高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案

椭圆及其标准方程（一）导学案

【学习要求】

1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.

【学法指导】

1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.

2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度

【知识要点】

1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.

探究点一 椭圆的定义

问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？

问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？

探究点二 椭圆的标准方程

问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.

问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？

问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？

例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点????52，－3

2，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.

跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 2

4＝1有公共的焦点，

求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.

例2 已知方程x 2k －4－y 2

k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.

跟踪训练2 若方程x 2m －y 2

m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )

A ．m >0

B ．0

C ．－2

D ．m >1且m ≠ 2

探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用

例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.

跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 2

24

＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________

【当堂检测】

1．椭圆x 2

25＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

2．若方程x 225－m ＋y 2

m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )

A ．－9

B ．8

C ．16

D ．m >8

3．椭圆x 216＋y 2

32

＝1的焦距为________.

4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 2

9

＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________

【课堂小结】

1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；

当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.

2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.

【拓展提高】

1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，2

1

=，则21PF F ?的面积为（ ） A ．

3

3

B ．3

C ．32

D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程

（2）若点P 在第二象限，210

12,120F PF PF F ?=∠求的面积

3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹

是 ，它的方程是 4． 椭圆22

194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

【课后作业】

一、基础过关

1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段

2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为

( )

A ．16

B ．18

C ．20

D ．不确定

3．“1

23－m ＝1表示椭圆”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y

249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面

积等于

( )

A ．24

B ．26

C ．22 2

D ．24 2

5．焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为 ( )

A ．x 213＋y 212＝1

B ．x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1

C ．x 213＋y 2＝1

D ．x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1

6．方程x 22m －y

2m －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.

7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝3

2

，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______.

8．求经过两点P 1????13，13，P 2????0，－1

2的椭圆的标准方程. 二、能力提升

9．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为 ( )

A ．9或917

B ．34或3

2

C ．9或34

D ．917或3

2

10．已知椭圆x 225＋y

29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线

段ON 的长是________.

11．已知椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值.

12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1，P 点是椭圆上的一点，且

∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积.

三、探究与拓展

13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝2

2

，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程.

椭圆及其标准方程（二）导学案

【学习要求】

加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.

【学法指导】

通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.

【双基检测】

1．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9

a (a >0)，则点P 的轨迹是 ( )

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为 ( ) A ．－1 B ．1 C ． 5

D ．－ 5

3．“m >n >0”一定是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”吗？

4．椭圆x 212＋y 2

3＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，

那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍.

5．已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项，求椭圆的标准方程

【问题探究】

探究点一 定义法求轨迹方程

例1 如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点

Q ，求点Q 的轨迹方程.

跟踪训练1 已知圆A ：100)3(22=++y x ，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程

探究点二 相关点法求轨迹方程

例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点 P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 问题 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？

跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为

PD 上一点，且|MD |＝4

5|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型.

探究点三 直接法求轨迹方程

例3 如图，设点A ，B 的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－4

9，求点M 的轨迹方程.

问题 若将例3中的－4

9

改为a (a <0)，曲线形状如何？

跟踪训练3 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →

|.求动点P 的轨迹C 的方程.

【当堂检测】

1．已知椭圆x 2

m ＋y

2

16＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于 ( )

A ．10

B ．5

C ．15

D ．25

2．椭圆x 2m ＋y 2

4

＝1的焦距等于2，则m 的值为 ( )

A ．5

B ．8

C ．5或3

D ．16 3．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ( ) A ．x 225＋y 2

9

＝1 (y ≠0)

B ．y 225＋x 29＝1 (y ≠0)

C ．x 216＋y 2

16＝1 (y ≠0)

D ．y 216＋x 2

9

＝1 (y ≠0)

4．椭圆x

2

9

＋y 2＝1上有动点P ，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程.

【课堂小结】

1．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是

2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.

