高中数学解题方法系列:
函数中缩小参数范围,优化“恒成立问题”的处理策略
含参数不等式恒成立问题,在处理此类问题时所采取的解题方法和方向基本上是没有问题的,但是由于在解题的过程中,解题策略不优化,导致不能够顺利得出正确结果,下面就恒成立问题处理的优化策略,笔者谈一下看法,与大家交流。
一.试题呈现
已知函数()()()1ln a f x x a x a R x
=--+∈(I )当01a <≤时,求函数()f x 的单调区间
(II )是否存在实数a ,使()f x x ≤恒成立,若存在,求实数a 的取值范围;若不存在,说明理由。
限于篇幅,本文只考虑第(II )小题的作答。
阅卷中发现,学生的处理方法主要有以下两种:
1.直接构造函数()()()1ln a g x x f x a x x
=-=++,把问题转化为()0g x ≥恒成立,但是在接下来利用导数求解函数()y g x =的单调性时,分类讨论出现了重复或者遗漏,从而没有顺利的解决问题。
2.先采取分离参数的方法将不等式转化为()1ln ln a x x x x +≥-,大部分学生此时直接把上述不等式转化为ln 1ln x x a x x ≥-
+(应该先验证1ln 0x x +>),然后构造函数()ln 1ln x x g x x x
=-+,但是由于所构造的函数形式上过于复杂从而出现了以下两个问题:一是学生根本不敢继续利用导数判断函数的单调性,二是对函数()y g x =进行求导,但是不能准确地判断导函数的正负号,从而没有顺利得解决问题。
通过以上解法基本上可以发现,学生在处理含参数不等式恒成立问题时所采取的方法基本上是正确的,即转化为求函数最值加以处理,并且求函数最值的手段有两种:一是直接求含有参数的函数最值,二是通过分离参数转化为求一个具体的函数的最值,通过这两种解法的对比不难发现,第一种转化的函数里面因为含有参数,所以在求其最值时可能会需要分类讨论,而第二种转化的函数虽然是个具体的函数,相比较容易求出其最值,但是这种方法也有其局限性,可能有些时候是不可以进行参数分离的,或者分离后所构造的函数虽然具体但形式过于复杂,同样导致解题的失败。
命题人给出的参考答案:
(II )()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立,
令()()1ln x a a x x ?=++,()0,x ∈+∞,则()()()
11ln x a x ?'=++当10a +>时,在10,x e ??∈ ???时,()0x ?'<,在1,x e ??∈+∞ ???
时,()0x ?'>即函数()y x ?=在10,x e ??∈ ???上单调递减,在1,x e ??∈+∞ ???
上单调递增。()x ?的最小值为1e ??? ???,由10e ???≥ ???得11a e ≥-当10a +=时,()1x ?=-,()0x ?≥在()0,x ∈+∞不能恒成立,
当10a +<时,在10,x e ??∈ ???时,()0x ?'>,在1,x e ??∈+∞ ???
时,()0x ?'<函数()y x ?=在在10,x e ??∈ ???上单调递增,在1,x e ??∈+∞ ???
上单调递减,所以函数()y x ?=在()0,x ∈+∞无最小值,不符合题意,综上所述当11
a e ≥-时,使()f x x ≤恒成立参考答案采取的是直接求含有参数的函数最小值进行处理,就是因为参数的
存在,导致在求函数最值的时候需要进行分类讨论。
优化后的解法:()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立,令()()1ln x a a x x ?=++,()0,x ∈+∞,则()0x ?≥对任意()0,x ∈+∞恒成立,那么()10?≥,得到0a ≥,则11a +>,
所以()x ?在10,x e ??∈ ???时,()0x ?'<,在1,x e ??∈+∞ ???
时,()0x ?'>即函数()y x ?=在10,x e ??∈ ???上单调递减,在1,x e ??∈+∞ ???
