高等数学经典考试题答案回顾(考前复习必备)
高等数学经典考试题回顾（考前复习必备） 试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分
（1
）函数
z =+
的定义域）为 （2）已知函数
arctan
y z x =，则z
x ?=
?
（3）交换积分次序，2
220
(,)y y dy f x y dx
?
?
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则
()L
x y ds +=?
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=??
--+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交
（2）设
是由方程xyz (1,0,1)-处的dz =
（ ）
A.dx dy +
B.dx
D.dx （3）已知Ω是由曲面2
2
2
425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω
+???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
225
30
d r dr dz
πθ?
?? B.
245
30
d r dr dz
πθ?
?? C.
22
5
3
50
2r
d r dr dz
πθ?
?? D.
22
5
2
d r dr dz
π
θ?
??
（4）已知幂级数12n
n
n n x ∞
=∑，则其收敛半径
（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. （5）微分方程3232x
y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）
A.
B.()x ax b xe +
C.()x
ax b ce ++
D.()x
ax b cxe ++
三、计算题（每题8分，共48分）
1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：
21211x y z
+-==
的平面方程 2、 已知22
(,)z f xy x y =，求z
x ??， z y ??
3、 设22
{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2D
x dxdy ??
4、 求函数22
(,)(2)x
f x y e x y y =++的极值
5、计算曲线积分2
(23sin )()y
L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t
y t =-??=-?从点
(0,0)O 到(,2)A π的一段弧
6、求微分方程 x
xy y xe '+=满足 11x y ==的特解
四.解答题（共22分）
1、利用高斯公式计算2
2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-?? ，其中∑
由圆锥面z =与上
半球面z =
所围成的立体表面的外侧 (10)
' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞
--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）
（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1n
n nx
∞
=∑的和函数（6'）
高等数学（下）试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
（1
）函数
z =
的定义域为 ； （2）已知函数xy
z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；
（3）交换积分次序，
ln 1
(,)e x dx f x y dy
?
?
＝ ；
（4）已知L 是抛物线2
y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之
间的一段弧，
则L
d s
=?
；
（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为300x y z x y z ++=??
--=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；
A. 0
B. 2π
C. 3π
D. 4π
（2）设(,)z f x y =是由方程33
3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）；
A. 2yz xy z -
B. 2yz z xy -
C. 2xz xy z -
D. 2
xy z xy -
（3）微分方程256x
y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；
A.2()x
ax b e + B.2()x
ax b xe + C.2()x
ax b ce ++ D.2()x
ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2
2
2
2
x y z a
++=所围成的闭区域, 将dv Ω
???在球面坐标系下化成
三次积分为（ ）； A
22
2
sin a
d d r dr
ππθ???
?? B.
220
a
d d rdr
ππθ??
??
C.
20
0a
d d rdr
ππθ??
?? D.
220
sin a d d r dr
π
π
θ???
??
（5）已知幂级数1212n
n
n n x ∞
=-∑，则其收敛半径
（ ）.
2
B. 1
C. 1
2 D.
三．计算题（每题8分，共48分）
5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .
6、 已知(sin cos ,)x y
z f x y e +=，求z
x ??， z y ?? .
7、 设
22
{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctan
D
y
dxdy x ?? .
8、 求函数
22
(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x
x L
e
y y dx e y dy
-+-?
，其中
L 为沿上半圆周222
(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.
6、求微分方程 3
2
(1)1y y x x '-=++的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin
3n n n n π
∞
-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
敛；
（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n
n x n ∞
=∑的和函数 .
2、(12)'利用高斯公式计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++??，∑为抛物面
22z x y =+(01)z ≤≤的下侧
高等数学（下）模拟试卷三
一． 填空题（每空3分，共15分）
1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .
2、2
2
(2)lim 332n n n n →∞++-= .
3、已知
2
ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分
1200621
(sin )x x x dx -+=
?
.
