1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1: A →B 。 定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义7 函数的性质。 (1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)
导数的背景(5月4日) 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是2 2 1gt s = (其中g 是重力加速度). 当时间增量t ?很小时,从3秒到(3+t ?)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到(3+t ?)秒这段时间内位移的增量: 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而,t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出,t ?越小,t s ??越接近29.4米/秒;当t ?无限趋近于0时, t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说,当t ?趋向于0时,t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时,平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做 瞬时速度. 一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ?)这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于某个常数a ,就说当t ?趋向于0时,t s ??的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
第三节 最大公约数 定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数(或最大公因数),记为(a 1, a 2, , a k ). 由于每个非零整数的约数的个数是有限的,所以最大公约数是存在的,并且是正整数. 如果(a 1, a 2, , a k ) = 1,则称a 1, a 2, , a k 是互素的(或互质的);如果 (a i , a j ) = 1,1 ≤ i , j ≤ k ,i ≠ j , 则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的(或两两互质的). 显然,a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1,反之则不然,例如(2, 6, 15) = 1,但(2, 6) = 2. 定理1 下面的等式成立: (ⅰ) (a 1, a 2, , a k ) = (|a 1|, |a 2|, , |a k |); (ⅱ) (a , 1) = 1,(a , 0) = |a |,(a , a ) = |a |; (ⅲ) (a , b ) = (b , a ); (ⅳ) 若p 是素数,a 是整数,则(p , a ) = 1或p ∣a ; (ⅴ) 若a = bq + r ,则(a , b ) = (b , r ). 由定理1可知,在讨论(a 1, a 2, , a n )时,不妨假设a 1, a 2, , a n 是正整数,以后我们就维持这一假设. 定理2 设a 1, a 2, , a k ∈Z ,记 A = { y ;y =∑=k i i i x a 1,x i ∈Z ,1 ≤ i ≤ k }. 如果y 0是集合A 中最小的正数,则y 0 = (a 1, a 2, , a k ).
§23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用。 (一)抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。 证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1个元素,从而n 个集合至多有n个元素,此与共有n+1个元素矛盾,故命题成立。 在定理1的叙述中,可以把“元素”改为“物件”,把“集合”改成“抽屉”,抽屉原理正是由此得名。 同样,可以把“元素”改成“鸽子”,把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1.已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1)。证明:至少有两个点之间的距离不大于 2.从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍。
极限与导数 一、极限 1、常用的几个数列极限:C C n =∞→lim (C 为常数);01lim =∞→n n ,0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式q a S S n n -==∞→1lim 1(0<1'x f 那么f(x)为增函数;如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数; (2)求可导函数极值的步骤:①求导数)(x f ';②求方程0)(='x f 的根;③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求y=f(x)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n ,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…,a n 或a 1, a 2, a 3,…,a n …。其中a 1叫做数列的首项,a n 是关于n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和,则S 1=a 1, 当n >1时,a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n ,都有a n +1-a n =d (常数),则{a n }称为等差数列,d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列,即2b =a +c ,则称b 为a 和c 的等差中项,若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n =a 1+(n -1)d ;2)前n 项和公式: S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+;3)a n -a m =(n -m)d ,其中n , m 为正整数;4)若n +m=p +q ,则a n +a m =a p +a q ;5)对任意正整数p , q ,恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1);6)若A ,B 至少有一个不为零,则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列,若对任意的正整数n ,都有 q a a n n =+1,则{a n }称为等比数列,q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质:1)a n =a 1q n -1 ;2)前n 项和S n ,当q ≠1时,S n =q q a n --1)1(1;当q =1时,S n =na 1;3)如果a , b , c 成等比数列,即b 2=ac (b ≠0),则b 叫做a , c 的等比中项;4)若m+n =p +q ,则a m a n =a p a q 。 定义4 极限,给定数列{a n }和实数A ,若对任意的ε>0,存在M ,对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε,则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限,记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为q a -11(由极限的定义可得)。 定理3 第一数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时(k ≥n 0)可推出p (k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2,设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β,则x n =c 1a n -1+c 2βn -1,其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定;(2)若α=β,则x n =(c 1n +c 2) αn -1,其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)a n =n 2-1;2)a n =3n -2n ;3)a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1,求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
