高考数学二轮复习专题选讲
高考数学二轮复习专题选讲
数列
一.考试内容与要求
1．考试内容
数列、等差（比）数列的定义、性质的应用及其通项公式、前n项和公式.
2．考试要求
知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项.
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力.
二．热点透视
1．命题热点
纵观近几年的全国数学高考试题，数列约占总分的10%—15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了“小、巧、活”的特点；
解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。
2．考查热点
回顾过去，展望未来，数列在今后高考中，仍将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。
三、本专题计划四课时
课时一等差数列与等比数列
一、 教学目标、重点、难点：
1、掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式、中项、性质，并能在解题中灵活运用。
2、注重等差数列与等比数列的区别和联系，类比与转化。
3、重视数列的相关运算经验与技巧的总结并练好运算基本功。 二、 训练反馈：
1．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次
方程bx 2－2ax+c=0（ ） A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个同号的相异的实数根
D ．有两个异号的相异的实数根
2．某人为了观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储
蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）
A ．7
)1(p a + B ．8
)1(p a +
C ．
)]1()1[(7p p p a
+-+ D ．
()()[]
p p p
a
+-+118 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,0122
11==-+-+-m m m m S a a a ，则
m 等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9 4．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N*满足以下运算性质：（1）2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则2n*2用含n 的代数式表示为 . 5．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝
的前n 项和，且1
2+=n n R T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ．
二、典型例题：
例1：设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列
{
}n
S n
的前n 项和，求n T
例2：（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加1000元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。请你选择。 （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
例3： 已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，+∈N b ，且32211a b a b a <<<<． （1）求a 的值；
（2）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；
（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3， +∈N m 的项从小到大依
次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T }{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T )(+∈N n ．
等差数列与等比数列巩固与练习
1．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（即沿对边中点的连线折叠）7次，
这时报纸的厚度和面积分别为（ ）
A 18,8a b
B ．164,
64a b C ．1128,128
a b D ．1
256,
256
a b 2.等差数列{}m a 中共有n 2项，其中奇数项之和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n 则该数列的公差为（ ）
A ．3 B.－3 C.－2 D.－1
3、三个数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是 （ ） A ．10,3
??????
B ．11,3??--???
? C ．10,3
??????
D ．[)
11,00,3??
- ???
4．等差数列{}n a 的前n 项和记作S n ，若1542a a a ++的值为一个确定的常数，则下列各
数中也是常数的是 （ ） A ．S 7 B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
5．已知数列{}n a 满足：*112
14,()3
n n a a a n N +==-
∈，则使20n n a a +<成立的n 的值是 ．
6．若数列}{n a ，)(*
N n ∈是等差数列，则有数列)(*21N n n
a a a
b n
n ∈+++=
也为等
差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n C 是等比数列，且)(0*
N n C n ∈>，则有
=n d __________)(*N n ∈也是等比数列．
7．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，n a 是n S 与—3的等差中项，求证：数列{}n a 成等比数列，并求通项公式n a 。
8．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且1,a 3,a 9a 成等比数列，2
55S a =
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 若数列{}n b 满足21
1
n n n n n b a a +++=求数列{}n b 的前99项的和。
等差数列与等比数列参考答案
训练反馈:
1． A 2.D 3.C 4. 3n —
1 5.
919
典型例题：
例1：解：7111517627 22
1514 1
15752S a d a d S a d ??
=+
=?
=-?????
?=?
?=+=??
∴2(1)152222n n n S n n n -=-+
=-设15
22
n n S b n n ==- 可证{}n b 为等差数列 215(2)
1922244
n n n T n n -+-=
=- 例2：解：设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ；
设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n ；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元。 方案2共加薪T 20=b 1＋b 2＋……＋b 20=20×300＋3002
)120(20?-?=63000元；
(2)设在该公司干n 年，两种方案共加薪分别为：
S n =a 1＋a 2＋……＋a n =1000×n ＋10002
)
1(?-n n =500n 2＋500n
T 2n =b 1＋b 2＋……＋b 2n =2n ×300＋3002
)12(2?-?n n =600n 2＋300n
令T 2n ≥S n 即：600n 2＋300n>500n 2＋500n ，解得：n ≥2，当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。 例3：解：（1）∵ b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ，
∴ ???+<<+.2，b a ab ab b a ∴ ???????
-<->.
121
b b a b b a ， ∴
???
????
-+<-+>.
1221
11b a b a ，∴ ??
?<>41a a ，． ∴ a ＝2或a ＝3（a ＝3时不合题意，舍去）． ∴a ＝2．
（2）b m a m )1(2-+=，1
2-?=n n b b ，由n m b a =+3可得
1
2
)1(5-?=-+n b b m ． ∴ 5)12
(1
=+--m b n ．∴ b ＝5
（3）由（2）知35-=n a n ，125-?=n n b ， ∴ 32531
-=-=-?n n m b a ． ∴ 3251-=-?n n C ． ∴ n S n
n 3)12(5--=，)15(2
1
-=
n n T n ． ∵ 211==T S ，922==T S ． 当n ≥3时，]121212[52---=-n n T S n
n n ]12
1
21)11[(52---+=n n n
]12121)1[523
21---++++=n n C C C n n n 0]12
1212)1(1[52=----++>n n n n n ．
∴ n n T S >． 综上得 n n T S ≥)(+∈N n 巩固与练习
1． C 2.B. 3.D 4．C 5.21 6. n
n C C C 21
7.解：依题意得3
2
n n s a -=
∴23n n S a =+ ① 1123n n S a ++=+ ② ②—① 1122n n n a a a ++=- 12n n a a +=
∵11123a S a ==+ ∴130a =-≠∴0n a ≠ ∴
1
2n n
a a += ∴数列{}n a 成等比数列公比为2，通项公式为1
32n n a -=-?
8.设数列{}n a 公差为(0)d d ?∵139,,a a a 成等比数列 ∴2
319a a a =
)2()21121d a a d a +=+（ d a d 12=
∵0d ≠ ∴1a d = ① ∵2
55S a = ∴21154
5(4)2
a d a d ?+
?=+ ② 由①②得： a 1= 53 d=53 ∴333
(1)555
n a n n =+-?=
（2）221251339(1)(1)55
n n n n n b n n n n ++++==?+?+2511
(1)91n n =+-+
12399b b b b ∴++++25111
1199(1)()(
)922399100??=
+-+-++-???
?
=41111
课时二用函数观点看数列
一、教学目标、重点、难点：
1、 数列是一种特殊的函数。
2、 解决数列问题时要注重利用函数的性质（单调性、周期性、最值等）去分析。
3、 注意结合函数知识对问题实施转化，再融入数列知识。 二、 训练反馈：
1、 如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2004应在（ ）
A 、
B 处 B 、
C 处 C 、
D 处 D 、
E 处
2、数列｛a n ｝，a n =（n+1）(1011
)n
(n ∈N * ) 则数列｛a n ｝中最大项为第 项 . 3、已知数列｛a n ｝中，a n = ??
?-+)
(12)
(23为偶数为奇数n n n n 的前n 项和为
S n ，则S 10= , S 15= , S n 的表达式为 4、已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =
1
an
bn +，其中均为a,b 均为正常数，那么a n 与a n+1的大小关系是（ ）