5、求由方程5
7
230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy
dx =
.
二．选择题（每空3分，共15分）
1、2x =是函数
22
132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡
2
、积分10
?
= .
(A) ∞ (B)-∞
(C) 0 (D) 1
3、函数
1x
y e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。 （A ）单调增加； （B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
4、
1sin x
tdt
?的一阶导数为 .
（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -
5、向量{
1,1,}a k =- 与{2,2,1}b =--
相互垂直则k = . （A ）3 （B ）-1 （C ）4 （D ）2
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限1
23lim(
)
21x x x x +→∞+-
2、求极限30sin lim
x x x x →-
3、已知ln cos x
y e =，求dy dx
四．计算题（4小题，每题6分，共24分）
1、已知221t x y t ?=
???=-?，求22
d y dx
2、计算积分
2cos
x xdx ?
3、计算积分
1
arctan xdx ?
4
、计算积分
?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'求函数42
341
y x x
=-+的凹凸区间及拐点。
2、(8)'设1
1
1
()
1
1x
x
x
f x
x
e+
?
≥
??+
=?
?<
?+
?求
2
(1)
f x dx
-
?
3、（1）求由
2
y x
=及2y x
=所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷四一．填空题（每空3分，共15分）
1、
函数
1
y x =
的定义域为 .
2、
,0
ax e dx a +∞->?= .
3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = .
4、定积分1
2
1sin 1x
dx x -+?= .
5、函数43
341y x x =-+的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）
1、1x =是函数
211x y x -=
-的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃
（C ）无穷 （D ）振荡
2、若
()
0,(0)0,(0)1,lim
x f ax a f f x →'≠==-==
(A)1 (B)a
(C)-1 (D) a -
3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是 。
（A ）单调增加； （B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
4、已知向量{4,3,4}a =- 与向量{2,2,1
}b =
则a b ? 为 . （A ）6 （B ）-6
（C ）1 （D ）-3
5、已知函数()f x 可导，且
0()f x 为极值，()
f x y e =，则
x x dy dx
==
.
（A ）0()
f x e （B ）
0()
f x ' （C ）0 （D ）0()f x
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限10
lim(1-)
k x
x kx +→
2、求极限12cos 2
sin lim
sin x
x t dt
x x
→?
3、已知1ln sin
x
y e
=，求dy dx
四． 计算题（每题6分，共24分）
1、设10y
e xy --=所确定的隐函数()y
f x =的导数0
x dy
dx
=。
2、计算积分
arcsin xdx
?
3
、计算积分
π
?
4
、计算积分
,0
a >?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'已知2223131at x t at
y t ?=??+??=?
+?，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，1ln ln 1a b a
a b b -<<
- 3、（1）求由3
y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕
y 轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷五
一． 填空题（每空3分，共21分）
1．函数y y x z )ln(-=
的定义域为 。
2．已知函数2
2y x e
z +=，则=
dz 。
3．已知xy e z =，则=
??)
0,1(x
z
。
4．设L 为12
2=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=
?ds L
2 。
5．交换积分顺序?
?=
x e
dy y x f dx ln 0
1
),( 。
6.级数∑∞
=-1)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程x y sin ='的通解为 。
二．选择题（每空3分，共15分）
1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（ ）条件。
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充分必要
D ．既非充分，也非必要
2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。
A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．3π
3．幂级数∑∞
=-1)5(n n n
x 的收敛域为（ ）。
A ．[)6,4
B ．()6,4
C ．(]6,4
D ．[]6,4
4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠
)()
(21x y x y 常数，则下列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。
A ．)()(211x y x y c y +=
B ．)()(221x y c x y y +=
C ．)()(21x y x y y +=
D ．)()(2211x y c x y c y +=
5．???Ωzdv 在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3z z ==所围的闭区域。
A ．
033
3
dx dy zdz
?
?? B ．
333
dx dy zdz
?
?? C ．
303
3
dx dy zdz
?
??
