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(理数)导数及其应用(2)教师版

(理数)导数及其应用(2)教师版
(理数)导数及其应用(2)教师版

1.当函数y=x·2x取极小值时,x=()

A.

1

ln2B.-

1

ln2C.-ln2 D.ln2

答案 B

解析由y=x·2x,得y′=2x+x·2x·ln2.

令y′=0,得2x(1+x·ln2)=0.∵2x>0,∴x=-

1

ln2.

2.函数f(x)=(x-1)(x-2)2在[0,3]上的最小值为()

A.-8 B.-4 C.0 D.

4

27

答案 B

解析f′(x)=(x-2)2+2(x-1)(x-2)=(x-2)(3x-4).

令f′(x)=0?x1=

4

3,x2=2,结合单调性,只要比较f(0)与f(2)即可.f(0)=-4,f(2)=0.

故f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)=-4.故选B.

3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是()

A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对

答案 A

解析f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),

∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减.∴x=0为极大值点,也为最大值点.

∴f(0)=m=3,∴m=3.∴f(-2)=-37,f(2)=-5.∴最小值是-37,选A.

4.函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为()

A.(0,

1

a) B.(

1

a,+∞) C.(-∞,

1

a) D.(-∞,a)

答案 A

解析由f′(x)=

1

x-a>0,得0

1

a.

∴f(x)的单调递增区间为(0,

1

a).

5.如果函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,那么函数f(x)的图像最有可能的是()

答案 A

6.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,

则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

答案 A

解析令F(x)=

f(x)

x,因为f(x)为奇函数,所以F(x)为偶函数,由于F′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2,当x>0

时,xf′(x)-f(x)<0,所以F(x)=

f(x)

x在(0,+∞)上单调递减,根据对称性,F(x)=

f(x)

x在(-∞,0)上单

调递增,又f(-1)=0,f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故

选A.

7.(2016·河北唐山一模)直线y=a分别与曲线y=2(x+1),y=x+lnx交于点A,B,则|AB|的最小值为()

A.3 B.2 C.

32

4 D.

3

2

答案 D

解析令2(x+1)=a,解得x=

a

2-1.设方程x+lnx=a的根为t,即t+lnt=a,则|AB|=|t-

a

2+1|=|t-

t+lnt

2+

1|=|

t

2-

lnt

2+1|.设g(t)=

t

2-

lnt

2+1(t>0),则g′(t)=

1

2-

1

2t=

t-1

2t,令g′(t)=0,得t=1,当t∈(0,1)时,g′(t)<0;

当t ∈(1,+∞)时,g ′(t)>0,所以g(t)min =g(1)=32,所以|AB|≥32,所以|AB|的最小值为3

2.

8. (2016·昌平一模)若函数f(x)=x 2+a

x +1在x =1处取得极值,则a =________.

答案 3

解析 f ′(x)=x 2+2x -a

(x +1)2,由f(x)在x =1处取得极值知f ′(1)=0,∴a =3.

9.已知函数f(x)=kx 3+3(k -1)x 2-k 2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4).

(1)实数k 的值为________;(2)若在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)13 (2)0

3

解析 (1)f ′(x)=3kx 2+6(k -1)x ,由题意知f ′(4)=0,解得k =1

3

.

(2)由f ′(x)=3kx 2+6(k -1)x ≤0并结合导函数的图像可知,必有-2(k -1)k ≥4,解得k ≤13.又k>0,故0

3.

10 .(2015·重庆)已知函数f(x)=ax 3+x 2(a ∈R )在x =-4

3处取得极值.

(1)确定a 的值; (2)若g(x)=f(x)e x ,讨论g(x)的单调性.

答案 (1)a =1

2 (2)g(x)在(-∞,-4]和[-1,0]上为减函数,在[-4,-1]和[0,+∞)上为增函数

解析 (1)对f(x)求导得f ′(x)=3ax 2+2x , 因为f(x)在x =-43处取得极值,所以f ′(-4

3)=0,

即3a ×169+2×(-43)=16a 3-83=0,解得a =1

2.