【拓展提高】

1．已知椭圆x 29＋y 2

4＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程为________

2．设F 1、F 2为椭圆22

194

x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >，求

2

1PF PF 的值

3．

B A 、,3=分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，若OB OA OP 3

2

31+=,

则点P 的轨迹方程为

4．椭圆3

122

2y x +

=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上， 那么点M 的纵坐标是

【课后作业】

一、基础过关

1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．线段

B ．椭圆

C ．圆

D ．不存在 2．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为

( )

A ．(±3,0)

B ．????±1

3，0 C ．???

?±3

20，0

D ．?

???0，±320 3．椭圆x 24＋y 2

＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于 ( )

A ．32

B ． 3

C ．72

D ．4

4．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是 ( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．线段

D ．直线

5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k ＝1 (0

( )

A ．有相等的焦距，相同的焦点

B ．有相等的焦距，不同的焦点

C ．有不相等的焦距，不同的焦点

D ．以上都不对

6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝14

3.求椭

圆C 的方程.

7．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程.

二、能力提升

8．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27

＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→

|＝________.

9．已知A ????－12，0，B 是圆F ：????x －1

22＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为______________.

10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于1

2a 2.

其中，所有正确结论的序号是__________.

11．已知点M 在椭圆x 236＋y 2

9＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的

中点，求P 点的轨迹方程.

12．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2 ＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→

，

求动点Q 的轨迹方程.

三、探究与拓展

13．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝1

2，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M ，N 为

焦点，且经过点P 的椭圆的方程

椭圆的简单几何性质(一)导学案

【学习要求】

1．理解椭圆的简单几何性质.

2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.

【学法指导】

通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.

【知识要点】

1

2当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ，则椭圆越接近于圆.

【问题探究】

探究点一椭圆的简单几何性质

问题1观察椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有

怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

问题2如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？

问题3观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？

问题4（1）

b

a或

c

b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？

（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e＝

c

a越大，椭圆越扁？e＝

c

a越小，椭圆越圆吗？

问题5比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

（1）4x2＋9y2＝36与

x2

25＋

y2

20＝1；（2）9x

2＋4y2＝36与x

2

12＋

y2

16＝1.

例1求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

跟踪训练1已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

探究点二由椭圆的几何性质求方程

例2椭圆过点(3,0)，离心率e＝

6

3，求椭圆的标准方程.

跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于

2

3；

（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).

探究点三求椭圆的离心率

例3如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上且PF1⊥x轴，

PF2∥AB，求此椭圆的离心率.

跟踪训练3如图，A、B、C分别为椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝

90°，则该椭圆的离心率为()

A．

－1＋5

2B．5－1 C．

2＋1

2D．2＋1

【当堂检测】

1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6

2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

1

3，则椭圆的方程是()

A．

x2

144＋

y2

128＝1 B．

x2

36＋

y2

20＝1 C．

x2

32＋

y2

36＝1 D．

x2

36＋

y2

32＝1

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()

A．

4

5B．

3

5C．

2

5D．

1

5

4．若点O和点F分别为椭圆

x2

4＋

y2

3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP

→

·FP

→

的最大值为______.

【课堂小结】

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b.

2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.

3．求离心率e时，注意方程思想的运用.

【拓展提高】

1．已知F1、F2为椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为

16，椭圆离心率e＝

3

2，则椭圆的方程是()

A．

x2

4＋

y2

3＝1 B．

x2

16＋

y2

4＝1 C．

x2

16＋

y2

12＝1 D．

x2

16＋

y2

3＝1

2．椭圆1

1

4

52

2

2

=

+

+

a

y

a

x

的焦点在x轴上，则它离心率的取值范围是

3．椭圆M：

22

22

x y

a b

+=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且

12

PF PF

?的最大

值的取值范围是[2c2，

3c2]，其中c则椭圆M的离心率e的取值范围是（）

A．?

?

?

?

?

?