D ．
33
3
dx dy zdz
???
三．计算下列各题（共21分，每题7分）
1、已知0ln =-+xy e z z
，求
y z x z ????,。 2、求过点)2,0,1(且平行直线3221
1z
y x =
-+=-的直线方程。 3、利用极坐标计算??
+D
d y x δ)(22，其中D 为由
42
2=+y x 、0=y 及x y =所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）
1、利用格林公式计算曲线积分dy y x xy dx e y x L
)sin 52()(22++++?
，其中L 为圆域D ：
422≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。
2、判别下列级数的敛散性：
∑∞
=--11
1
)
1()1(n n n 2
1(2)3n
n n ∞
=∑
五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）
1、求函数1
3321
),(23++--=y x y x y x f 的极值。
2、求方程x
e y dx dy
-=+满足20
==x y 的特解。 3、求方程282x
y y y e '''+-=的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题3分,共21分.）
1．函数arccos()z y x =-的定义域为 。
2．已知函数ln()z xy =，则
()
2,1z
x ?=? 。
3．已知
()
22sin z x y =+，则=dz 。
4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2L
ds =
? 。
5
．将1
220
()dx f x y dy
+??
化为极坐标系下的二重积分 。
6.级数∑∞
=-12
)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程2y x '=的通解为 。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（ ）条件。
A ．必要非充分，
B ．充分，
C ．充分必要，
D ．既非充分，也非必要，
2．直线
22
:
110x y z l -+==与平面:23x y z π++=的夹角为（ ）。
A ．6π
B ．3π
C ．2π
D ．4π
3．幂级数2
13n
n n x n ∞
=∑的收敛域为（ ）。
A ．(3,3)-
B ．[3,3]-
C ．(3,3]-
D ．[3,3)-
4.设*
()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程()y p x y '''+()q x y +
0=的通解，则下列（ ）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。
A ．()y x
B ．*()()y x y x -
C ．*()y x
D ． *
()()y x y x +
5．
2z dv Ω
???在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为2222
x y z R ++≤的上半
球体。
A ．
220
R R
d rdr z dz
πθ?
?? B ．
220
R r
d rdr z dz
πθ???
C
．
22
R
d dr dz
πθ?
? D
．
220
R
d rdr dz
πθ?
?
三、计算下列各题（共18分，每题6分）
1、已知3
35z xyz -=，求y z x z ????,
2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。
3、计算
22()D
x y dxdy +??，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）
1、计算曲线积分2()(sin )L x y dx x y dy --+?，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(到
)1,1(的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：
xdydz ydzdx zdxdy
∑
++?? ，其中∑是由
220,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
)1(21(1)ln n
n n ∞
=-∑ n
n n
3sin 4)2(1π∑∞= 五、求解下列各题（共21分,每题7分）
1、求函数1
231
63),(232++-+=y y x x y x f 的极值。
2、求方程x
dy
y e dx -=满足
1x y ==的特解。
3、求方程=+'-''y y y 65(1)x
x e +的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一． 填空题（每空3分，共24分）
1
．二元函数
z =
的定义域为 2．一阶差分方程
12135t t y y +-=
的通解为 3．y
z x =的全微分=dz _
4．0ydx xdy -=的通解为 ________________
5．设x y
z arctan
=，则z x ?=?______________________
6．微分方程250y y y '''-+=的通解为
7．若区域{
}
4|),(2
2≤+=y x y x D ，则
??=
D
dxdy 2
8．级数012n
n ∞
=∑的和s=
二．选择题：（每题3分，共15分）
1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的 条件
（A ）充分而非必要 （B ）必要而非充分
（C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要
2
．累次积分10
(,)dx f x y dy
?
改变积分次序为
(A) 11
(,)dy f x y dx
?
? （B
）
10
0(,)dy f x y dx
? （C ）
210
(,)y dy f x y dx
?
?
（D ）
211
(,)y
dy f x y dx
?
