(完整版)磁介质中的磁场
第十二章磁介质中的磁场
一、基本要求
1.了解顺磁质、抗磁质和铁磁质磁化的特点及磁化机理。
2.掌握有磁介质时的安培环路定理，确切理解磁介质中的磁感应强度、磁场强度和磁化强度的物理意义及其关系。
二、磁介质的磁化
所谓磁介质的磁化是指在外磁场作用下，磁介质出现磁化电流的现象。对于各向同性的均匀磁介质而言，磁化电流只可能出现在它的表面上。
1）磁化的微观机制
分子电流：把分子看作一个整体，分子内各电子对外界所产生的磁效应的总和用一个等效的圆电流表示，这个圆电流称为分子电流。
分子磁矩：分子电流的磁矩称为分子磁矩，记为P→m分子
a.顺磁质
顺磁质分子的固有磁矩不为零。无外磁场时，由于热运动分子磁矩的取向杂乱无章，在每一个宏观体积元内分子磁矩的矢量和为零，因而对外界不显示磁性。
在外磁场存在时，每个分子磁矩受到一力矩的作用，此力矩总是力图使分子磁矩转到外磁场方向上去，各分子磁矩在一定程度上沿外磁场方向排列起来，这就是顺磁质的磁化。此时，顺磁质磁化后产生的附加磁场在顺磁质内与外磁场方向相同，显示了顺磁性。
b.抗磁质
抗磁质的分子磁矩为零。在无外磁场作用时不显示磁性。在外磁场存在时，在外磁场作用下，使抗磁质分子产生与外磁场方向相反的感生磁矩，这就是抗磁质的磁化。此时，抗磁质磁化后产生的附加磁场在抗磁质内与外磁场方向相反，显示了抗磁性。
应该指出：抗磁性在具有固有磁矩的顺磁质分子中同样存在，只不过它们的顺磁效应比抗磁效应强得多，抗磁性被掩盖了。
近代理论表明：铁磁质的磁性主要来源于电子自旋磁矩。无外磁场时，根据量子力学理论，电子之间存在着一种很强的交换耦合作用，使铁磁质中电子自旋磁矩在微小区域内取向一致，形成一个个自发磁化的微小区域，即磁畴。在未磁化的铁磁质中，各磁畴的自发磁化方向是杂乱无章的，所以在宏观上不显示磁性。在不断加大的外磁场作用下，磁畴具有并吞效应，即磁化方向（亦磁畴磁矩方向）与外磁场方向接近的磁畴吞并附近那些与外磁场方向大致相反的磁畴，直至全部吞并。若继续加大外磁场，则使并吞后保留下的磁畴的磁矩逐渐转向外磁场方向，直至所有磁畴的磁矩取向与外磁场方向相同，此时磁化达
到饱和，因而产生强的附加磁场，这就显示了很强的磁性。
2）磁化强度
a.磁化强度的定义
在磁介质中，单位体积内分子磁矩的矢量和，即
V m m ?∑=/分子
磁化强度是描述磁介质磁化状态的物理量。亦描述磁介质的磁化程度和磁化方向。 b.磁化强度与磁介质表面的磁化电流面密度的关系。m ?=
为由磁介质内指向磁介质外的法线方向单位矢量。
上式表明，磁介质表面磁化电流面密度在数值上等于m 在磁介质表面的切向分量，其方向与m 及外法线的垂直且成右手定则关系。它是反映磁介质表面磁化电流面密度与磁化强度之间的重要公式。
磁化强度和磁化电流的普遍关系
∮i m
I l d P '∑=?