(2)由(1)得g(x)=(1

2

x 3+x 2)e x .

g ′(x)=(12x 3+52x 2+2x)e x =1

2x(x +1)(x +4)e x .

令g ′(x)=0,解得x =0,x =-1或x =-4. 当x<-4时,g ′(x)<0,故g(x)为减函数;

当-40,故g(x)为增函数; 当-10时,g ′(x)>0,故g(x)为增函数.

综上,知g(x)在(-∞,-4]和[-1,0]上为减函数,在[-4,-1]和[0,+∞)上为增函数.

11. 已知函数f(x)=x -2

x

+1-alnx ,a>0.讨论f(x)的单调性.

答案 当022时,单调递减区间为(a -a 2-82,a +a 2-8

2),

单调递增区间为(0,a -a 2-82),(a +a 2-8

2

,+∞)

解析 由题意知,f(x)的定义域是(0,+∞),导函数f ′(x)=1+2x 2-a x =x 2

-ax +2

x 2

.

设g(x)=x 2-ax +2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a 2-8. ①当Δ<0,即00都有f ′(x)>0. 此时f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.

②当Δ=0,即a =22时,仅对x =2有f ′(x)=0,对其余的x>0都有f ′(x)>0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.

③当Δ>0,即a>22时,方程g(x)=0有两个不同的实根x 1=a -a 2-82,x 2=a +a 2-8

2,0

所以f(x),f ′(x)随x 的变化情况如下表:

此时)上单调

递增.

12.(2015·四川)已知函数f(x)=-2xlnx +x 2-2ax +a 2,其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 解析 (1)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), g(x)=f ′(x)=2(x -1-lnx -a), 所以g ′(x)=2-2x =2(x -1)

x

.

当x ∈(0,1)时,g ′(x)<0,g(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g ′(x)>0,g(x)单调递增. (2)由f ′(x)=2(x -1-lnx -a)=0,解得a =x -1-lnx.

令φ(x)=-2xlnx +x 2-2x(x -1-lnx)+(x -1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx , 则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0. 于是存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)=0.

令a 0=x 0-1-lnx 0=u(x 0),其中u(x)=x -1-lnx(x ≥1). 由u ′(x)=1-1

x ≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增,

故0=u(1)f(x 0)=0; 当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x)>0,从而f(x)>f(x 0)=0; 又当x ∈(0,1]时,f(x)=(x -a 0)2-2xlnx>0. 故x ∈(0,+∞)时,f(x)≥0.

综上所述,存在a ∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.(2010·海南高考·理科T3)曲线y x 在点1,1 处的切线方程为() x 2 (A)y2x1(B)y2x1(C)y2x 3(D)y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2,所以,在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ,所以,切线方程为 y1 2(x 1) ,即 y2x1 ,故选A. ky x1 (12) 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元) 与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y 1x3 81x 234,则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C,y' x2 81,令y0得x 9或x 9(舍去),当x 9 时y' 0;

当x9时y'0,故当x 9时函数有极大值,也是最大值,故选C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为() (A)1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标,再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ,(1,1),故 所求封闭图形的面积为1(x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P在曲线y= x 上,为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角,则的取值范围是() (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域,即tan的范围,再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.(2010·湖南高考理科·T4) 4 1 dx等于()2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

教师用导数及其应用1

第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛,是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具,也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时,导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容,体现了高等数学思想及方法。 1.重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义,对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发,如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具,应深刻理解并灵活运用。 2.深刻理解导数概念。概念是根本,是所有性质的基础,有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时,要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3.强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质,如函数的单调性、极值与最值等,提供了一般性的方法。 4.重视“数形结合”的渗透,强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中,在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时,应从数值、图象等多个方面,尤其是几何直观加以理解,增强数形结合的思维意识。 5.加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具,在解决科技、经济、生产和生活中的问题,尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6.(理科用)理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题(主要是几何和物理问题)