数列 一、基础知识 定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n ,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…,a n 或a 1, a 2, a 3,…,a n …。其中a 1叫做数列的首项,a n 是关于n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和,则S 1=a 1, 当n >1时,a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n ,都有a n +1-a n =d (常数),则{a n }称为等差数列,d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列,即2b =a +c ,则称b 为a 和c 的等差中项,若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n =a 1+(n -1)d ;2)前n 项和公式: S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+;3)a n -a m =(n -m)d ,其中n , m 为正整数;4)若n +m=p +q ,则a n +a m =a p +a q ;5)对任意正整数p , q ,恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1);6)若A ,B 至少有一个不为零,则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列,若对任意的正整数n ,都有 q a a n n =+1,则{a n }称为等比数列,q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质:1)a n =a 1q n -1 ;2)前n 项和S n ,当q ≠1时,S n =q q a n --1)1(1;当q =1时,S n =na 1;3)如果a , b , c 成等比数列,即b 2=ac (b ≠0),则b 叫做a , c 的等比中项;4)若m+n =p +q ,则a m a n =a p a q 。 定义4 极限,给定数列{a n }和实数A ,若对任意的ε>0,存在M ,对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε,则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限,记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为q a -11(由极限的定义可得)。 定理3 第一数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时(k ≥n 0)可推出p (k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2,设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β,则x n =c 1a n -1+c 2βn -1,其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定;(2)若α=β,则x n =(c 1n +c 2) αn -1,其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)a n =n 2-1;2)a n =3n -2n ;3)a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1,求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1.数学归纳法: (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =( , k N k n + ∈≥)时,结论() P k成立,证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时,() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时, n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在,且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==, 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±;lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地,如果C是常数,那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =(C 为常数)②lim0 n a n →∞ = k (,a k 均为常数且N* ∈ k) ③ (1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a,公比为q(1 q<)的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注:⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关,若当) (* N k k n∈ =时该命题成立,那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立,现已知当5 = n时该命题不成立,那么可推得() (A)当6 = n时,该命题不成立(B)当6 = n时,该命题成立 (C)当4 = n时,该命题成立(D)当4 = n时,该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时,左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)-2 (C)- 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中,若 n n S Lim ∞ → 存在,则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++, 12 n n A a a a =+++,则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中,各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数,则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ,公比为q,且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1, 且3 lim= ∞ → n n S,则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数,且0 <b<1,若lim n n S →∞ =存在,则lim n n S →∞ =________. 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-,设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+,又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积. (Ⅰ)求 1 T, 2 T, 3 T的值;(Ⅱ)试比较 n T与 1+ n a的大小,并证明你的结论. 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化,原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射. 定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射. 定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射. 定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆 映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1 : A →B . 定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数.A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象.集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域.通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域.例如:函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称. 定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数. 定义7 函数的性质. (1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有 f (x 1)
导数的概念(5月4日) 教学目标与要求:理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点:导数的概念以及求导数 教学难点:导数的概念 教学过程: 一、导入新课: 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同,但从函数角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课: 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ?时,则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?,如果0→?x 时,y ?与x ?的比x y ??(也 叫函数的平均变化率)有极限即 x y ??无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 )(x f y =在0x x →处的导数,记作0 / x x y =,即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 注:1.函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中,x ?趋近于0可正、可负、但不为0,而y ?可能为0。 3. x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线 )(x f y =上点()(,00x f x )及点)(,(00x x f x x ?+?+)的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率, 它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线) (x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为))(()(00/ 0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念,它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关,与x ?无关。 6.在定义式中,设x x x ?+=0,则0x x x -=?,当x ?趋近于0时,x 趋近于0x ,因
