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人教版数学必修四:3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)

人教版数学必修四:3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)
人教版数学必修四:3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)

课题:§3.1.1两角和与差的余弦 总第____课时

班级_______________ 姓名_______________

【学习目标】

1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学发现和创造的

过程,体会向量和三角函数间的联系。

2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用。

3.能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

【重点难点】

学习重点:理解并熟记两角和与差的余弦公式。

学习难点:两角差的余弦公式的推导,灵活应用几个公式来进行三角恒等变换

【学习过程】

一、自主学习与交流反馈:

问题1 设向量)75sin ,75(cos =,),15sin ,15(cos =

试分别计算

θb a =?及2121y y x x b a +=?,比较两次计算结果,你能发现什么?

问题2 ()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示?

问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示)cos(βα+?

二、知识建构与应用:

两角差的余弦公式:)(βα-C

两角和的余弦公式:)(βα+C

问题4:用“β-代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义?你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?

人教版高中数学版必修四学案 弧度制

1.1.2 《弧度制》导学案 【学习目标】 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式||l r α=(为以.α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆半径); 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 【重点难点】 弧度与角度之间的换算;弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法; 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制? 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题: 1、 角的弧度制是如何引入的? 2、 为什么要引入弧度制?好处是什么? 3、 弧度是如何定义的? 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数? 2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系? 【学习过程】 (一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定1角的?角度制的单位有哪些,是多少进制的? (二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角,用符号 表示,读作 。 练习:圆的半径为r ,圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少? <思考>:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?

由上可知:如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么,角α的弧度数的绝对值是: ,α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 。 <说明>:我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或rad 经常省略,即只写一实数表示角的度量。 例如:当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-. (三)角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是: <试一试>:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 例1、把下列各角从度化为弧度: (1)0252 (2)0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22 o30′ (2)—210o (3)1200o

【最新】高中数学必修四导学案

高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1:回忆初中我们是如何定义一个角的? ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么? ______________________________________________________ 问题2:在体操、跳水中,有“转体0 720”,怎么刻画? 720”这样的动作名词,这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1.角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2.角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个_________,它的______和_______重合。这样,我们就把角的概念推广到了_______,包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合_________ , 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成。 4.象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的________与__________重合,角的___________与_______________________重合。那么,角的_________(除端点外)落在第几象限,我们就说这个角是__________________。

新人教B版必修1高中数学集合之间的关系学案

高中数学集合之间的关系学案新人教B版必修1 一、三维目标: 知识与技能:(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;(2)理解子集、真子集的概念;(3) 能利用Venn图表达集合间的关系;(4)了解空集的含义。过程与方法:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的 关系,掌握并能使用Venn图表达集合间的关系。 情感态度与价值观:通过学习,提高利用类比发现新结论的能力,加强从具体到抽象的思维能 力,树立数形结合的思想。 二、学习重、难点: 重点:子集与空集的概念;能利用Venn图表达集合间的关系。 难点:弄清属于与包含的关系。 三、学法指导:研读学习目标,了解本章重难点,精读教材,独立完成学案,通过小组学习解决部分疑难问题,再通过课堂各小组展示及质疑对抗,共同提高,完成学习任务。

【小组活动一】 想一想:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1){1,2,3}A =,{1,2,3,4,5}B =; (2)}167|{班的同学级为国际学校x x C =;}67|{D 级的同学 为国际学校x x = (3){|}E x x =是两条边相等的三角形,{}F x x =是等腰三角形 【小组活动二】 1.阅读教材10---12页,完成下列表格:

(1 ) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; 例1、写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集。

例2 、说出下列每对集合之间的关系 (1)A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} (2)P={1 x}Q={1 |2= x x} x | ||= (3)C={1 x x} |≥ |> x x} D={2 跟踪练习:用适当的符号填空 ⑴___{0} ? ⑵2___{(1,2)} ⑶?___2 ∈+= x x {R|20} ⑸{3,5}___N ⑹{(2,3)}___{(3,2)} ⑺ {(1,2)}___2 -+= x x x {|320} ⑻{1,2}___2 -+= x x x {|320} 例3、设{|13},{|} =-<<=>,若A B,则a的取值范围是______ A x x B x x a 跟踪练习:1.已知集合A=},5 + ≤ ≤ {- =m x m x B且 x}1 {≤ | 2 | < -x 1 2 A?,求实数m的取值范围 B

