函数的单调性和奇偶性-典型例题
函数的单调性和奇偶性
例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．
解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．
评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．
（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．
分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．
解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．
评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．
例2判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝-
（2）f（x）＝（x-1）．
解：（1）f（x）的定义域为R．因为
f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜
＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：
（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．
（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．
例3已知函数f（x）＝．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．
解：因为f（x）的定义域为R，又
f（-x）＝＝＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．
其证明：取x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．
因为x1＜x2＜0，所以
x2-x1＞0，x1+x2＜0，
x21+1＞0，x22+1＞0，
得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．
评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．
例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）
＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．
分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝
- ＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．
解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．
∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，
∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①
函数单调性与奇偶性经典例题透析
函数单调性与奇偶性经典例题透析
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
函数单调性与奇偶性经典例题透析（一） 讲课人：张海青 授课时间：2014年9月23日 授课地点：教学楼二楼多媒体（二） 授课对象：高三文科优生 授课过程： 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴ ∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =；
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，
在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；
(完整版)函数单调性奇偶性经典例题
函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶 函数。 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 函数的奇偶性 一、典型例题 例1 判断下列函数的奇偶性 （1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1) ()|2|2 x f x x -=-- （3）2 2(0)()(0)x x x f x x x x ?+?? （4）22 ()11f x x x =-- （5）()11f x x x =-+- （6）22 11()11 x x f x x x ++-= +++ 例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3 ()(1)f x x x =+，则()f x 的解析 式为________________. 例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)2 5 (f 的值是________________. ②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21x f x =- ,则 =)2(f _____,21log 24f ? ? ?? ?的值是_________ . 例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 21 ()()1 f x g x x x += -+，求()()f x g x 的取值范围。 二、课后练习 1、判断下列函数的奇偶性 （1）x x y a a -=+ （2）x x y a a -=- （3）x x x x a a y a a ---=+ （4）1 1 x x a y a -=+ （5）1log 1a x y x -=+ （6）2 log (1)a y x x =+- （7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12x G x F x a ??=+ ?-?? 的奇偶性。 2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则 (1)f -=（ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____ 5、函数1 (1)1 y x x = ≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____ 6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2 )1()(-=x x f ;若当? ? ??? ?--∈2 1,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 4 3 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2)； (2)画出草图 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2). 举一反三： 【变式1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 解：(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为. 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 . 举一反三： 【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________. 解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）. 类型四、判断函数的奇偶性 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题 一、函数奇偶性的概念： ①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。 （如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =） ②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。 从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。 ③图像特征 如果一个函数是奇函数?这个函数的图象关于坐标原点对称。 如果一个函数是偶函数?这个函数的图象关于y 轴对称。 ④复合函数的奇偶性：同偶异奇。 ⑤对概念的理解： (1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。 (2))(x f 与)(x f -的关系： 当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或 1)() (=-x f x f 时为偶函数； 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或 1) () (-=-x f x f 时为奇函数。 二、函数的奇偶性与图象间的关系： ①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立； ②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。 三、关于函数奇偶性的几个结论： ①若)(x f 是奇函数且在0=x 处有意义，则(0)0f = ②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数； 偶函数?偶函数=偶函数；奇函数?奇函数=偶函数； 偶函数?奇函数=奇函数 ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性， 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 四．典型问题 （一）、关于函数奇偶性的判定 方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性 说明： （1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。 （2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。 （3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。 （4）函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。 1.判断下列函数的奇偶性： 1)x x x x f ++=1)(2； 2）()( 1f x x =- 3）()0f x = 4）()???≤+>+-=)0()0(2 2x x x x x x x f 5）()2 212-+-=x x x f 一、奇偶性概念考察 １、下面四个结论中,正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与ｙ轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f （x )＝0(x ∈R ) A ．１ B .２ C .３ Ｄ．４ 2、下列判断正确的是( ） A ．定义在R 上的函数f(x ）,若f(－1)=f(1）,且ｆ(－2）=f （2）,则f(x)是偶函数; B ．定义在Ｒ上的函数ｆ(x)满足ｆ(2)>f(1），则f(x)在R 上不是减函数； Ｃ.定义在R 上的函数ｆ（x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数； D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个。 ３、对于定义域为R 的任意奇函数f(x ）一定有( ) Ａ.ｆ(x)－ｆ(-x)＞０??B.ｆ(x ）-f(－x)≤0 C.f(ｘ）·ｆ(-ｘ)＜0?? D.f(x)·f(－ｘ)≤0 ４、)(x f 是定义在R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是( ) (Ａ)0)()(=+-x f x f (B ）)(2)()(x f x f x f -=-- (C))(x f ·)(x f -≤0 (D)1)()(-=-x f x f 二、判断函数奇偶性 １．下列函数中: ①ｙ=x 2(ｘ∈[-1，1])；?②y ＝｜x |; ;1)(x x x f +=③? ④ｙ＝x ３ (ｘ∈R ), 奇函数的个数是（ ) A ．