复数 一、基础知识 1.复数的定义:设i 为方程x 2 =-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi (a,b ∈R )的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,b ∈R ),a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设z 对应复平面内的点Z ,见图15-1,连接OZ ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r ,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ,则z=re i θ ,称为复数的指数形 式。 3.共轭与模,若z=a+bi ,(a,b ∈R ),则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有:(1)2121z z z z ±=±;(2)2121z z z z ?=?;(3)2||z z z =?;(4)2 1 21z z z z =???? ??;(5)||||||2121z z z z ?=?; (6)| || |||2121z z z z = ;(7)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(8)|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ;(9)若|z|=1,则z z 1= 。 4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方:若=n w r(cos θ+isin θ),则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= , k=0,1,2,…,n-1。 7.单位根:若w n =1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=n i n π π2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有(这里记k k Z Z 1=,
极 限 的 概 念(4月27日) 教学目的:理解数列和函数极限的概念; 教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限; 教学难点:数列和函数极限的理解 教学过程: 一、实例引入: 例:战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。(1)求第n 天剩余的木棒长度n a (尺),并分析变化趋势;(2)求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺),并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点:当项数n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某个常数A (即A a n -无限趋近于0)。n a 无限趋近于常数A ,意指“n a 可以任意地靠近A ,希望它有多近就有多近,只要n 充分大,就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义: 一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于..... 某个常数A (即A a n -无限趋近于0) ,那么就说数列}{n a 的极限是A ,记作 A a n n =∞ →lim 注:①上式读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时,n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________ ③思考:是否所有的无穷数列都有极限? 例1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由 (1)1, 21,31,…,n 1,… ;(2)21,32,43,…,1 +n n ,…;
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版) 1.若f (x )=sin π 3 -cos x ,则f ′(α)等于( ) A .Sin α B .Cos α C .sin π3+cos α D .cos π 3+sin α [答案] A [解析] ∵f (x )=sin π 3 -cos x ,∴f ′(x )=sin x ,∴f ′(α)=sin α,故选A. 2.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1B .n +2n +1C.n n -1 D .n +1n [答案] A [解析] ∵f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x , ∴f (n )=n 2+n =n (n +1),∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为: S n =11×2+12×3+13×4+…+1 n (n +1)=????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1 =1-1n +1=n n +1 ,故选A. 3.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )=ax 2+c (a <0,且c >0),于是f ′(x )=2ax ,显然f ′(x )的图象为直线,过原点,且斜率2a <0,故选B. 4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e - 1B .-1C .-e - 1 D .-e [答案] C [解析] ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x ,∴f ′(x )=2f ′(e)+1x ,∴f ′(e)=2f ′(e)+1 e , 解得f ′(e)=-1 e ,故选C.
第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ?.例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用?来表示.集合分有限集和无限集两种. 集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法.例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集. 定义2 子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ?,例如Z N ?.规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,则称A 与B 相等.如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属于A ,则A 叫B 的真子集. 定义3 交集,}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集,}.{B x A x x B A ∈∈=或 定义5 补集,若},{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集. 定义6 差集,},{\B x A x x B A ?∈=且. 定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合 },,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞ 定理1 集合的性质:对任意集合A ,B ,C ,有: (1));()()(C A B A C B A = (2))()()(C A B A C B A =; (3));(111B A C B C A C = (4)).(111B A C B C A C = 【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成. (1)若)(C B A x ∈,则A x ∈,且B x ∈或C x ∈,所以)(B A x ∈或)(C A x ∈,即)()(C A B A x ∈;反之,)()(C A B A x ∈,则)(B A x ∈或)(C A x ∈,即A x ∈且B x ∈或C x ∈,即A x ∈且)(C B x ∈,即).(C B A x ∈ (3)若B C A C x 11 ∈,则A C x 1∈或B C x 1∈,所以A x ?或B x ?,所以)(B A x ?,又I x ∈,所以)(1B A C x ∈,即)(111B A C B C A C ?,反之也有 .)(111B C A C B A C ? 定理2 加法原理:做一件事有n 类办法,第一类办法中有1m 种不同的方法,第二类办法中有2m 种不同的方法,…,第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法. 定理3 乘法原理:做一件事分n 个步骤,第一步有1m 种不同的方法,第二步有2m 种不同的方法,…,第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事一共有n m m m N ???= 21种不同的方法. 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合. 例1 设},,{2 2Z y x y x a a M ∈-==,求证: (1))(,12Z k M k ∈∈-; (2))(,24Z k M k ∈∈-;