即磁化强度沿任意一闭合回路的积分等于穿过此积分回路围成的面积上的磁化电流强度的代数和。
3）磁介质中的总磁感应强度
'0+=
式中0B 为外磁场，即传导电流产生的磁感应强度；
'B 为附加磁场，即磁化电流产生的磁感应强度。
4）磁介质的磁化规律
对于各向同性的非铁磁质有
m m χ=
式中χm 为磁介质的磁化率，它与相对磁导率μr 的关系为1+χm =μr 。 应该指出：
a.上式只对各向同性的非铁磁质成立。所谓各向同性的磁介质是指沿各方向的磁学性质相同的磁介质。即外磁场沿不同方向作用时，磁介质的磁化状态（磁化程度相同，磁化方向均沿外磁场方向（或相同，或相反））。在这里也指χm （或μr ）不随方向而变。
b.磁场强度H →
必须是所求P →
m 处的总磁场强度，包括传导电流和磁化电流的磁场。
L
χm >0的介质称为顺磁质，χm <0的介质称为抗磁质。对这两类磁介质，|χm |<<1。 c.对于铁磁质，严格说来，上式不成立，其原因在于：
在铁磁质中，P →
m 与H →
的关系不是线性的，χm 不是常数，而是H 的函数，即χm =χm (H)。
χm 很大（102~106）。
在铁磁质中，P →
m 与H →
的关系不是单值的，由于磁化历史不同，一定的H →
可以对应不同的P →
m 。
但在实际中，对于各向同性的软磁质，在一定的磁场范围内，形式上也可以运用
m m χ=关系式，但凡说到χm 的具体数值时，都是对一定的磁场而言。
2．磁介质中稳恒磁场的基本性质 1）磁介质中的高斯定理
0=???S
d
上式表明：磁介中的磁场是无源场。 2）磁介质中的安培环路定理
∮L i
I
d 0∑=?
即在稳恒磁场中，磁场强度沿任意一闭合回路的积分等于穿过此回路内的传导电流的代数和。
应该指出：
a 在各向同性的均匀磁介质中，当磁场分布具有一定对称性时，求磁场的分布，可无需考虑磁化电流，而直接运用磁介质中的安培环路定理先求H →
，然后利用μ=求，这可使有磁介质存在时磁场的计算大为筒化。
但应注意：只有在传导电流分布具有一定对称性且各向同性的均匀介质充满磁场所在的空间或介质表面几何形状对称的条件下（亦即满足磁场分布具有一定对称性），方可用安培环路定理求磁介质中的磁感应强度。
对于各向同性的均匀软铁磁质，在己知外磁场作用下的μ（或μr ）值，且满足磁场分布具有一定对称性的条件，也可以利用环路定理求。
b.在环路定理中，H →
的环流只与传导电流有关，而与磁化电流无关。但并非说明H →
只与传导电流有关。一般说来，H →
不仅与传导电流有关，而且也与磁化电流有关。
c.磁介质中的安培环路定理说明磁场是非保守场，即有旋场。 3）、P →
m 和H →
三者之间的关系及物理意义
m P H -=
μ或)(0m P H H +=μ为磁场强度H →
的定义式。当然这一关系式对任何磁
介质都是普遍适用的。
a. 、P →
m 、H →
的物理意义
为磁介质中的总磁感应强度，它是由传导电流和磁化电流共同激发的，它有特定的
物理意义。确定磁场中运动电荷或电流所受的力是，而不是H →
。它是刻画磁场性质的物理量，与静电场中的场强E →
