高中数学专题——函数导数专题

专题六 函数导数专题

【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试

卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．

【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，

导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．

【例题解析】

题型1 函数的概念及其表示

例1 （2008高考山东文5）设函数2

2

11()21x x f x x x x ?-?=?+->??，

，，，

≤则1(2)f f ??

???

的值为（ ） A ．

1516

B ．2716

-

C ．

89

D ．18

分析：由内向外逐步计算．

解析： ()()11

24,24f f ==，故()2

11115124416f f f ??????

==-= ? ? ? ???????

．答案A ． 点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．

例2（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题）如图，函数()f x 的图象是曲线O A B ，其中点

,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则()13f f ??

? ???

的值等于 ． 分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．

解析：对于(3)1,f =(1)2f =

．

点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．

题型2 函数的图象与性质

例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题）已知m 为非零实数，若函数

ln(

1)1

m y x =--的图象关于原点中心对称，则m = ．

分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题．

解析： 对于函数ln(

1)1

m

y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =，因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-．答案2-．

点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．

例4 （绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题）设0.2

1

312

1log 3,,23a b c ??

=== ?

??，则（ ）

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c << 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决． 解析：对于0.2

1

312

1log 30,1,213a b o c ??

=<>=>=> ?

??，因此a b c <<．答案A ．

点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．

题型3 函数与方程

例5．（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第3题）函数()2

3

12

3

x

x

f x x =+++

的零点的

个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决．

解析：对于()2

2

131()02

4

f x x x x '=++=+

+

>，因此函数()

f

x 在R 上单调递增，而对于

523(2)0,(2)03

3

f f -=-

<=

>，因此其零点的个数为1个．答案B ．

点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案．

例6．（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第题）函数()2

21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的

零点，则实数m 的取值范围是

A ．(],1-∞

B ．(]{},01-∞

C ．()(],00,1-∞

D ．(),1-∞

分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．

解析：当0m =时，12

x =

为函数的零点；当0m ≠是，若0?=，即1m =时，1x =是函数唯一的零点，

若0?≠，显然函数0x =不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程()2

210f x mx x =-+=有一个正根一个负根，即()00m f <，即0m <．综合知答案B ．

点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要

注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题． 题型4 简单的函数模型及其应用

例7．（苏州市2009届高三教学调研测试第18题）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足()802g t t =-（件），价格近似满足1()20|10|2

f t t =-

-（元）．

（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （020t ≤≤）的函数表达式； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．

分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可． 解析：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2

y g t f t t t t t =?=-?-

-=---

＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).

t t t t t t +-

--?≤≤≤

（2）当010t ≤<时，y 的取值范围是[]1200,1225，在5t =时，y 取得最大值为1225； 当1020t ≤≤1时，y 的取值范围是[]600,1200， 在20t =时，y 取得最小值为600．

答案：总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． 点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数．

题型5 导数的意义、运算以及简单应用 例8．（2008高考江苏8）直线b x y +=2

1是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b = ．

分析：切线的斜率是12

，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b 的值．

解析：

方法一'

1y x

=

，令'

12

y =

得2x =，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln 2，切线过点()2,ln 2，所以

ln 21b =-．

方法二：设曲线上一点点坐标是()00,ln x x ，由'

1y x

=

知道过该点的曲线的切线的斜率是

1x ，故过该点

的曲线的切线方程是()000

1ln y x x x x -=

-，

即00

1l n 1y x x =+-，根据已知这条直线和直线b

x y +=

2

1重合，故002,ln 1ln 21x b x ==-=-． 答案：ln 21-．

点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．

例9．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题）已知物体 的运动方程为

t

t

s 32

+

=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为

A ．

4

19 B ．

4

17 C ．

4

15 D ．

4

13

分析：对运动方程求导就是速度非常． 解析：2

3'2s t t

=-

，将2t =代入即得．答案D ．

点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点． 例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题）若函数()3

2

13

f x x a x =

-满足：

对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的 取值范围是 ． 分析：问题等价于函数()f x 在区间[]0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数()f x 在[]0,1上的最值解决．

解析：问题等价于函数在[]0,1的()()max min 1f x f x -≤．()2

2

'f x x a =-，函数()32

13

f x x a x =

-的

极小值点是x a =，若1a >，则函数()f x 在[]0,1上单调递减，故只要()()011f f -≤，即只要243

a ≤

，

即2313

a <≤

；若1a ≤，此时()()3

2

2

m in

123

3f

x f

a a

a

a a

a ==

-=-

，由于

()()

2

1

00,13

f f a ==-，故当33

a ≤

时，()()max 1f x f =，此时只要

2

2

1213

3

a a

a -+

≤即可，即

22

2133a a ??-≤????

