求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：由4x2－9y2＝36可解得：

3

3

3

x

y

x

?

->

?

?

==?

?

<-

??

。

说明：

这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成

3

y=±

的形式。

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：设

k

y

x

=

，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为

780

,0

y x

x

=>

。

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3. 已知

2

2

11

()

x x x

f

x x

+++

=

，试求

()

f x

。

解：设

1

x

t

x

+

=

，则

1

1

x

t

=

-，代入条件式可得：2

()1

f t t t

=-+

，t≠1。故得：

2

()1,1

f x x x x

=-+≠

。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例4. （1）已知

2

1

()2()345

f x f x x

x

+=++

，试求

()

f x

；

（2）已知

2

()2()345

f x f x x x

+-=++

，试求

()

f x

；

解：（1）由条件式，以

1

x代x，则得2

111

()2()345

f f x

x x x

+=++

，与条件式联立，消去

1

f

x

??

?

??，则得：

()2

2

2845

333

x

f x x

x x

=+--+

。

（2）由条件式，以－x代x则得：

2

()2()345

f x f x x x

-+=-+

，与条件式联立，消去

()

f x-

，则得：

()25

4

3

f x x x

=-+

。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发，顺次经过C 、D 再到A 停止。设x 表示P 行驶的路程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。

解：由题意知：当x ∈［0，1］时：y ＝x ；

当x ∈（1，2

）时：

y

当x ∈（2，3）时：

y =

；

故综上所述，有

[

],0,1(1,2](2,3]x x y x x ?∈=∈∈

考点二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例6. 求

3

4

x y x +=-的定义域。

解：由题意知：204x x +>???

≠??，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x ≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出，求其定义域

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （u ）的定义域可以确定内函数g （x ）的范围，从而解得x ∈I 1，又由g （x ）定义

域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

()()(())f x g x y f g x ==

=例8 已知求的定义域.

解：

()3()33f x x g x ≥?≥?

≥*

由

又由于x 2－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：

991344

|13x x x x x -+≤<<≤??≤<<≤?????或故所求定义域为或

例9. 若函数f （2x ）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。

解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－

1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－

1，2］，故log 2x ∈［2－

1，2］，

4x ≤，

故定义域为?

?。

4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。 例10.

求函数()f x

解：若0a =，则x ∈R ；

若0a

>，则1

x a ≥-； 若0a

<，则1x a

≤-

； 故所求函数的定义域： 当0a

=时为R ，当0a >时为1|x x a ??≥-????，当0a <时为1|x x a ?

?≤-???

?。

说明：此处求定义域是对参变量a 进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a 的不同取值范围分别论述。

考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法

例11. 求函数

23

1x y x +=

+的值域。

解：

()2112312111x x y x x x +++=

==+

+++，因为1

01x ≠+，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法

例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。

解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。

3、判别式法

例13. 求函数22

23

456

x x y x x ++=++的值域。

解：22

23456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0

可解得：26267171y ?-+∈???。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法 例14. 求函数

2

3y x

-=

+，x ∈［4，5］的值域。 解：由于函数23y x -=

+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝25；当x ＝5时，y max ＝513，所以函数的值域为513,25?????

?。

5、换元法 例15.

求函数2y x =+

解：

令0t =≥，则y ＝－2t 2＋4t ＋2＝－（t －1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y ≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

例16. 求函数2

,[1,2]

,(2,3]21,(3,4]x x y x x x x ∈??=∈??-∈?

的值域。

解：当x ∈［1，2］时，y ∈［1，2］；当x ∈(2，3］时，y ∈(4，9］；当x ∈(3，4］时，y ∈(5，7］。综上所述，y ∈［1，2］∪(3，9］。 7、图像法：

例17设f (x )＝2,2,

,<1,

x x x x ?????≥若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数y ＝g (x )的值域是 (

)

A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C.[0，＋∞)

D.[1，＋∞)

解析：如图为f (x )的图象，由图象知f (x )的值域为(－1，＋∞)，

若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).

故选B.

8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例18求函数1212x

x

y -=

+的值域。

解：由1212x

x

y -=

+解得12

1x

y

y

-=

+， ∵2

0x

>，∴

101y

y

->+，∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=

+的值域为

(1,1)y ∈-。

9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例19：求函数221

1

x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得2

(1)(1)y x

y -=-+，

∵

1y ≠，∴21

1

y x y +=-

-（x R ∈，1y ≠）， ∴1

01

y y +-

≥-，∴11y -≤<， ∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11

}y y -≤<

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc

函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常

⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分，得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4， ］ (0,］ 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。 (2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2 3 x 3，故函数的定义域是｛x | x (2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解：令 2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2 3，因此0 | x | 3，从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

复合函数定义域与值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义 域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋

⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ]

5、函数的定义域和值域答案

函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

函数的定义域和值域课件

函数的定义域和值域 学习目标： 1．了解构成函数的要素有定义域、对应法则和值域，会求一些简单函数的值域； 2．通过本节的学习，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯； 活动方案 活动一（目标：理解函数定义域的概念，复习巩固上一节课的定义域的相关内容，并能 熟练求出一个给定的函数的定义域。） 题型一：简单函数的定义域 巩固检测1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）21()1f x x = -； 小结：求简单函数的定义域时常考虑哪些因素？ 题型二：函数由两个及以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时的定义域 求下列函数的定义域： 巩固检测2．（1）y = （2）1()f x x = 小结：此种情况如何求定义域？ 题型三：复合函数的定义域 例1．（P24.5）若2 ()f x x x =- （1）此函数的输入值是谁？ （2）求(0),(1),(1)f f f x +； （3）函数(1)y f x =+的输入值又是谁？(2)y f x =呢？ 例2．求下列函数的定义域： （1）若()y f x =的定义域为]1,4?-?，则2()y f x =的定义域是 。 （2）若函数(1)y f x =+的定义域是]2,3?-?，则(21)y f x =-的定义域 是 。 活动二（目标：理解函数值域的概念，并能熟练准确地求出一个给定的函数的值域。） 阅读课本P23中间关于值域的内容，思考以下问题： （1）函数的值域是怎样定义的？ （2）函数的值域与定义中集B 有怎样的包含关系？ （3）函数的定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，这三者之间的关系怎 样？

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)＝x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围； 2. 设f (x )=lg(x 2 －2x +a )的定义域为R ，求a 的取值范围； 3.设函数y = 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.

题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y ＝ 2x －1 x ∈[1，3] (2) y ＝ －3x +1 x ∈[－1，2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[－1，1] 最大值为2,最小值为－4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y ＝x 2－5x ＋6 x ∈[－2，1] ⑵y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[1，3] ⑶y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[2，4] (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[3，5] (5) f(x)= x 2－2ax －2 x ∈[－2，4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值.

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。

函数定义域值域及表示

函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

高考数学函数求值域的十二种方法

高考数学函数求值域的十二种方法 出国留学高考网为大家提供高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 高考数学函数求值域的十二种方法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3｝. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝) 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定 义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域 为{y∣y1｝) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利 用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时- x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值 域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注 意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x- 5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判 别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。 ∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于 方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应 于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

函数定义域、值域、解析式习题及答案

一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域

三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是