?
3．下列函数中， 是微分方程356x
y y y xe '''-+=的特解形式(a 、b 为常数)
（A ）x
e
b ax y 3)(+= （B ） x
e
b ax x y 3)(+=
（C ）x
e b ax x y 32
)(+= （D ） x
ae y 3= 4．下列级数中，收敛的级数是
（A ） ∑∞
=+1121
n n （B ） 121n n n ∞
=+∑ （C ） 1
(3)2n
n n ∞
=-∑ （D ） 1
(1)n
n n ∞
=-∑
5．设222
4x y z z ++=，则z x ?=?
(A) x z (B) 2x z - (C) 2x z - (D) x z -
三、求解下列各题（每题7分，共21分）
1. 设2ln ,,34x z u v u v x y y ===-而，求
y z x z ????, 2. 判断级数1
32n
n
n n ∞
=∑的收敛性 3.计算
2
2
x
y D
e dxdy
+??，其中D 为
22
1x y +≤所围区域
四、计算下列各题（每题10分，共40分）
1. 求微分方程1
ln y y x
x '-=的通解.
2.计算二重积分
()D
I x y dxdy
=+??，其中D 是由直线,1y x x ==及x 轴围成的平面区域.
3.求函数
32
(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值. 4.求幂级数21
4n n
n x n ∞
=?∑的收敛域.
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 {(,)|0,0}x y x y x y +>->
2、2
2y
x y -+ 3
、4102(,)x dx f x y dy ?
4
5、312x x
y C e C e -=+
二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C 2.D 3.C 4A 5.D
三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： 12(1,2,3)
{1,0,1}{2,1,1}A s s →→
=-= 2'
121
01321
1
i
j k
n s s i j k
→
→
→
→
→
→
→→→
=?=-=-+ 6'
∴平面方程为 320x y z -++= 8'
2、解： 令
2
2u xy v x y == 2' 2122z z u z v f y f xy x u x v x ?????''=?+?=?+?????? 6'
2122z z u z v f xy f x y u y v y ?????''=?+?=?+?????? 8'
3、解：:0202D r θπ
≤≤≤≤， 3' 22
23
2
2
30
cos cos D
D
x dxdy r
drd d r dr
πθθθθ∴
==?????
?4π= 8'
4．解： 222(,)(2241)0(,)(22)0x x x y
f x y e x y y f x y e y ?=+++=??=+=?? 得驻点1(,1)2- 4'
2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x x xx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+== 6'
2220,40A e AC B e =>-=>∴ 极小值为11(,1)22f e
-=- 8'
5．解：223sin ,y
P xy x Q x e =+=-，有2,P Q x y x ??==∴??
曲线积分与路径无关 2' 积分路线选择：1:0,L y x =从0π→，2:,L x y π=从02→ 4'
1
2
2(23sin )()y L
L L xy x dx x e dy Pdx Qdy Pdx Qdy
++-=+++?
??
2
2220
3sin ()27
y xdx e dy e π
ππ=+-=-+?? 8'
6．解：
11
,x x y y e P Q e x x '+
=?== 2'
∴通解为
1
1
()()[()][]
dx dx P x dx
P x dx x x
x y e Q x e dx C e e e dx C --???
?=+=+?? 4'
11
[][(1)]
x x e xdx C x e C x x =?+=-+? 6'
代入11x y ==，得1C =，∴特解为1[(1)1]x y x e x =-+ 8'
四、解答题
1、解：
2
2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv ∑
Ω
Ω
+-=+-=???????? 4'
3cos sin r drd d ??θ?
Ω
=??? 6'
方法一：
原式＝2340
cos sin 2d d dr π
ππ
θ???=
?
??
10'
方法二：
原式＝
21
1
20
2(1)2r
d rdr r r dr ππ
θπ=-=
?
??