相当。
P →
m 表示在磁介质中，单位体积内的分子磁矩的矢量和。它是描述磁介质磁化状态的物理量，即表示磁介质中各点磁化的程度和磁化的方向，它仅与磁化电流有关。磁化电流所产生的磁场就是μ0P →
m 。
H →
无直接的物理意义，是一个辅助矢量，只是为了在磁介质中计算磁感应强度的方便而引入的物理量。它与静电场中的D →
相当。一般说来， H →
与传导电流和磁化电流有关。但当传导电流周围无限地充满各向同性的均匀磁介质（或磁介质表面几何形状对称）时， H →
仅与传导电流有关。
b. 、P →
m 、H →
之间的关系 普遍关系：)(0m +=μ
若用0表示传导电流在真空产生的磁感应强度，表示磁介质中的总磁感应强度。 在真空中∵P →m =0 ∴00B H B ==μ 在各向同性的非铁磁质中
∵P →
m =χ→
m H → ∴r m m μμμχμχμ==+=+=000)1()( 若各向同性的均匀的非铁磁介质充满磁场不为零的空间，此时，
H B B H H B r r 0000μμμμμ====
在各向异性的磁介质中或铁磁质中，一般地说，普遍关系式)(0m +=μ仍然成
立。但m m χμ≠≠,。
在这里需要指出的是：当外加磁场很小时，大多数未磁化过的铁磁质中，B 与H →
的关系仍是线性的、即μ=。另外，在实际中，对各向同性的软铁磁质，即μ不是常数，在形式上也可采用μ=关系。但必须注意，凡说到μ的具体数值、都是对一定的磁场而言。
4．铁磁质的磁化规律
铁磁质的磁化特点可由起始磁化曲线和磁滞回线得到。由起始磁化曲线可知： a.铁磁质磁化时，B 与H 或P m 与H 之间的非线性性，χm 或μ不是常数；
b.磁饱和性；当继续增大外磁场时，铁磁质的磁化达到饱和，此时的磁感应强度，磁化强度分别称为饱和磁感应强度、饱和磁化强度。
由磁滞回线可知：
a.有磁滞现象，即B 或P m 的变化总是落后于H 的变化。
b.非单值性：即B 或P m 和H 不仅是线性的，而且也不是单值的，B 和P m 的数值除了与H 有关外，还取决于铁磁质的磁化历史。
c.有剩磁现象。
d.有磁滞损耗。磁带回线所包围的面积代表在一个反复磁化的循环过程中，单位体积铁芯内损耗的能量。
三、解题方法
本章的中心问题是围绕着求磁介质中的磁场分布，其分析问题和处理问题的方法与在电介质中求电场的分布相似。具体说来，求磁介质中磁场分布的方法和步骤如下：
1．利用毕奥——萨伐尔—拉普拉斯定律和磁场迭加原理求。其步骤如下：
1）运用公式??=
L
r
d I 3
0004π
μ计算传导电流I 0在场点所产生的磁感强度0； 2）运用公式?
?=L
r l d I 3
0'4'πμ计算磁化电流'I 在场点所产生的磁感应强度'。 必须注意：
a.在计及了磁化电流'I 后，就应将其磁介质去掉，视为在真空中求'0B B 、。
b.在求'0时，若能用第十一章中常用例题的公式可直接引用之。 磁化电流'I 是间接告诉的，如己知磁化强度m 的分布，宜应利用磁化强度与磁化电
流的关系，需先求磁化电流'I 的分布，再求'B 。
C.当各向同性的均匀介质充满磁场不为零的空间时，可利用
?