2

2

,

3

3

B．[

C．D．

11

[,)

32

4．已知椭圆

)0(12

2

22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点

（1）若0

60=∠PBF ，求椭圆的离心率 （2）求证：APB ∠一定为钝角

5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为4

3- （1）求动点P 的轨迹C 的方程

（2）过点)0,2

1

(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围

6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为3

3

4，则椭圆的标准方程为

7．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率2

3

=e ，焦点21F F 、相应的准线为21l l 、，P 为椭圆上一点，

b PF =1，则P 到2l 的距离为（ ）

A ．b 63

B ．b 332

C ．b 2

3

3 D ．b 32

8．已知定点)3,2(-A ，点F 为椭圆

112

162

2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求MF MA 2+的最小值，并求此时点M 的坐标

【课后作业】

一、基础过关

1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上，则

( )

A ．点(－3，－2)不在椭圆上

B ．点(3，－2)不在椭圆上

C ．点(－3,2)在椭圆上

D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上

2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)

D ．(0，±69) 3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )

A ．32

B ．34

C ．22

D ．23

4．过椭圆x 2a 2＋y

2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆

的离心率为

( )

A ．52

B ．

33

C ．12

D ．13

5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是

( )

A ．14

B ．12

C ．2

D ．4

6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2

b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有

( )

A ．相同的顶点

B ．相同的离心率

C ．相同的焦点

D ．相同的长轴和短轴

7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1

2，焦距为8，则该椭圆的方程是______________.

8．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）离心率是2

3

，长轴长是6.

（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

二、能力提升

9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为

3

2

，则m ＝________. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.

11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝3

2

，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.

12．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的

距离为b

7，求椭圆的离心率e .

三、探究与拓展

13．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且

AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，求此椭圆的方程.

椭圆的简单几何性质(二)导学案

【学习要求】

1．理解直线与椭圆的位置关系.

2．能解决简单的与椭圆有关的综合问题.

【学法指导】

用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系，将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题是典型的数形结合思想.

【知识要点】

1．点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)的位置关系：

点P 在椭圆上? ； 点P 在椭圆内部? ； 点P 在椭圆外部? .

2．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2

a 2＋y

2

b

2＝1 (a >b >0)的位置关系判断方法：联立?????

y ＝kx ＋m x 2a 2＋y 2b 2＝1

，

消去y

23．弦长公式

设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0).直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1

k

2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.

【问题探究】

探究点一 直线与椭圆的位置关系

问题1 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？

问题2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？

例1 已知椭圆x 225＋y 2

9＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离

是多少？

问题3 如何求最大距离？

跟踪训练1 在椭圆x 24＋y 2

7＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.

探究点二 直线与椭圆的相交弦问题

问题 直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？

例2 已知椭圆x 236＋y 2

9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.

（1）当直线l 的斜率为1

2

时，求线段AB 的长度；

（2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.

跟踪训练2 已知椭圆x 216＋y 2

4＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长.

探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题

问题 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？

例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

跟踪训练3 在本例中，设直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.

教材例6（椭圆第二定义）

【当堂检测】

1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2

＝1，则直线与椭圆的位置关系是 ( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相切或相交

2．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )

A ．m >1

B ．m ≥1或0

C ．0

D ．m ≥1且m ≠5

3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2

2＝1所截得的线段的中点坐标是 ( )

A ．????23，53

B ．????43，73

C ．???

?－23，1

3 D ．????－132

，－17

2 4．过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面

积为________

【课堂小结】

解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 （1）设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； （2）联立直线与椭圆的方程；

（3）消元得到关于x 或y 的一元二次方程； （4）利用根与系数的关系设而不求； （5）把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.

【拓展提高】

1．若),(y x P 在椭圆

116

92

2=+y x 上，则y x +的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

2．椭圆2

214

x y +=两焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，则21PF PF ?的最大值为_____，最小值为_____ 3．椭圆22

12516

x y +=两焦点为21F F 、，)1,3(A 点P 在椭圆上，则PA PF +1的最大值为____ _， 最小值为_____ 4．设A (－2, 3)，椭圆3x 2＋4y 2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP |＋2|PF |取最小值时P 点的坐

标是( )

A ．(0, 23)

B ．(0, －23)

C ．(23,

3) D ．(－23, 3)

5．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系为( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

6．过椭圆

14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

7．在平面直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222

=+y x 有两个不同的交点P 和Q

（1）求k 的取值范围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为B A 、，是否存在常数k ，使得向量+与共

线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.