上单调递增。()x ?的最小值为1e ??? ???,由10e ???≥ ???得11a e ≥-通过以上两种方法对比不难发现,在题目没有明确给出参数a 的范围时,我们在处理问题时只能先认为a R ∈,这样就会需要运用到分类讨论的思想,但是因为恒成立的不等式对所给变量范围内的任意一个数都满足,那么我们就可以先利用一些特殊值去缩小参数a 的范围,从而在求函数最值时不需要或者减少分类讨论的情况。
试题二:已知函数()21ln ,2
f x x x a R =-∈(I )求函数()f x 的单调递增区间
(II )若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立,求a 的最小整数值。本文只考虑第(II )小题
学生的处理方法以及遇到的问题同试题一
命题人给出的参考答案:
(II )由()()11f x a x ≤--恒成立,得21ln 12x ax x ax -+≤-在()0,x ∈+∞上恒成立,问题等价于2ln 112
x x a x x ++≥+在()0,x ∈+∞上恒成立,令
()()2ln 1,0,12x x g x x x x ++=∈+∞+,()()2211ln 2,12x x x g x x x ??+-- ???'=??+ ???
令()0g x '=得到1ln 02x x --=令()1ln 2h x x x =--,因为()1102h x x
'=--<,所以()h x 在()0,x ∈+∞单调递减不妨设1ln 02
x x --=的根为0x ,当()00,x x ∈时,()0g x '>,当()0,x x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在()00,x x ∈上是增函数,在()0,x x ∈+∞上是减函数,
所以()g x 得最大值为()0002000ln 1112
x x g x x x x ++==+,因为()10,102h h ??>< ???所以011,2x <<此时0
112,x <<即()()01,2g x ∈,所以2a ≥,即整数a 的最小值为2参考答案是采取了分离参数的方法求函数最值,通过以上解法不难发现存在两个难点,一是转化后的函数形式过于复杂,学生不敢下手,二是在求所构造的函数最值时需要用到二次求导,所以此种解法难度较大。
优化后的方法:
()()11f x a x ≤--恒成立转化为()21ln 1102x ax a x ---+≤恒成立令函数()()21ln 112g x x ax a x =---+,()0,x ∈+∞()11g x ax a x
'=--+,令()0g x '=得()()110x ax +-=因为()0,x ∈+∞,所以上述方程变为10
ax -=又因为()0g x ≤对任意()0,x ∈+∞恒成立,所以()10g ≤,得到43
a ≥
所以方程10ax -=的根10x a
=>
则()g x 在10,x a ??∈ ???时,()0g x '>,在1,x a ??∈+∞ ???
时,()0g x '<即函数()y g x =在10,x a ??∈ ???上单调递增,在1,x a ??∈+∞ ???
上单调递减。所以()g x 得最大值为11ln 2g a a a ??=-+ ???,则1ln 02a a -+≤令()1ln 2x x x ?=-+
,()0,x ∈+∞,观察发现()1ln 2x x x ?=-+在()0,x ∈+∞上单调递减,且()()ln 1114ln 21610,2ln 202444e ??-=>=-+==<,则存在唯一的()01,2x ∈使()00x ?=,那么1ln 02a a -+≤解集为0a x ≥,因为a 为整数,所以2a ≥,即整数a 的最小值为2
此解法采取的也是直接求函数最值,但是通过带入特殊值后缩小了参数a 的取值范围,从而使求解函数的最大值时不需要分类讨论,优化了解题过程。
无独有偶,2011年浙江省高考文科卷21题也是利用了此种方法优化了解题过程,试题如下:
设函数()22ln ,0
f x a x x ax a =-+>(I )求()f x 的单调区间
(II )求所有实数a ,使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。注:e 为自然对数的底数。
(Ⅰ)解:因为22()ln f x a x x ax =-+,其中0x >,所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x
-+=-+=-。由于0a >,所以()f x 的增区间为()0,a ,减区间为()
,a +∞(II )由题意得,(1)11f a e =-≥-,即a e
≥由(Ⅰ)知()f x 在[1,]x e ∈单调递增,
要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立,
只要222(1)11()f a e f e a e ae e
=-≥-??=-+≤?解得a e =。
解法分析:如果没有利用(1)11f a e =-≥-,那么第(II )问就需要对参数a 按1,1a a e ≤<<,a e ≥三种情况分类讨论从而加大了解决问题的难度。
恒成立问题是高中阶段非常重要的一个问题,综合性和灵活性较强,因而受到高考命题者的青睐,在试题中高频考查,高三复习应在掌握此类问题的基本解法的基础上,再介绍适用技巧即通过利用特殊值首先缩小参数的范围,这样可以使问题的求解难度大大简化。
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.