=
L
r x d I 3
04π
μ求总磁感应强度B 。 3）利用磁场迭加原理、求拟求场点的总磁感应强度即：'0+=
应该指出：
在己知传导电流和磁化电流分布的条件下，原则上可用此种方法求任何电流的磁场。但由于磁化电流无法测定，又若电流分布未知，或太复杂，以致使问题求解十分困难，甚至不可能。所以实际上并非所有问题都可利用此种方法求解。
2.利用安培环路定理
利用磁介质中的安培环路定理求的步聚与第十一章所述的基本相同。即
1）首先分析磁场分布的对称性是判断能否用安掊环路定理求磁感应强度B 的关键。 只有传导电流分布具有一定的对称性、且各向同性的均匀磁介质充满磁场不为零的空间、或磁介质表面几何形状对称时，方可用安培环路定理求。
2）若磁场分布具有一定的对称性，则选取适当的安培环路通过场点，使计算H 矢量的环流时，H 能从积分号内提出来。
3）计算沿所选取安培环路的矢量的环流及穿过该环路传导电流强度I 0i 的代数和，由安培环路定理求出H 。
4）利用μ=之关系，求出B 。
四、解题示例
例1：如例1图所示是一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为m 。求图中标出各点的和。其中4、5及6、7分别是紧靠端面的内外两点。
解：因无传导电流存在，所以传导电流所产生的磁场0=0。由磁场迭加原理：
''0=+=，即求永磁棒内外各点的磁场就变为求永磁棒的磁化电流所产生的磁场。
例1图
欲求磁化电流所产生的'B ，就必须知道其磁化电流的分布。因永磁棒沿轴向是均匀磁化的，所以其内部无磁化电流，只在其表面上出现宏观的磁化电流。由磁化电流面密度'i 与磁化强度m P 之关系n P i m ?='可知，这磁化电流分布就宛若一个均匀密线的细长螺线管一样。因此我们可利用载流直螺线管的磁场公式计算磁化电流在永磁棒中各点之磁场。如例1图a 所示（了便于看清楚，己将图放大）
例1图a
由载流直螺线管轴线上的磁场公式 B=
)cos (cos 2
210θθμ-nI
把永磁棒看作单位长度安匝数为nI i ='，而n P i m ?='。 ∴1||,2
'===n P nSin
P i m m π
磁化电流面密度'的方向如例1图a 所示。
则永磁棒表面上的磁化电流在其轴线上所产生的磁场为
)(2
)(22121θθθθCos Cos P
u Cos Cos i u B m o o -=-'=
' ①
(1) 求点1的磁感应强度1和磁场强度1
因点1位于细长磁棒的轴线之中心处，可视为无限长，即,,021πθθ==由①式得
,01m P B μ= 1B 的方向与m P 方向相同，即m o P B μ=1
点1之磁场强度01
1=-=
m o
P B H μ
(2) 求点2、点3的磁感应强度和磁场强度。
因求点1的磁感应强度时，视细长永磁棒为载有磁化电流i '的无限长的均匀密绕直螺线管，故在其螺线外磁感应强度为零，即B 2 = B 3 =0
在永磁棒外无磁介质，对于点2、点3有P m2=0,P m3=0,由m B
-=0
μ得，
H 2=0，H 3=0 （3）求点4、点5的磁感应强度和磁场强度。 对于点5，位于细长永磁棒的端点处，πθπ
θ==
21,2
，由①式得
m m
P P B 0052
1
)cos 2(cos 2μππμ=-=
5的方向与m 的方向同。即m B 052
1
μ=
为求细长永磁棒左端点4的磁感应强度，过端面内外的4、5两点作一扁盒状高斯面，其高度远小于底面半径，如例1图a 所示，根据磁场的高斯定理
054=?+?-S B s B
第一项有负号是因为4的方向与?的方向相反。从上式得 B 4=B 5
说明4、5两点的B 相等，即m 0542
1
μ==，即B 4、B 5与m 同向。 点5之磁场强度为
m m m m 2
1
2150
5
5-=-=
-=
μ，即5与m 反向 点4之磁场强度：因点4在永磁棒外4m P =0 ∴同向与 m m m P H P P H 440
4
42
1
=
-=
μ （4）求点6点7的磁感应强度和磁场强度 与点5、点4类似，对于点6： 1θ=0 ， 2
2π
θ=
，由①式得点6的磁感应强度为
m 062
1
μ=
，6B 与m P 同向。用求点4同样的方法，点7的磁感应强度为 m P B 072