人教B版数学高一版必修1学案集合之间的关系

课堂导学 三点剖析 一、子集、真子集、集合相等的概念 【例1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正. (1)对任意的集合A,有? A. (2)如果A?B且A≠B,那么B必是A的真子集. (3)如果A=B,则集合A是集合B的子集,但一定不是B的真子集. (4)如果对任意的x0∈A,都能得到x0∈B,则集合A是集合B的真子集. 思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质. 解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合A是否非空,因此说法错误,应有??A. (2)集合B是集合A的子集,实际上有两种可能:一是B是A的真子集;二是集合A与集合B 相等. ∵A?B,又A≠B,∴B必是A的真子集.故此说法正确. (3)由A=B知A?B且B?A.A、B两集合的元素完全相同,A中的任一元素必是集合B中的元素,但集合B中不存在元素属于B但不属于A.故集合A是集合B的子集,但不是B的真子集.故此说法正确. (4)由对任意的x0∈A,能得到x0∈B,故集合A是集合B的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误. 二、根据两集合间的关系进行有关运算 【例2】已知A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B. 思路分析:根据两集合相等的定义,欲证A=B,必须证明A?B和B?A两方面. 证明:(1)设任意x0∈A,则x0=2n+1,n∈Z. 当n为偶数,即n=2k,k∈Z时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z; 当n为奇数,即n=2k-1,k∈Z时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z. ∴x0∈B.∴A?B. (2)设任意y0∈B,则y0=4k±1,k∈Z,若y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B. 若y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴B?A. 综上知,A=B. 温馨提示 本题同学们容易出现“令2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性. 三、元素与集合、集合与集合之间的关系 【例3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来. (1)0与{0};(2)0与?;(3)?与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}. 思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系,还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合,还要分清是什么关系. 解:(1)0∈{0}.(2)0??. (3)?与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系. ∴?{0}. (4){0,1}是含有两个元素0,1的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合, 它只含有一个元素. ∴{0,1}≠{(0,1)}.

人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数,因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系,立足消除角之间存在的差异,或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一,或有利于公式的运用,化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6+α=33,求cos ? ??? ?5π6-α的值. 分析.将π6+α看作一个整体,观察π6+α与5π 6 -α的关系. 解.∵? ????π6+α+? ?? ? ?5π6-α=π, ∴ 5π6-α=π-? ?? ??π6 +α. ∴cos ? ????5π6-α=cos ???? ? ?π-? ????π6+α =-cos ? ????π6+α=-33,即cos ? ?? ??5π 6-α =-33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角,若sin 3α sin α =13 5 ,则tan 2α= _______________________________. 分析.要求tan 2α的值,注意到sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α,代入到sin 3αsin α=13 5中,首先求出cos 2α的值后,再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α=sin (2α+α)sin α=sin 2αcos α+cos 2αsin α sin α =2cos 2 α+cos 2α=135 . ∵2cos 2 α+cos 2α=1+2cos 2α=135.∴cos 2α=45. ∵α为第四象限角,∴2k π+3π 2<α<2k π+2π(k ∈Z ), ∴4k π+3π<2α<4k π+4π(k ∈Z ),

高中数学必修四学案:2.3向量的坐标表示 Word版缺答案

2.3向量的坐标表示 2. 3.1平面向量基本定理 1.A 设向量23,42,m a b n a b =-=- 32p a b =+,试用,m n 表示p ,则p =__ 2.A 在ABC ?中,AB c =,AC b =,若点 D 满足2BD DC =,则AD =________ 3.B 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R ), 则λ μ = . 4.B D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、 AB 的中点,且BC =a ,CA =b ,给出下 列命题: ①12AD =-a -b ; ②BE =a +2 1b ; ③12CF =- a +2 1 b ; ④0AD BE CF ++=. 其中正确命题的个数是______________. 5.B 设a ,b 是不共线的两个向量,已知 2AB a kb =+, BC a b =+, 2CD a b =-,若A 、B 、D 三点共线, 求实数k 的值. 6.B 在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在BD 上,1 3 BN BD =,求证,,M N C 三点共线. 7.C 如图,//OM AB ,点P 在由射线 OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的 阴影区域内(不含边界)运动,且 OP xOA y OB =+ → → → ,则x 的取值范围 是 ;当1 2 x =-时,y 的取值范围是 . 8.C 已知点G 是△ABC 的重心,过G 作直

线与AB 、AC 两条边分别交于M 、N ,且AM x AB = → → ,AN y AC = → → .求11 x y +的 值. 2.3.2平面向量的坐标运算 专题1平面向量的坐标表示及坐标运算