3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]
高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则; 5.若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数(或)在R 上恒成立,则有(或); ②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???00 a ??2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<
高中数学九大解题技巧 1、配法 通过把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法,叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式,它是数学中一种重要的 恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常 用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式,是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、 几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多, 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数 学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子, 使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别, △=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代 数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算 中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个 数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,
计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线 的问题等,都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学 中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从 而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用 构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透, 有利于问题的解决。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有 时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题 的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到 求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数 量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添 置辅助线,也很容易考虑到。 8、几何变换法 在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集 合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变
1.集合基本运算,数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.集合基本运算,二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( ) A .]1,2[-- B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[ 3.集合基本运算,绝对值运算,指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ,则=B A ( ) A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质,分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+,且-3 ∈A ,求a 的值 5.集合基本性质,数组,子集数量公式n 2 .集合A={(x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N },则A 的非空真子集的个数为( ) A 4 B 5 C 6 D 7 6.集合基本性质,空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2},集合B={x|1≤x≤5},若A∩B=A,求实数a 的取值范围. 7.函数解析式,定义域,换元法,复合函数,单调性,根式和二次函数应用,数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+,定义域为:x>0 (1)求f(x)的解析式,定义域及单调递增区间 (2)求(-1)f x 解析式,定义域及最小值
8.函数基本性质,整体思想,解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质,一次函数,多层函数,对应系数法 若f [ f (x )]=2x +3,求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算,穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域,反表示法,判别式法,二次函数应用,换元法,不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域,分类讨论,分段函数,数形结合,数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3,则实数a 的值为 (A )5或8 (B )1-或5 (C )1-或4- (D )4-或8 13.函数单调性,对数函数性质,复合函数单调性(同增异减) 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0,)+∞ B.(-∞,0) C.(2,)+∞ D.(-∞,2)- 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
高一数学中的恒成立问题 班级 姓名 学号 1.任意x R ∈,不等式()()222240a x a x ----<恒成立,则a 的范围是____(]2,2-___. 2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立,则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2 1 2+ D.22+1 . B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2. 3.不等式() ()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立,则实数m 的范围为______. 【解】当2 10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2 10m ->且()()22411210m m ---<, 即m>1或m<-2;当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U (,),+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ,则使不等式 m y x ≥+4 1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4 9,(-∞ 5.已知不等式(x+y)(1x + a y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6、若对于一切正实数x 不等式x x 2 24+>a 恒成立,则实数a 的取值范围是 a<24 7.若不等式.2 log 0m x x -<在(0, 1 2 )的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是____. 【解】 1 116 m ≤< 提示:利用数形结合讨论0
高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()(答:,,,)022334Y Y 函数定义域求法: ● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 ,函数y =arccosx 的定义域是 [-1, 1] , 值域是 [0, π] ,函数y =arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数y =arcctgx 的定义域是 R , 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域? [] 的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21,则)(log 2x f 的定义域为 。 分析:由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知:221≤≤x ;所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 解:依题意知: 2log 2 1 2≤≤x 解之,得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的 下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数,且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时,有 f .
例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2例 例恒成立,求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞, 都成立,求实数x 的取值范围.