，由于33a ≤，故223110333a -≤?-<，故此时成立；当313a <≤时，此时()()max 0f x f =，故只要

2

213

a

a ≤即可，此显然．故43

a ≤

，即a 的取值范围是223,

33

3

??

-

???

?

． 点评：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数!

题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用

例11（安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数

()ln a f x x x

=-

，

（1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；

（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为

32

，求a 的值；

（3）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．

分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,]e 上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．

解析：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且2

2

1()a x a f x x x

x

+'=

+=

．

0,()0a f x '>∴> ，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数．

（2）由（1）可知：2

()x a f x x

+'=

① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，

m in 33[()](1),2

2

f x f a a ∴==-=

∴=-

（舍去）．

② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，

m in 3[()]()12

2

a e f x f e a e ∴==-

=?=-

（舍去）．

③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，

当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，

m in 3[()]()ln()12

f x f a a a e ∴=-=-+=

?=-，

综上可知：a e =-．

（3）2

2

(),ln a f x x x x x

<∴-

< ．

又3

0,ln x a x x x >∴>-

令2

32

116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x

x

-''=-==+-=

-=，

()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<， ()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．

令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．

点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要

思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数()g x 两次求导，也要注意这个方法．

例12．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第22题）已知函数)0()(>+

=t x

t x x f 和点)0 , 1(P ，

过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为),(11y x M 、),(22y x N ． （1）求证：21,x x 为关于x 的方程022=-+t tx x 的两根； （2）设)(t g MN =，求函数)(t g 的表达式；

（3）在（2）的条件下，若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,,m a a a + （可以相同），使得不等式

)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．

分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点P 点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t 的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t 为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案． 解析：（1）由题意可知：11221

2

,t t y x y x x x =+

=+

，

∵ 2

1)(x

t x f -

='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12

1

11x x x t x t x y --

=+

-，

又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012

1

1

1x x t

x t x --

=+

-，

即0212

1=-+t tx x ， ①

同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222

2=-+t tx x ．② 由①、②，可得21,x x 是方程022

=-+t tx x （ * ）的两根． （2）由（ * ）知． ???-=?-=+. ,22121t x x t x x

2

2

21

12

21)()(x t x x t x x x MN -

-+

+-=

])1(1][4)[(2

2

1212

21x x t x x x x -

+-+=

t t 20202

+=，

∴ )0( 2020)(2

>+=t t t t g ．

（3）易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数，

∴)16()()2(g a g g i ≤≤)1,,2,1(+=m i ，

则)16()()()()()2(121g a g a g a g a g g m m m ≤<+++≤?+ ． 即)16()2(g g m

2?+?<

?+?m ，

所以3

136

又当6=m 时，存在2621====a a a ，167=a 满足条件，所以m 的最大值为6．

点评：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步．本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会．

例13．(2009江苏泰州期末20)已知()()[)ln()ln ,,0,()x f x ax x x e g x x

-=--∈-=-，其中e 是自然常

数，.a ∈R

（1）讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1|()|()2

f x

g x >+

；

（3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由． 分析：（1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数()

()m in

m ax 12f x g x ?

?>+???

?；（3）根据极值点是不是在区间[),0e -确立分类讨论的标准，分类解决．

解析：（1） ()()x x x f ---=ln ()x

x x x f 111'+-

=-

-=

∴当1-<≤-x e 时，()0'

当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增，

∴()x f 的极小值为()11=-f ．

（2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1，

∴()1min =x f 令()()()2

1ln 21+--

=+

=x

x x g x h

又 ()2

ln()1

'x h x x

--=

， 当0<≤-x e 时()0'≤x h

()x h 在[)0,e -上单调递减

∴()()()min max 12

121211x f e e h x h ==+<+=

-= ∴当[)0,e x -∈时，()()2

1+

>x g x f

（3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈，()x

a x f 1'-=

①当e

a 1-

≥时，由于[)0,e x -∈，则()01'≥-

=x

a x f

∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数 ∴()()31min =--=-=ae e f x f

解得e

e

a 14-<-=（舍去）

②当e

a 1-

<时，则当a

x e 1<

≤-时，()01'<-

=x

a x f

此时()()x ax x f --=ln 是减函数 当

01<

时，()01'>-

=x

a x f ，此时()()x ax x f --=ln 是增函数

∴()31ln 11min =??

?