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标:1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点:任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点,用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接: 1.初中是如何定义角的? 2.什么是周角,平角,直角,锐角,钝角? 四、学习过程: (一)阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角,按 - 方向旋转形成的角叫做负角,如果一条射线没有作____旋转,我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角,那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便,我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论,具体做法是:(1)使角的顶点和坐标重合;(2)使角的始边和x轴重合.这时,角的终边落在第几象限,就说这个角是的角(有时也称这个角属于第几象限);如果这个角的终边落在坐标轴上,那么这个角就叫做,这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角: (1)420o (2) -75o(3) 855o(4) -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系?这些有相同的始边和终边的角,叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ,所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?~360?之间,找出与下列各角终边相同的角,并分别指出它们是第几象限角: (1)?480; (2)?-760; (3)03932'?. 变式练习 1、 在0?~360?之间,找出与下列各角终边相同的角,并分别指出它们是第几象限角: (1)420 o (2)—54 o18′ (3)395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720 o β≤<360o 的元素 写出来: (1)1303o 18, (2)--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y =x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β<720o 元素β写出来。

新课标高中数学必修1全册导学案及答案

§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的. 1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合;

高中数学必修四学案及答案(人教B版)

2014级必修四 编号:4001 课题:角的概念的推广 编制人:李敏 审核人:王国燕 编制日期 : 班级 姓名 一、学习目标: 1. 会判断角的大小; 2. 能够会用集合表示终边相同的角; 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义?角的范围? 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围? ①体操比赛中术语:“转体720o ”(即转体 周),“转体1080o ”(即转体 周); ②时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?( 时针旋转 度) 如果慢了5分钟,又该如何校正?( 时针旋转 度) 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义?研究这些角的分类及记法? 4、如何将角放入坐标系中讨论? 角的顶点与 重合,角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义: 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示? 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角: 第二象限角: 第三象限角: 第四象限角 三.尝试练习 1、基础过关 (1)(A )下列命题是真命题的有 .(填序号) ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角:“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360°≤α<720°的元素α写出来. -15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: 210-; 731484'- . (B) (3)若α是第二象限的角,试分别确定2α, 2α,3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角,那么—α,2α的终边落在何处? 四.巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是( ) A .30° B .-30° C .630° D .-630° (A)2、-1120°角所在象限是 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 (B)3、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( ) A .B=A ∩C B .B ∪C=C C .A ?C D .A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方,那么α是 ( ) A .第一象限角 B .第一、二象限角 C .第一、三象限角 D .第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角,则α- 180是 . A .第一象限的角 B .第二象限的角 C .第三象限的角 D .第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .

高中数学必修1幂函数学案

幂函数(学案) 学习目标 1.理解幂函数的概念,能区分什么样的函数是幂函数; 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律; 3.借助解析式研究幂函数的性质,并能根据性质作出幂函数的图象; 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例,体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调:指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中α为常数. 注:幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,为“形式”定义。 练习1:判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =; ②22y x =; ③3y x x =-; ④1y = ; ⑤x 2.0y =;⑥5 1x y =; ⑦3x y -=; ⑧2x y -=. ` 练习2:已知某幂函数的图象经过点)2,2(,则这个函数的解析式为_________________ 练习3:函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数,求其解析式。 | 2.根据课本引例,你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 (1)0<α<1时, (2) α=1时, (3) α>1时, ` (4) α<0时, 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质,完成下表:

课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都过点 ; (2)0α>时,幂函数的图象通过 ,并且在区间[0,)+∞上是 (增、减)函数.特别地,当1α>时,幂函数的图象下凸;当01α<<时,幂函数的图象上凸; — (3)0α<时,幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 (增、减)函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.(形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象) 能力提升 求出下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性,并且作出简图。 (1) 32 x y =(2)23x y =(3)5 3x y =(4)0 x y =(5)3 2-=x y (6) 2 3x y - =(7)5 3- =x y