1
μ= 7B 与m P 同向
点6的磁场强度为
m m P P B H 2
1
606
6-=-=
μ，6H 与m P 反向
点7的磁场强度：因点7在永磁棒之外，7m P =0 ∴同向与 m m m P H P P B H 770
7
72
1
=
-=
μ 本题说明，根据己知的磁化强度求出磁化电流分布，从而可用第十一章的结果求出磁场分布。另外，H 的定义是普遍适用的，但公式H B μ=对永磁材料不适用。
例2：一无限长圆柱形直导线外包一层磁导率为)(0r μμμ=的同轴圆筒形磁介质，导线半经为R 1，磁介质的外半径为R 2，导线内有电流通过。求
（1）磁介质内、外磁场强度和磁感应强度的分布； （2）磁介质内、外表面的磁化电流面密度。 解：（1）求磁介质内、外磁场强度和磁感应强度分布。
依题意，画出垂直于圆柱形导体轴线的截面图如例2图所示，设电流I 的方向垂直于纸面向外。
由于传导电流分布具有轴对称性，磁介质的两表面是与圆柱形导体同轴的圆筒，其几何形状具有轴对称性，在其表面上的磁化电流分布必轴对称性。因此，磁感应线必然是在与圆柱形导体垂直的截面上，是圆心在轴线上的同心圆。为此利用磁介质中的安培环路求。
在横截面内，取在轴线上的O 点为圆心，以r 为半径的圆为安培环路L ，方向沿逆时针，如例2图所示：
当0 ∮L rH l d H π2=? I R r r R I I oi 21 22 21==∑ππ 由安培环路定理得 I R r rH 21 2 2=π ∴r R I H 2 1 2π= (0 I H π2= (r>R 1) H 的方向，由右手定则可知，在以o 点为圆心，r 为半径的圆周的切线方向，且沿逆 时针方向。 由H B μ=得磁感应强度的分布：在导体内，视μ=μ0，在磁介质内μ=μ0μr ，在r>R 2 的区间，μ=μ0。所以 ???? ?? ???><<<=)(2)(2)22021011 02R r r I R r R r r I R r r R I B r （ πμπμμπμ B 与之方向相同。 （2）求磁介质内、外表面的磁化电流面密度。 因磁介质为各向同性的，则有H H x P r m m )1(-==μ 由磁介质表面的磁化电流与磁化强度1'i 为 n H i r ?-=11)1('μ 由右手定则可知，当1>r μ时，'1i 的方向与传导电流I 的方向相同，即垂直于纸面向外；当μ<1时，'1i 的方向与传导电流方向相反，即垂直于纸面向里。 '1i 的大小为 1 1'12)1(22) 1(R I Sin R I i r r πμππμ-=-= 在磁介质外表面上磁化电流面密度为 n H i r ?-='22)1(μ 由右手定则可知；当1>r μ时，' 2i 的方向与传导电流方向相反，即垂直于纸面向里；当1 ' 2 i 的大小为 2 222)1(2sin 2) 1('R I R I i r r πμππμ-=-= 例3：一铁制的螺绕环，其平均周长30cm 、截面积为1cm 2，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032A 时，环内的磁通量为2×10-6Wb 。求： （1）铁环内的磁感应强度B ； （2）铁环内的磁场强度H ； （3）铁环的相对磁导率r μ； （4）铁环的磁化强度P m 及铁环表面的磁化电流面密度'。 解：（1）由于螺绕环截面积很小，则铁环内的磁感应强度的大小为 )(02.0101100.24 6T S B m =??==--φ （2）根据安培环路定理可得铁环内的磁场强度为 H= ).(32032.030 .03001-=?=m A I l N （3）根据H B r μμ0=可求得相对磁导率为 49732 10402 .070=??== -πμμH B r （4）根据H 的定义m P H -=0 μ或磁介质的磁化规律H P r m )1(-=μ可求得磁化强 度为 )(1059.132)1497()1(14-??=?-=-=m A H r m μ 铁环表面的磁化电流面密度为 141059.1'-??==m A P i m 本题说明：对于软磁材料，即是μ不是常数，在形式上也可采用μ=的关系。但必须注意，凡说到μ（或μr 或χm ）的具体数值时，都是对一定的磁场而言。