的有力工具,如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等,逐步体验微积分基本定理。 第1课 导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等); 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式; 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.(理科) 【基础练习】 1.设函数f (x )在x =x 0处可导,则0lim →h h x f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。 2.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873 741234-+-= ,那么速度为零的时刻是 1,2,4秒末。 3.已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 4.已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 3 2π±。 5.(1)已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。 (2)(理科)设函数5()ln(23)f x x =-,则f ′1 ()3 =15-。 6.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P (1,2),且在点P 处有公切线,试求a,b,c 值。 解:因为点P (1,2)在曲线ax x y +=3上,1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2,且在点P 处有公切数 b a +?=+?∴12132,得b=2 又由c +?+=12122,得1-=c 【范例导析】 例1. 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻0t =开始的t 秒内,通过导体的电量(单位:库仑)可由公式2 23q t t =+表示。 (1) 求第5秒内时的电流强度; (2) 什么时刻电流强度达到63安培(即库仑/秒)? 分析:为了求得各时刻的电流强度,类似求瞬时速度一样,先求平均电流强度,然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。 解:(1)从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为:

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

第13讲 函数与导数之导数及其应用(教师版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用 一. 基础知识回顾 1.函数的平均变化率:一般地,已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx =x 1-x 0,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0),则当Δx ≠0时,商00()() f x x f x x +-△△=Δy Δx 称作函数y =f (x )在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的平均变化率. 2.函数y =f (x )在x =x 0处的导数:(1)定义:函数y =f (x)在点x 0处的瞬时变化率0lim x y x →△△△通常称为f (x )在x =x 0处的导数,并记作f ′(x 0),即00'()lim x y f x x →=△△△. (2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))的 切线的斜率.导函数y =f ′(x )的值域即为切线斜率的取值范围. 3.函数f (x )的导函数:如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点都是可导的,就说f (x )在开 区间(a ,b )内可导,其导数也是开区间(a ,b )内的函数,又称作f (x )的导函数,记作y ′或f ′(x). 4.基本初等函数的导数公式表(右表) 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ) ; (2)[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)????f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2 [g (x )≠0]. 5.导数和函数单调性的关系:(1)若 f ′(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是增函数,f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;(2)若f ′(x )<0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a , b )上是减函数,f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ,b )上, f ′(x )≥0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ,b )上为增函数,若在 (a ,b )上,f ′(x )≤0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ,b )上为减函 数. 6.函数的极值:(1)判断f (x 0)是极值的方法:一般地,当函数f (x )在点x 0处连续时,① 如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极大值;②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x );②求 方程f ′(x )=0的根;③检查f ′(x )在方程f ′(x )=0的根左右值的符号.如果左正右负,那 么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值. 7.函数的最值:(1)函数f (x )在[a ,b ]上必有最值的条件如果函数y =f (x )的图象在区间[a ,b ] 上连续,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数y =f (x )在(a ,b )内的极值;②将函数y =f (x )的各极值与端点值比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值. 二.典例精析 探究点一:导数的运算 例1:求下列函数的导数: (1)y =(1-x )? ???1+1x ; (2)y =ln x x ;(3)y =x e x ; (4)y =tan x . 解:(1)∵y =(1-x )????1+1x =1x -x =1122x x --,∴y ′=11 22()'()'x x --=31 221122x x ----.

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 )(1)(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ

可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

原函数与导函数的关系

课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力; 3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3,则() A.a-2b=0B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 答案 D 解析y′=3ax2+2bx,据题意, 0、1 3是方程3ax 2+2bx=0的两根 ∴-2b 3a= 1 3,∴a+2b=0. 2.当函数y=x·2x取极小值时,x=() A. 1 ln2B.- 1 ln2 C.-ln2 D.ln2 答案 B 解析由y=x·2x得y′=2x+x·2x·ln2 令y′=0得2x(1+x·ln2)=0 ∵2x>0,∴x=- 1 ln2 3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则() A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0, ∴b>0,f′(1)=3-3b>0,∴b<1 综上,b的范围为0<b<1 4.连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是() A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点 B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点 C.x=-1不是函数f(x)的极值点 D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>-1时,f′(x)>0 x<-1时,f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(-∞,-1)单减,在(-1,+∞)单增,∴x=-1为极小值点.