? 10'
2、解：（1）令11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞
+-→∞→∞=+=?=<∴∑收敛， 4'
11
1
(1)3n n n n
∞
--=∴-∑绝对收敛。 6' （2）令
111
1
()()
n
n n n s x nx x nx xs x ∞∞
-=====∑∑ 2'
1
1120
1
1
1()()()11(1)x x
n n n n x x s x dx nx dx x s x x x x ∞
∞
-=='===
?==---∑∑?
? 5'
2
()(1,1)
(1)x
s x x x ∴=
∈-- 6'
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 222{(,)|4,01
}x y y x x y ≤<+< 2、22
2e dx e dy + 3、10
(,)y e
e
dy f x y dx
?
?
4
、1
1)12 5、12()x
y C C x e =+
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A 三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： 12(0,2,4)
{1,0,2}{0,1,3}A n n →→
==- 2'
121
223013
i
j k
s n n i j k
→→
→
→
→
→
→→→
=?==-++- 6'
∴直线方程为242
31x y z --==
- 8' 2、解： 令sin cos x y u x y
v e +== 2'
12cos cos x y
z z u z v
f x y f e x u x v x +?????''=?+?=?+?????? 6'
12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y +?????''=?+?=?-+?????? 8'
3、解：
:001
4
D r π
θ≤≤
≤≤， 3'
2
1400arctan 64D D
y dxdy r drd d rdr x ππ
θθθθ∴===
?????? 8' 4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=???
=+=?
? 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'
220,200A AC B =>-=>∴ 极小值为(3,1)8f -=- 8'
5．解：
sin 2,cos 2x
x P e y y Q e y =-=-，
有cos 2,cos ,x x P
Q
e y e y y
x ??=-=??2'
取(2,0),
:0,A a OA y x =从02a → 4'
L Pdx Qdy Pdx Qdy +++??2
()2D D Q P dxdy dxdy a x y
π??=-==?????? 6'
∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +?＝22
0a a ππ-= 8'
6．解：3
2
1,(1)1P Q x x =-=++ 2'
∴通解为
11
3()()112[()][(1)]
dx dx P x dx
P x dx
x x y e Q x e dx C e x e dx C --++???
?=+=++?? 4'
1
3
2
22
(1)[(1)](1)[(1)]
3x x dx C x x C =+++=+++? 8'
四、解答题
1、解：（1）令
1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin
23lim lim 1
32sin 3n n n n n n n n
u u π
π+++→∞→∞==<4'
1
2sin
3n n n π
∞
=∴∑收敛，
11
(1)2sin
3n n n n π
∞
-=∴-∑绝对收敛 6'
（2）令
1()n
n x s x n ∞
==∑
111
1()1n n n n x s x x n x ∞
∞-=='??'===
?-??∑∑， 2' 0
()()(0)ln(1)
x
s x s x dx s x '?=+=--? 4'
2、解：构造曲面
1:1,z ∑=上侧
1
22xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
∑
∑+++++???? 2'
221
1
0(211)44r dv dv d rdr dz πθΩ
Ω
=++==???????
??120
8(1)2r rdr ππ
=-=?
4' 6' 8'
1
22I xdydz ydzdx zdxdy
π∑∴=-++?? 10'
2xy
D dxdy ππ
=-=?? 12'
高等数学（下）模拟试卷三参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.10
X x ≤≠且；2.1a ；3. 2dx ；4.0；5. 20,3??????或20,3?? ??? 二．选择题：（每空3分，共15分） 1.;2.;3.;4.;5..A D A A C
三．计算题：
1.
()
()
1
()420
lim 11k k
k
kx
x kx kx e ?-'
'
--→=-?-=
2.
1
22222cos 3
2
0sin (sin cos )(sin )
lim
lim 3x
x x t dt x x x
x '
'
'
→→---===∞
?
3.
1
1lnsin lnsin 422211111cos cot
1sin x x dy e e dx x x x x
x '
'
??=-=- ?
??
四．计算题：
1.