1个 B .2个? C .3个? D .4个 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A 、y =x 4 (x ＜０) B 、y ＝｜x +１| C 、y =2x 2＋１ D 、y ＝3x －1 3.判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f -+-= 11)( (２)2211)(x x x f -+-= 函数的奇偶性典型例题 【知识要点】 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数的定义域内任意一个： ⑴ 是偶函数；⑵ 奇函数； ★函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的 条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个都 必须成立； ③、可逆性： 是偶函数；奇函数； ④、等价性：； ⑤、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称； ⑥、根据函数奇偶性可将函数分类为四类： 。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查与的关系，判断步骤如 下： 练1、判断下列各函数的奇偶性 ⑴、 ⑵、 ⑶、 ⑷、 ⑸、 ⑹、 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个 函数的定义域交集不为空集）：①两个奇函数的代数和是 函 数；②两个偶函数的和是 函数；③一个奇函数与一个偶函数的 和是 函数；④两个奇函数的积为 函数；⑤两个偶 函数的积为 函数；⑥一个奇函数与一个偶函数的积是 函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。（判断下列命题是否正 确，并说明理由。） 命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要 不充分条件。（ ） 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶 函数。 （ ） 命题3 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)+f(-x)是偶函 数，函数f(x)-f(-x) 是奇函数。 （ ） 命题4 任何一个定义在R上的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶 函数的和 （ ） 命题5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （ ） 判断函数的奇偶性_函数的奇偶性经典例题 沽 南 京大学附属中学陈建红 【编者话的】亲爱同的学，们数学学，习你一定非常视解重题，希望提高自的己解题能 吧．力是，解的是数学题学习的要形重式．么那怎样学，习解题呢？本刊辟特“举题法说专”栏， 水平．愿本栏目成为你的好朋友． １．判下断列函数的奇偶性． （１）－厂（ｚ）一（２ｚ一１）一．３ 否用 图法判象断？呢 画图的难点在哪里？显然在两个绝对 绝值对怎号么去，然当绝看值对号上述数函的定义域是，Ｒ直接画出二次值号上，数函的图，象可发现以该象既图不于关Ｙ轴里的 正负．＋１Ｉ里ｊ要与看一１的小大关 ｌ 一１Ｉ里看要与ｌ的大关小．从而系对称也，关不于点原对称所，以该函既数不系， 是奇函数也是不偶函数．在数轴上将实数ｚ分三个分部来讨论．当．ｒ （）一一（４－１）一（一１）一如我果用们定义来判断，有ｆ（）一一≤一１时， 一 ，２（一１一）一３，而厂（）＝＝＝２（１～）一３，不 ２ｘ；当一１＜ｚ＜１时，厂（）４一－１一（ｒ —一）２；当≥１时，，’（）一＋－Ｆ１（～１）一直能看接，出（）与厂（一ｚ）关的系，可通以２１ｘ下面只．要画分出段数 的函图象，奇偶过性举特例（～１）５一，厂（１）一一３，则（一） １≠厂 （１），且厂（一１≠一）（１），所以该函数既 自然 就明白了 ．不 是奇数也不函偶是数函． 有一需要说点，明判当断某函数是奇非 非偶函数时，举特例是可以的，但不用能 特此可由知，若个一函数的象图形状已知，可以虑用考图法来判象断函数的奇性．偶 ３）（）一． 例来说 明该函数具有奇性．偶比如个一数函满足－厂（一１）一－厂（１），则不说能明该函具数 偶有函的数特性． 2．4 函数的奇偶性 【知识网络】 1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】 例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ） ①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 提示：①不对，如函数21()f x x = 是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A ． （2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 提示：由2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［1,2a a -］，∴ (1)20a a -+=，∴3 1= a ．故答案为A ． （3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的 表达式是（ ） A ．(2)y x x =- B ．(||2)y x x =+ C ．||(2)y x x =- D ．(||2)y x x =- 提示：由0x ≥时，2()2f x x x =-，()f x 是定义在R 上的奇函数得： 当x ＜0时，0x ->，2()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=-- ∴(2)(0)()(2)(0)x x x f x x x x ≥???? ． 解：（1）由101x x +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数． 一、奇偶性概念考察 1、下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、下列判断正确的是（ ） A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数； B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数； C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数； D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个。 3、对于定义域为R 的任意奇函数f(x)一定有( ) A ．f(x)－f(－x)＞0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)＜0 D ．f(x)·f(－x)≤0 4、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=-- （C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1)()(-=-x f x f 二、判断函数奇偶性 1．下列函数中： ①y ＝x 2(x ∈[－1，1])； ②y ＝｜x ｜； ;1)(x x x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R )， 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A 、y =x 4 (x <0) B 、y =|x +1| C 、y =2x 2+1 D 、y =3x -1 3．判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f -+-= 11)( (2)2211)(x x x f -+-= 函数的奇偶性与周期性 提高精讲 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝ 2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.1 2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1 2(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ???? 12，b ＝f (2)， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A a >b ＝c B ．b >a ＝c C ．b >c >a D ．a >c >b 函数的奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.设函数的定义域为，且是奇函数，则实数a的值是( ) A. B.1 C. D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 2.已知函数是偶函数，那么是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断 3.已知是定义在上的奇函数，则下列函数：①； ②；③；④．其中为奇函数的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 5.已知在上是奇函数，且，当时，，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 6.已知函数是偶函数，且，则的值为( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 7.定义在R上的偶函数在区间[0，+∞)单调递增，则( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 8.若奇函数在[2，5]上是增函数，且最小值是1，则在[-5，-2]上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-1 答案：B 解题思路： 函数奇偶性 知识梳理 1.奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数y =f (x) 的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有f (-x) =-f (x) ，则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数y =f (x) 的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有f (-x) =f (x) ，则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数f (x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x) 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在x = 0 时有定义，则f (0) = 0 ． （2）若f (x) = 0 且 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数． 2.奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3.判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例 1】若函数f (x) =ax2 +bx 是偶函数，求b 的值. 解：∵函数f(x)＝ax2＋bx 是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx= ax2-bx. ∴2bx=0. ∴b＝0. 1 在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 【例 3】已知函数f (x) = x2 题型一判断函数的奇偶性 【例 4】判断下列函数的奇偶性. （1） f (x) =| x | (x2 +1) ； 高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 对于函数定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x =。奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立；奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的典型例题
函数奇偶性经典例题
《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析
函数的单调性和奇偶性-典型例题
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