8．已知ABC ?的顶点B A 、在椭圆432

2

=+y x 上，C 在直线2:+=x y l 且l AB // （1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ?的面积

（2）当,900

=∠ABC 且斜边AC 的长最大时，求AB 所在的直线方程

【课后作业】

一、基础过关

1．椭圆x 225＋y 2

9

＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是

( )

高中数学选修2-2导学案

高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案

9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n

苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案

教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x

v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．

高中数学教材选修2-2知识点

高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式

常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1 全册导学案

目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法

§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

高中数学《函数的表示法》导学案

1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345

Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．

苏教版高中数学选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》教案

教学目标： 1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数． 教学重点： 基本初等函数的导数公式的应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标； ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程． （3）函数导函数的概念

2．探究活动． 用导数的定义求下列各函数的导数： 思考由上面的结果，你能发现什么规律？ 二、建构数学 1．几个常用函数的导数： 思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？ 2．基本初等函数的导数：

三、数学运用 例1 利用求导公式求下列函数导数． （1）5y x -＝； （2）y (3)πsin 3 y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2 y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x ＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率． 变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程． 变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程． 点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的． 变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短． 练习： 1．见课本P20练习． 第3题： ； 第5题： （1） ； （2） ；

(完整word版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()

高中数学导学案 等差数列

2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；

高中数学选修21知识点总结

高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假

高中数学导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

【新人教A版】高中数学选修2--1教案设计(全套)

【新人教A版】高中数学选修2-1教案 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化 判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

高考数学最全总结高中数学选修2-1知识点总结清单

高中数学选修2-1 知识点 第一章：命题与逻辑结构 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?p ，则?q ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?q ，则?p ”。 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系．7、若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p?q，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ． 当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作?p ． 若p 是真命题，则?p 必是假命题；若p 是假命题，则?p 必是真命题．

苏教版高中数学选修2-2《1.3.1 单调性》教案

教学目标： 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 教学重点： 利用导数判断函数单调性． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？ 2．探究活动． 由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？ 二、建构数学 1．函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243 ＝－＋的图象 y x x 可以看到：

在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y ＝f (x )的值随着x 的增大而增大，即y ′＞0时，函数y ＝f (x )在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f (x )的值随着x 的增大而减小，即y ′＜0时，函数y ＝f (x )在区间（－∞，2）内为减函数． 定义：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '． ②令()f x '＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间． ③令()f x '＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间． 三、数学运用 例1 确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解 f ′(x )＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． ∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 例2 已知函数y ＝x ＋ x 1 ，试讨论出此函数的单调区间．

人教A版高中数学必修二全册全册导学案

人教A版高中数学必修二 全册精品导学案

高中数学必修导学案 §1.1 空间几何体的结构 【使用说明及学法指导】 1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。 2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。 3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。 【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一【问题导学】 探索新知 探究1：几何体的相关概念 （1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行

分类，并说明分类依据。 （2）空间几何体的概念： （3 探究2新知1： （1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点 探究2：旋转体的相关概念 新知2： 旋转体 旋转体的轴 探究31、 棱柱： 2、棱柱的分类： （1）按侧棱及底面垂直及否，分为： （2）按底面多边形的边数，分为： 注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 3、棱柱的表示： 4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱 探究41、棱锥：

2、棱锥的分类： 注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 3、棱锥的表示： 探究5：（三）棱台 1、棱台： 2、棱台的分类： 3、棱台的表示： 二【小试牛刀】 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）. A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体 2. 棱台不具有的性质是（）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 三【合作、探究、展示】 例1、根据右边模型，回答下列问题： (1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为 棱柱底面的有多少对？ (2) 如右图，长方体'''' 中被截去一部 ABCD A B C D 分，其中'' EH A D。问剩下的几何体是什么？截 //