2130
0;0,0;
y x y x dy y e y y xy x y dx
e x '''
==''--====
=-；
2.
原式
222sin sin (1)
xarc x xarc x x ''
=-=+-?
2sin xarc x c
'
=
3. 原式33323122
2
2
2
4(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x π
π
π
π'
''==-=
???
4.
原式223210
'
'
'
?===?。
五．解答题: 1
．
2111224612,2,,,,:43120,1355
t a a y t k x y x y a t '
'
'
''
'===-==+-=-1切线法线：3x-4y+6a=0
2.
]2221
1ln ln 1()ln ,,,0,ln ln (),,a b f x x x b a a b a b a b b a a a b b
ζζ'
'
'
-=∈>>-=-<<<<
-设3.（1）
2
42
32220
4
4x S x dx '
'
'
??=== ?
???
（2）、
8
25
8
2
2233003644455y V y dy y y πππ
'''
????=-=-= ? ??????
高等数学（下）模拟试卷四参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.24x ≤≤；
2.13；
3. dx ；
4. 2
3；5. 64
12125x y ++。
二．选择题：（每空3分，共15分）
1. C ；
2. D ；
3. B ；
4. B ；
5. C 。
三．1.
23332
5322(2)333111222lim lim 111111222x x
x x x x x x e x x x ?'
'-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?--- ???
????
2.
2
22222002sin 1cos 12
lim
lim 336x x x
x x x '''
→→-===
3.331(sin )cot cos x x x x
x
dy e e e e dx e ''
=?-?=-
四．
1.
222
2
3
221
1,d y t y t t dx t '
''
-'=-=
=；
2.
42222sin sin sin 2sin 2cos 2sin x d x x x x xdx
x x x x x c
'
'
==-?=+-+??
3.
21
212120
201ln(1)ln 2arctan 1424
2x x x x dx x ππ
'''
+=-?=-=
-
+?
4.
2212
10
sin 2,22t x t t tdt t π
π'
'
'
'
??===+=
????。
五．解答题
1.()3222121212,3624,20,3220033y x x y x x x x '
'
''''=-=-==????-∞+∞ ? ?????24为拐点，
，、，为凹区间，， 为
凸区间
2.
12112
001011
,111(1),(2)(2)ln ln(1)ln (2)
11,11x
x x
x
x x f x dx dx e e x e x x e ?≥??'''-==+=-++?+?
1ln(1)2ln 2(2)
e '=-++
3.（1）
、
)
1
3
31
2422
2
0213
33
x x dx x ''
'
??==-=
?
???
（2）、()1
251
44220
32510
x x x V x x dx
πππ'
'
'
??=-=-=
?
???
高等数学（下）模拟试卷五参考答案
一、填空题：（每空3分，共21分）
1、
{}0,),(≠>y y x y x ， 2
、
dy ye dx xe y x y x 2
22222+++，3、0,4、2π，
5、?
?e e y
dx
y x f dy ),(1
，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B
三、解：1、令
xy e z z y x F z
-+=ln ),,(1' z z x ze yz F F x z +=-=??1 4'
z z y ze xz F F y z +=-=??1 7'
2、所求直线方程的方向向量可取为{
}3,2,1-2' 则直线方程为：32
21
1-=-=-z y x 7' 3、原式
??=2
340
dr
r d π
θ4'
π= 7'
四、解：1、令
52,2,
sin 52),(,),(22+=??=??++=+=y x Q y y P y x xy y x Q e y y x P x 3'
原式
dxdy y P
x Q D
)(
??-??=??6'
π20= 8'
2、)1( 此级数为交错级数 1'
因
1lim
=∞
→n
n ，
11
1
+>
n n ),2,1( =n 4'
故原级数收敛 6'
(2) 此级数为正项级数1'
因13133)1(lim 2
12
<=++∞→n n n n n 4' 故原级数收敛 6'
五、解：1、由
033),(2
=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(- 2'
在)3,1(处 1
)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A
因
,02
<-B AC ，所以在此处无极值 5' 在)3,1(-处
1
)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A
因
0,02
<>-A B AC ，所以有极大值215
)3,1(=
-f 8'
2、通解
?