人教版数学高一人教B版必修四学案疑难规律方法2

1 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算,在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时,要准确利用对应的运算法则、运算律,注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例1 化简下列各式: (1)(2AB →-CD →)-(AC →-2BD →); (2)1 24[3(2a +8b )-6(4a -2b )]. 解 (1)(2AB →-CD →)-(AC →-2BD → ) =2AB →-CD →-AC →+2BD →=2AB →+DC →+CA →+2BD → =2(AB →+BD →)+(DC →+CA →)=2AD →+DA →=AD →. (2)1 24 [3(2a +8b )-6(4a -2b )] =124(6a +24b -24a +12b )=1 24(-18a +36b ) =-34a +32 b . 点评 向量的基本运算主要有两个途径:一是基于“形”,通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则进行化简;二是基于“数”,满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简,解题时要注意观察是否有这两种形式出现,同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算,可类比实数积的运算方法进行,将向量a ,b ,c 等看成一般字母符号,其中向量数乘之间的和差运算,相当于合并同类项或提取公因式,这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数 例2 如图,已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0,若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →成

立,则m =________. 解析 如图, 因为MA →+MB →+MC → =0, 即MA →=-(MB →+MC →), 即AM →=MB →+MC →. 延长AM ,交BC 于点D , 所以点D 是BC 边的中点,所以AM →=2MD → , 所以AD →=32AM →,所以AB →+AC →=2AD →=3AM →, 所以m =3. 答案 3 点评 求解含参数的向量线性运算问题,只需把参数当作已知条件,根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示,列出向量方程,对比系数求参数的值. 三、表示向量 例3 如图所示,在△ABC 中,AD →=23AB → ,DE ∥BC 交AC 于点E ,BC 边上的中线AM 交DE 于点N ,设AB →=a ,AC →=b ,用向量a ,b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM → . 解 因为DE ∥BC ,AD →=23 AB → , 所以AE →=23AC →=23b ,BC →=AC →-AB → =b -a . 由△ADE ∽△ABC ,得DE →=23BC →=2 3(b -a ). 又M 是△ABC 底边BC 的中点,DE ∥BC ,

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},

人教版高中数学必修四学案 1.1.1任意角

一、复习: 角的概念: (1)在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角,这个公共顶点叫做角的 ,这两条射线叫做角的 。 (2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。 二、自主学习:自学53P P ,回答: 1.正角、负角、零角: 一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向: 方向和 方向,习惯上 规定:按照 方向旋转而成的角为正角;按照 方向旋转而成的角为负角,当射线没有 时为零角。 注意:(1)在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 , 旋转生成的角,又常叫做 角。 (2)引入正角、负角的概念后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α—β可以化为 ,这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的 。 2.终边相同的角:设α表示任意角,所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合,这 个集合可记为S = 。 终边相同的角有 个,相等的角终边一定 ,但终边相同的角不一定 。 3.象限角:在直角坐标系中讨论角,是使角的顶点与 重合,角的始边与 重 合,角的终边在第几象限,就把这个角叫做 ,如果终边在坐标轴上,就认为这个角 属于任何象限。 三、典型例题: 1.自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2.自学5P 例3完成下面填空: 终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为

终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴上角的集合表示为 终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为 第一象限角的集合表示为 第二象限角的集合表示为 第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 3.补充例题: 例5.已知α是第一象限的角,判断2 α 、α2分别是第几象限角? 练习:7P 练习B2、3、5 4.小结: 5.作业: 1.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中属于第二象限角的是( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.下列命题中正确的是( ) A.终边相同的角都相等 B.第一象限的角比第二象限的角小 C.第一象限角都是锐角 D.锐角都是第一象限角 3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置,由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置,则∠AOC =( ) A.150° B.-150° C.390° D.-390° 4.如果α的终边上有一个点P (0,-3),那么α是( ) A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角 5.与405°角终边相同的角( )

高中数学必修1导学案

班级: 组别: 组号:___________ 姓名: 2.2.1对数(1) 【学习目标】 1. 理解对数的概念; 2. 能够进行对数式与指数式的互化; 3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2,探究并思考: 1.问题:截止到1999年底,我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后人口数可达到18亿,20亿,30亿? 请问:(1)问题具有怎样的共性? (2)已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:由1.01x m =,求x . 2.一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ). 记作 log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数 试试:将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm ),并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln N 试试:分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考: (1)指数与对数间的关系? 0,1a a >≠时,x a N =? . (2)负数与零是否有对数?为什么? (3)log 1a = , log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式: (1)4 216=; (2)3 1 3 27 -= ; (3)520a =; (4)10.452b ??= ??? . 2)将下列对数式写成指数式: (1)5log 1253=; (2) log 32=-; (3)lg 0.012=-; (4) 2.303=. 小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体. 【合作探究】 1.求下列各式的值: ⑴2log 64; ⑵2 1 log 16 ; (3)lg10000;

