?<45θ.已知E 是BD

上一点，满足CE ⊥BD 且BE =AD =1.点D 到平面ABC 的距离为13

4，则θcos 的值为．

7.设,A B 为抛物线2

2(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为．

8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前n 个数字之和被3整除的概率为n P =．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）在矩形ABCD 中，,(0,0)AB a AD b a b ==>>，E 为BC

边的中点，设P 、Q 分别BC 、CD 是上的动点，且满足DQ CP QC PE

=，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 轨迹方程，并指出它的形状。

10.（本小题满分20分）设数列{}n a 定义为

.

1,132,1211≥++==+n a a a a n n n （1）证明：当1>n 时，;

411n n n a a a =+-+（2）证明：21311121+<+++n a a a 。11.（本小题满分20分）已知,,a b c R ∈，对任意实数x 均有22|||32|ax bx c x x ++≥-+，求使2|4|b ac -取最小值的所有实数对(),,a b c .

2019年全国高中数学联赛模拟试题08

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.已知实数,x y 满足227342x xy y ++≤，则x y +的最大值为．

2.从集合{}10,9,,1,0,1,,9,10--- 中任选4个不同元素，考虑这4个元素的两数和、三数和、四数和，这11个和中恰有两个和为0的概率为．

3.设,a b 是两个给定的正数，且a b ≤，如果对任意的[][]0,,0,x a y b ∈∈，实数ξ都满足()2222a b x y ab xy ξ+--≥-，则称ξ对于,a b 来说是“好数”.则满足条件的最大好数是．（用,a b 表示）

4.球面上有,,,A B C D 四点，,,AB AC AD 两两垂直，且=12AB AC AD ++，则球面面积的最小值为．

5.设100

．6.记

)0(,33()(),(22≠++-=y y x y x y x F ，则),(y x F 的最小值是．

7.已知,,x y z 满足3312121212272712

x y y z z x -+-=--=--=，则x y z ++=

．{}212-1-2n =18.=2,=8,=4-(3),lim cot =____

n n n n n i i a a a a a a n arc a →∞≥∑数列满足且求极限

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）已知线段AB 为过抛物线24y x =焦点的弦，O 为原点，求△ABO 的三边边长的平方和的取值范围．

10.（本小题满分20分）设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=,111111p a b c

=

+++++,试求p 的最大值max p 和最小值min p ．

11.（本小题满分20分）若递增正整数数列{}n a 满足01==47,a a 且

222-1+1-1+1++=4(1)n n n n n n a a a a a a n -≥（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2+2+2+2+=+,+n n

b b n a b

c a c a b ???? ? ?????其中,a c 是正整数，b 是无理数，求证：122+++<2222n n b b b ．

2019年全国高中数学联赛模拟试题09

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.已知函数()()23x x f x a a a =-+()01a a >≠且在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是．

2.在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是矩形，且4,3,5AB BC PA PB PC PD ======,AC 与BD 交于点O ，M 为边PC 的中点，则OM 与平面PBC 所成角为．

3.将{}1,2,,9M = 中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和S 等于．

4.已知曲线C 上任意一点到点()0,1A 与直线4x =的距离之和等于5，对于给定的点(),0B b ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，则b 的取值范围是．

5.设方程3310x x --=的三个实根是()123123,,x x x x x x <<．则()()()323231x x x x x x -+--=．

6.已知正实数,,x y z 满足3xyz xy yz zx x y z ++++++=，则()u xyz x y z =++的最大值为．

7.设方程()10101310x x +-=的个复根分别为1210,,,x x x ，则

11221010111x x x x x x +++= ．

8.将编号为1,2,,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为T ，则T 取得最小值的放法的概率是．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）

已知数列{}n a 满足12a =，()()()()2*213512432n

k k a n n n N k k k n n =+=∈++++∑．证明：3311163n

n

k k a n a n =+<<∑10.（本小题满分20分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于点,A B ．若113cos ,355F A BF θ== ，且2380845

ABF S =△.⑴求椭圆C 的方程；

⑵若,P Q 是椭圆C 的有准线上的两个动点，且10PQ =，求1F PQ △的内切圆圆心M 的轨迹方程.

11.（本小题满分20分）已知[],,1,2a b c ∈-，求证：4abc ab bc ca +≥++.

2019年全国高中数学联赛模拟试题10

一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x

=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是．

2.在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△．

3.从1,2,3,,100 中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种

4.已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z y x ππ?∈=+??，且12z =，若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是．

5.

函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为．

6.设()

()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+

>-，则数列{}n x 的通项公式为．7.如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为．

8.设[]122010,,,2,2a a a ∈- 且1220100a a a +++= ，则333122010a a a +++ 的最大值为．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．

10.（本小题满分20分）给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f f f =-=，求出所有满足条件的函数()f x ．

11.（本小题满分20分）给定椭圆22221135

x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；

（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．