??--=??? ??=a a f x f

解得2e a -=

点评：本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的[)12,,0x x e ∈-证明()()1212

f x

g x >+

；第三问的

解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行

的．

题型7 函数的应用、生活中的优化问题

例14．（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点B A , 及CD 的中点

P 处，已知20,10AB km BC km ==，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边

界），且与B A ,等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OP BO AO ,,，设排污管道的总长为ykm

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设()BAO rad θ∠=，将y 表示为θ的函数； ②设()OP x km =，将y 表示为x 的函数关．

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．

分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决．

解析：（1）①如图，延长P O 交AB 于点Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，若()B A O r a d θ

∠=，则

10cos cos A Q O A B A O

θ

=

=

∠，故10cos O B θ

=

又1010O P tan θ=-，所以10101010cos cos y O A O B O P tan θθ

θ

=++=

+

+-

所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4

y θ

π

θθ

-=

+≤≤

②若()OP x km =，则10OQ x =-，所以22

2

(10)1020200OA OB x x x ==-+=

-+

所求函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+≤≤．

（2）选择函数模型①．

方法一：（使用导数的方法）

2

2

10cos cos (2010sin )(sin )

10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ

-----=

=

令'0y =得1sin 2

θ= ， 04

6

π

π

θθ≤≤

∴=

，当(0,)6

πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；

当(,)6

4

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ的增函数．所以函数在6π

θ=

处取得极小值，这个极小值就是函数y 在0,4π??????

的最小

值，m in 1

20102101031032

y -?

=

+=+．

当6

π

θ=

时，()102033

cos

6

AO BO km π==

=

．因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到,A B

两点的

距离均为

2033

km 时，铺设的排污管道的总长度最短．

方法二：（传统的方法）2010sin 2sin 101010cos cos y θ

θθ

θ

--=+=?+，记2sin cos t θθ

-= ，则

sin cos 2t θθ+=，化为()2

2sin 1t

θ?+=

+，

其中2

2

1cos ,sin 11t t

t

??=

=

++，由正弦函数的有界性知2

211t

≤+，

解得3t ≥或3t ≤-，又当04

π

θ≤≤时2sin 0cos t θθ

-=>，故3t ≥，

即t 的最小值为3，当3t =

时，()13sin 1,cos ,sin 2

2

θ???+==

=

，

由此知可以取3

π

?=，此时6

π

θ=

，即当6

π

θ=

时，函数y 有最小值（下同方法一）．

方法三：（从几何意义上考虑）同方法二，2sin cos t θθ

-=，

则t 可以看作是平面上的定点M

()0,2，与动点()cos ,sin N θθ-上连点的斜率，

而动点N 是单位圆2

2

1x y +=在第二象限的后半区的一段弧，

设过点()0,2M 的直线方程为2y tx =+，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，

则

2

211t

≤+(下面的分析类似解法一)．

选用函数模型②：

方法一：（导数的方法）

'

2

220120200

x y x x -=+

-+，令'0y =则2

20200202x x x -+=-，

平方得23602000x x -+=，解得103103

x =±

，由于010x ≤≤，

故103103x =-

，并且可以判断这个是函数的最小值点，

此时1033

O Q =，下面对实际问题的解释类似上面的解法．

方法二：（判别式的方法）将函数y 看作常数，移项，平方， 整理得()2

2

3240800-0x y x y +-+=，由于x 是实数，

故()()2

2440128000y y ?=---≥，即2208000y y --≥， 解得10103y ≥+，或10103y ≤-，由于0y >，舍掉这个解， 故函数y 的最小值是10103+，当10103y =+时， 方程()2

2

3240800-0x y x y +-+=有两个相等的实数根

()()

210103402401031023

6

3

y x -+---=

=

=-

?（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）．

点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力，选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题．

题型8 定积分（理科）

例15．（安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第5题）若

20

(sin cos )2x a x dx π

-=?

，则实数a 等于

A ．1-

B ．1

C ．3-

D ．3

分析：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决．

解析：

20

(sin cos )(cos sin )12,120

x a x dx x a x a a π

π

-=--=-+==-?

．答案A ．

点评：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算．

例16．（广东潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13题）两曲线

x x y y x 2,02

-==-所围成的图形的面积是_________．

分析：根据函数图象把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可． 解析：由???-==-x

x y y x 202

，解得???==00y x ，或???==33

y x ，即两曲线的交点)0,0(O 和)3,3(A ，所求图形的面积为2

9|)3

12

3(

)2(3

032

2

3

=

-

=+-=

?

x x dx x x x S ．答案

2

9．

点评：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积．

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1．已知函数?

??≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范

围是

（ ）

A ．??

?

??41,0

B ．()0,1

C ．

??

?