+?=--?dx
dx
x e c dx e e y 1][ 3'
x
x ce xe --+= 6'
2
0===c y x
特解为x
e x y -+=)2( 8'
3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 0822=-+r r
有两不相等的实根4,221-==r r 所以对应的齐次方程的通解为 x x
e c e c y 4221-+=（21,c c 为?常数） 3'
)2设其特解*
()x
y x ae =
将其代入原方程得
2
52,5x x ae e a -==-
故特解
*2
()5x
y x e =-6' )3原方程的通解为2412x
x
y c e c e
-=+25x
e -7'
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
1、{}11),(+≤≤-x y x y x ，
2、21
，3、dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22222+++,
4、22，
5、1
22
()d f r rdr
π
θ?
?，6、绝对收敛，7、c x y +=2
（c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D
三、解：
1、令53),,(3
--=xyz z z y x F 2'
xy z yz F F x z z x -=-=??2 4'
xy z xz F F y
z z y -=-=??2
6' 2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'
则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6'
3、原式dy
y x dx x
??+=0
2210
)(4'
31=
6'
四、解：1、令
2(,),(,)(sin ),
1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'
原式
1
1
20
(0)(1sin )x dx y dy
=--+??6'
5
cos13=-
7' 2、令z R y Q x P ===,,2'
原式
(
)P Q R dv x y z Ω
???=++??????5'
3dv
Ω
=???7' π9=8'
3、)1( 此级数为交错级数 1'
因0
ln 1lim =∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2( =n 4'
故原级数收敛 5'
(2) 此级数为正项级数1'
因1
3
43sin 43sin
4lim 11>=++∞→n
n n n n π
4' 故原级数发散 5'
五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，04),(2
=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(--
3'
在)0,1(-处 4
)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因0,02
>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5' 在)4,1(-处
4
)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因,02
<-B AC ，所以在此处无极值 7'
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
大学高等数学(文科)复习重点
第一章 预备知识 一、定义域 1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。答案：(0,1) 2. 求32233 ()6 x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域围都是连续的。 答案：()()(),33,22,-∞--+∞ 二、判断两个函数是否相同？ 1. 2 ()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同 ()2ln 1 (1) (),()1 1 (2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性 1. 判断()2x x e e f x --= 的奇偶性。答案：奇函数 四、有界性 , 0?∈?>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。 有界函数既有上界，又有下界。 1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 是否有界？答案：无界 2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2 211<+x x 五、周期性 1. 下列哪个不是周期函数（C ）。 A ．sin , 0y x λλ=> B ．2y = C ．tan y x x = D ．sin cos y x x =+ 注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。 六、复合函数 1. 已知[]()f x ? ，求()f x 例：已知10)f x x x ??=+> ??? ，求()f x 解1：
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.