【人教A版】2020高中数学必修四导学案:第二章平面向量_含答案

第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图,对同学们是一个难点,这里对其作图方法作出细致分析,以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图,已知共线向量a 、b ,求作a +b . (1)a 、b 同向; (2)a 、b 反向,且|a |>|b |; (3)a 、b 反向,且|a |<|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →=a ,AB →=b ,OB → =a +b ,具体作法是:当 a 与 b 方向相同时,a +b 与a 、b 的方向相同,长度为|a |+|b |;当a 与b 方向相反时,a +b 与a 、b 中长度长的向量方向相同,长度为||a |-|b ||.为了直观,将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移,然后分别标上a ,b ,a +b .作图如下: 例2 如图,已知共线向量a 、b ,求作a -b . (1)a 、b 同向,且|a |>|b |; (2)a 、b 同向,且|a |<|b |; (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA → =a -b .事实上a -b 可看作是a +(- b ),按照这个理解和a +b 的作图方法不难作出a -b ,作图如下: 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线,可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图,已知向量a 、b . 求作:(1)a +b ;(2)a -b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下,应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步:作OA → =a ,方法是将一个三角板的直角边与a 重合,再将直尺一边与三角板的另一直角边重合,最后将三角板拿开,放到一直角边过点O ,一直角边与直尺的一边重合的位置,在此基础上取|OA →|=|a |,并使OA → 与a 同向. 第二步:同第一步方法作出AB →=b ,一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步:作OB →,即连接OB ,在B 处打上箭头,OB → 即为a +b . 作图如下: (2)第一步:在平面上a ,b 位置之外任取一点O ; 第二步:依照前面方法过O 作OA →=a ,OB → =b ; 第三步:连接AB ,在A 处加上箭头,向量BA → 即为a -b . 作图如下: 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接,首尾连”;向量减法作图的特点是“共起点,连终点,箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ,以点A 为起点作AB → =a , AD → =b ,以AB ,AD 为邻边作?ABCD ,则AC →=a +b ,DB → =a -b .作图如下:

人教版-高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量; 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别; 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点:平行向量的概念和向量的几何表示; 难点:区分平行向量、相等向量和共线向量; 【自主学习】 1.向量的定义:__________________________________________________________; 2.向量的表示: (1)图形表示: (2)字母表示: 3.向量的相关概念: (1)向量的长度(向量的模):_______________________记作:______________ (2)零向量:___________________,记作:_____________________ (3)单位向量:________________________________ (4)平行向量:________________________________ (5)共线向量:________________________________ (6)相等向量与相反向量:_________________________ 思考: (1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____ (2)平行向量与共线向量的关系:____________________________________________ (3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别:__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正: (1)零向量是唯一没有方向的向量; (2)平面内的向量单位只有一个; (3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量; b c,则a和c是方向相同的向量; (4)向量a和b是共线向量,//

新人教A版必修1高中数学集合学案

高中数学 集合学案 新人教A 版必修1 一、选择题:(每小题6分,共30分) 1、① 12R =;②Q ;③3N +-?;④.Q 其中正确的个数为( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2、集合M={a ,b ,c}的真子集有:( ) A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 3、下列列集合中,表示同一集合的是( ) A 、M={(3,2)},N={(2,3)} B 、M={3,2},N={(3,2)} C 、M={(x,y)|x+y=1} N={y|x+y=1} D 、M={3,2},N={2,3} 4、集合A ={0,2,a},B ={1,a 2}.若A∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4 5、若集合A={x |kx 2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则实数k 的值为( ) A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、2 二、填空题(第1、2小题每格3分共30分,第3、4每小题5分,共40分) 1、用适当的符号填空((每 格2分,共14分) (1)A={x|2x-3<5x},B ={x|x ≥2},则有:-4 B ,-1 A , {3} B , B A (2)0 {x|x 2=0}; (3)? {x ∈R | x 2+2=0};(4)? {0} (5)A={x|x=3k,k ∈z}, B={x|x=3m,m ∈N},则A B 2、A={1,3,5},B={2,3,4},则A∪B = ,A∩B= 3、若-3∈{x-1,3x,x 2+1},则x= 4、已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a -5,1-a,9},若A∩B={9},则a= 三、解答题:(每小题10分,共30分) 1、已知集合}52|{≤<=x x A ,}101|{<≤-=x x B ,求B A ?,)(A C B R ? 2.已知集合A ={1,3,5},B ={1,2,x 2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x 及A∩B.

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