5.函数y =x 33+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是( ) A .-173 B .-103 C .-4 D .-643 答案 A 解析 y ′=x 2+2x -3. 令y ′=x 2+2x -3=0,x =-3或x =1为极值点. 当x ∈[0,1]时,y ′<0.当x ∈[1,2]时,y ′>0,所以当x =1时,函数取得极小值,也为最小值. ∴当x =1时,y min =-173. 6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象,如右图所示,则( ) A .x =1是最小值点 B .x =0是极小值点 C .x =2是极小值点 D .函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知,x =0,x =2为两极值点,x =0为极大值点,x =2为极小值点,选C. 7.已知函数f (x )=12x 3-x 2-72x ,则f (-a 2)与f (-1)的大小关系为( ) A .f (-a 2)≤f (-1) B .f (-a 2)

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

高三数学重点知识:导数及其应用

2019年高三数学重点知识:导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识:导数及其应用,以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识,轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行,则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1);(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3,直线x=1,x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案: 2.答案:6 3.解:的定义域为. 当时,;当时,;当时,.

从而,分别在区间,单调增,在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案:6 5.答案:(1) 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义:与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心,2为半径的四分之一个圆,其面积即为(图略) 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重

原函数和导函数的关系

课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4. 已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,数的图像画出导函数的示意图吗? 你能根据原函探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

高考文科数学真题汇编:导数及应用老师版.doc

2012-2017 年高考文科数学真题汇编:导数及应用老师版

学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日: —: 历年高考试题汇编(文)——导数及应用 1.(2014 大纲理)曲线y xe x 1在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A .2e B.e C.2D.1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图 象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是 ( B ) 4.(2012 陕西文)设函数 f(x)= 2x +lnx 则( D )A .x= 1为 f(x) 的极大值点B.x= 1为

f(x) 的极小值点 C.x=2 为 f(x) 的极大值点D.x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在,若p : f ( x0 )0 : q : x x0是 f ( x) 的极值点,则 A .p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】 C 6.(2012 广东理)曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7.(2013 广东理)若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴,则k 【答案】 -1 8.(2013 广东文)若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴,则 a . 【答案】1 2 9 . ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.

2020高考数学最后冲刺 导数及其应用

最后冲刺 【高考预测】 1.导数的概念与运算 2.导数几何意义的运用 3.导数的应用 4.利用导数的几何意义 5.利用导数探讨函数的单调性 6.利用导数求函数的极值勤最值 易错点 1导数的概念与运算 1.(2020精选模拟)设f 0(x)=sinx,f 1(x)=f ’0(x),f 2(x)=f ’1(x),…,f n+1(x)=f ’n (x),n ∈N,则f 2020(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 【错误解答】 选A 【错解分析】由 f ’1(x)=f ’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…, f2020(x)=f ’2020(x)=…=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的,但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2020(x),所以f2020(x)=f1(x)=cosx. 【错误解答】 选B ∵f(x)=2x+1,∴f ’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. 【错解分析】上面解答错误原因是导数公式不熟悉,认为(2x+1)’=2x+1.正确的是(2x+1)’=2,所以x=1时的导数是2,不是3。 【正确解答】 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f ’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f ’(1)=3 3.(2020精选模拟题) 已知f(3)=2f ’(3)=-2,则3) (32lim 3--→x x f x x 的值为 ( ) A .-4 B .0 C .8 D .不存在 【错误解答】 选D ∵x →3,x-3→0 ∴3) (32lim 3--→x x f x x 不存在。 【错解分析】限不存在是错误的,事实上,求00 型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选C