大一文科高数试题
一、填空题（每小题1分，共10分） ________ 1 1．函数y＝arcsin√1－x2＋——————的定义域为 _________ √1－ x2 _______________。 2．函数y＝x＋ex上点（ 0，1 ）处的切线方程是______________。 f（Xo＋2h）－f（Xo－3h） 3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ——————————————— h→o h ＝ _____________。 4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是 ____________。 x 5．∫—————dx＝_____________。
1－x4 1 6．lim Xsin———＝___________。 x→∞X 7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。 _______ R√R2－x2 8．累次积分∫ dx∫ f（X2 ＋ Y2）dy 化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 d3y 3 d2y 9．微分方程———＋——（———）2的阶数为____________。 dx3 x dx2 ∞∞ 10．设级数∑ an发散，则级数∑ an _______________。 n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， 1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分） （一）每小题1分，共10分 1 1．设函数f（x）＝——，g（x）＝1－x，则f〔g（x）〕＝（） x 1 1 1 ①1－——②1＋——③————④x x x 1－ x 1 2．x→0 时，xsin——＋1 是（） X ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
2019文科高数综合练习题附答案
2019文科高等数学综合练习答案 一． 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．下列函数中是偶函数的一个是------------------------- （ D ） （A ）； （B ）； （C ）； （D ）. 2．下列函数相同的是------------------------------------------------------（ A ） （A ）与 （B ）与 （C ）与 （D ）与 3.下列哪个函数是偶函数----------------------------------------（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 4. 极 限 -----------------------------------------------------（ C ） (A) (B) (C) (D) 5.下列各式中正确的是----------------------------------------（ C ） A. B. C. D. 6．当时，不是无穷小量的是-----------------------------（ A ） （） （） （） （） 7.函数在处有定义是在处有极限的-----------------（ D ） A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 x x y sin +=x x y cos sin +=x x y +=2x x y cos 2+=y x =y =2log y x =2log y x =2x y x =y x =24 2 x y x -=+2y x =-1 y x x =+ 2sin y x =x x y cos sin +=2=y 2lim 1x x x →∞ ??+= ??? e 1e -2e 12 e e x x x =+∞ →1 )1(lim e x x x =+→)1(lim 10 e x x x =--∞ →)1(lim 11 10 )1(lim -→=-e x x x +∞→x A x x 1sin B x x sin C 21x D 11-x e )(x f y =0x )(x f y =0x
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
大学文科高数试题及答案
文科高等数学 一、填空题 1、函数x x f -=51 )(的定义域是（5,∞-） 2、已知极限32 lim 22=-+-→x k x x x ,则2-=k 。 3、曲线），在（211+= x y 处切线斜率是：21 4、设x x y 2=，则)1(ln 2'2+=x x y x 5、若??+=-+=C x dx x f C x dx x f )1()(，则 6、已知)(cos x f x 是的一个原函数，则?+-=C x x x dx x xf sin cos )(。 二、选择题 1、设{ }{}＝，则、、＝，、、M P M P /531321=（B ） A 、{}5 B 、{}2 C 、{ }1 D 、{}3 2、在112 +-?=x x e e x y 其定义域（∞∞-，）内是（B ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、有界函数 3、以下计算正确的是（D ） A 、)(22ex d dx xe x = B 、x d x dx sin 12=- C 、)1(2x d x dx -= D 、x dx x 3ln 21= 5、下列在指定区间是单调增函数的为（C ） A 、)1,1(,-=x y B 、),(,sin +∞-∞=x y C 、)0,(,2-∞-=x y D 、),0(,3+∞=-x y
6、已知的值为处有极小值，则在a x x x ax x f 11)(023=---=（A ） A 、1 B 、 3 1 C 、0 D 、3 1- 7、设函数3 2cos 21cos )(π=-=x x x a x f 在点处取得极值，则=a （C ） A 、0 B 、21 C 、1 D 、2 三、判断题 1、若有极限在点可导，则在点00)()(x x f x x f （V ） 2、极限d x e d bx x a =++ ∞→)1(lim （X ） 3、?+=C x f dx x f x xf )(21)(')(2222（X ） 4、已知.....718.2=e 是一个无理数，则? +=C x dx x e e （X ） 四、证明题 若?????=≠=0 ,00,1sin sin )(2x x x x x f 证明：处可导在0)(=x x f 证明：x x x x f x f x x 1sin sin lim )0()(lim 200→→=- ＝01sin sin sin lim 0=?→x x x x x 处可导在0)(=∴x x f 五、解答题 解不定积分?dx x x x 3sin cos 由原式＝????? ? ??-==x xd x dx x x x x x 233sin 121)(sin sin sin cos
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：
高等数学考试题库(含答案解析)
范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x.
(完整版)高等数学测试题及答案.docx
高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2