函数与导数的关系

函数与导数的认识及复习 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,考生想要在考场上准确求出定义域,就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来,列成不等式组,不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时,要注意以下几点:分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集,在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数,判断分段函数的单调性有两种方法:第一,在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,然后对各个段上的单调区间进行整合;第二,画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象,而函数图象反应了函数的所有性质,考生在解答函数题时,要第一时间在脑海中画出函数图象,从图象上分析问题,解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间,千万记住,不要使用并集,指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域,对函数具有奇偶性的前提条件不清,对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函

数的定义域区间关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下,再根据奇偶函数的定义进行判断。 在用定义进行判断时,要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的,在解答此类问题时,考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法,通过特殊赋可以找到函数的不变性质,这往往是问题的突破口。抽象函数性质的证明属于代数推理,和几何推理证明一样,考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件,别漏掉条件,更不能臆造条件,推理过程层次分明,还要注意书写规范。 第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)f(b)<> 第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线,这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线,这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线,曲线的过一个点的切线可能不止一条。 因此,考生在求解曲线的切线问题时,首先要区分是什么类型的切线。 第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型,如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0,很容易就会出错。 解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意,一个函数的导函

高考数学文试题分类汇编导数及其应用

高考数学文试题分类汇编导数及其应用 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

2016年高考数学文试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、(2016年山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 (A )sin y x = (B )ln y x = (C )e x y = (D )3y x = 2、(2016年四川高考)已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 3、(2016年四川高考)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)= 图象上 点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 4、(2016年全国I 卷高考)若函数1 ()sin 2sin 3 f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则 a 的取值范围是 (A )[]1,1-(B )11,3??-????(C )11,33??-???? (D )11,3? ?--?? ?? 二、填空题 1、(2016年天津高考)已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数,则(0)f '的值为__________. 2、(2016年全国III 卷高考)已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e x --=-,则 曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 三、解答题 1、(2016年北京高考)设函数()32.f x x ax bx c =+++ (I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; (II )设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围; (III )求证:230a b ->是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b ,

学高中数学导数及其应用定积分的概念教师用书教案新人教A版选修

1.5定积分的概念 学习目标 核心素养 1.了解定积分的概念.(难点) 2.理解定积分的几何意义.(重点、易错点) 3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程,了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.(难点) 4.能用定积分的定义求简单的定积分.(重点)1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习,培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养. 2.借助定积分的几何意义及性质的学习,培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养. 1.曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积 1曲线梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形(如图1所示). 2求曲边梯形面积的方法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图2所示). 图1图2 3求曲边梯形面积的步骤:分割,近似代替,求和,取极限. (2)求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动,速度函数v=v(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取极限的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

2.定积分的概念 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0<x 1<…<x i —1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i —1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n )作和式错误!f (ξi )Δx =错误! 错误!f (ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作错误!f (x )d x ,即错误!f (x )d x =错误!.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 思考:错误!f (x )d x 是一个常数还是一个变量?错误!f (x )d x 与积分变量有关系吗? [提示] 由定义可得定积分错误!f (x )d x 是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量没有关系,即错误!f (x )d x =错误!f (t )d t =错误!f (u )d u . 3.定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义 由直线x =a ,x =b (a <b ),x 轴及一条曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ,则有: 1 2 3 1在区间[a ,b ]上,若f (x )≥0,则S =错误!f (x )d x ,如图1所示,即错误! f (x )d x =S . 2在区间[a ,b ]上,若f (x )≤0,则S =—错误!f (x )d x ,如图2所示,即错误!f (x )d x =—S . 3若在区间[a ,c ]上,f (x )≥0,在区间[c ,b ]上,f (x )≤0,则S =错误!f (x )d x —错误!f (x )d x ,如图3所示,即错误!(S A ,S B 表示所在区域的面积). (2)定积分的性质 1错误!kf (x )d x =k 错误!f (x )d x (k 为常数); 2错误![f 1(x )±f 2(x )]d x =错误!f 1(x )d x ±错误!f 2(x )d x ; 3错误!f (x )d x =错误!f (x )d x +错误!f (x )d x (其中a <c <b ). 1.在“近似代替”中,函数f (x )在区间[x i ,x i +1]上的近似值( ) A.只能是左端点的函数值f (x i )

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