???1,41 D ．()0,3

2．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)

4

-

成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2

f x f x =-+

，且

(1)1,f -=(0)2

f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?的值为

（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．1

3．已知函数①x x f ln 3)(=；②x

e

x f cos 3)(=；③x

e x

f 3)(=；④x x f cos 3)(=．其中对于)(x f 定义域内

的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使12()()3f x f x =成立的函数是

（ ）

A ．③

B ．②③

C ．①②④

D ．④

4．设a ∈R ，函数()x x

f x e a e -=+?的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 ． 若曲线()y f x =的一条切线

的斜率是32

，则切点的横坐标为 （ ）

A ． ln 22

-

B ．ln 2-

C ．

ln 22

D ． ln 2

5．已知函数()ln ln a x

f x x

+=在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．10a e

<<

B ．0a e <≤

C ．a e ≤

D ．a e ≥

6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 称后的位移为t t t s 22

33

12

3

+-

=

，那么速度为零的时刻是

（ ）

A ．0秒

B ．1秒末

C ．2秒末

D ．1秒末和2秒末

二、填空题

7．已知函数1()ln

sin 1x f x x x

+=+-，则关于a 的不等式2

(2)(4)0f a f a -+-<的解集是 ．

8．已知函数()x x mx

x f 2ln 2

-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________．

9．（文科）有下列命题：①函数cos cos 44y x x ππ?

?

?

?=-

+ ? ??

??

?的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31

x y x +=

-的图象关于点()1,1-对称；③关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个实数根，则实

数1a =-；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ?：存在x R ∈，使得sin 1x >．其中所有真命题的序号是 ．

9．（理科）（1）22

sin x dx π

π-=? ．

【解析】332

这个面积是()33

2

23

1

1532233933

3

x x x dx x x --??

-+=-

+=+

=

????

?．

三 解答题

10．已知函数()2

12

x

x

f x e ax =-

--，其中a 为实数．

（1）若12

a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；

（2）当12

x ≥

时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的取值范围．

11．已知423

2)(2

3

++-=

cx x x x f ，)()(2x f e

e x g x

x +-=-，

（1）若()f x 在21+

=x 处取得极值，试求c 的值

和()f x 的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续

光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在

),,(b a c ∈使得=)('

c f ？（用含有()(),,,a b f a f b

的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数()y g x =图象上任意两点的连线斜率不小于24e -． 12．已知函数()()()2

ln ,0f x x g x ax x a ==-≠．

（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线，求实数a 的值并求点P 的坐标； （2）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过线段M N 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和()g x 的图像交,S T 点，

以S 为切点作()f x 的切线1l ，以T 为切点作()g x 的切线2l ．是否存在实数a 使得1l //2l ，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

【参考答案】

1．解析：A 条件等价于函数()f x 单调递减． 2．解析：D 由3()()2

f x f x =-+

，得(3)()f x f x +=，因此，()f x 是周期函数，并且周期是3函数()f x 的图

象关于点3(,0)4

-

成中心对称, 因此，()f x =-

3()

2

f x -

-，所以，(1)1f =

(1)(2)(3)0f f f ++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?＝(1)f

3．解析：A ②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x =1时，ln 10=不存在2x 使得成立，排除；答案：A ． 4．解析：D ()'x

x

f x e ae

-=-，由于()'f x 是奇函数，故()()''f x f x -=-对任意x 恒成立，由此得1a =，

由()3'2

x

x

f x e e

-=-=

得22320x x e e --=，即()()2210x x e e -+=，解得2x e =，故ln 2x =，故切

点的横坐标是ln 2．

5．解析：D ()22

1

(ln ln )

1(ln ln )'x a x a x x f x x x

?-+-+==，因为()f x 在[)1,+∞上为减函数，故()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，即ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上恒成立，等价于()ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上的最大值．设()1ln x x ?=-，()max 1x ?=，故ln 1a ≥，a e ≥，选答案D ．

6．解析：D 2'32s t t =-+，即2

32v t t =-+，令0v =，解得1t =或2，选答案D ．

7．解析：(3,2) 1()ln

sin 1x f x x x

+=+-是奇函数，

又12(1)2()ln

sin ln sin ln 1sin 111x

x f x x x x x x x +--????

=+=+=--+ ? ?---????

，()f x 在()1,1-

单调递增，故

()f x 定义在()1,1-上的且是增函数．由已知得2(2)(4)f a f a -<--

即2

(2)(4)f a f a -<-．

故22322412113321415335

a a a a a a a a a ??-<<-<-?

?

-<-

<

-<-<-<<

<<

??或．

即不等式的解集是(3,2)．

8．解析：1,2??+∞???? ()1'220f x m x x =+-≥对一切0x >恒成立，2

122m x x ??≥-+ ???，令()2

12g x x x ??

=-+ ???

，则当

11x

=时，函数()g x 取最大值1，故21m ≥，即12

m ≥

．

9．（文科）解析：③④ ①函数1c o s c o s c o s 2442y x x x ππ?

?

?

?=-

+= ? ??

??

?，相邻两个对称中心的距离为22

T d π

=

=

，错误；②函数31

x y x +=

-图象的对称中心应为()1,1，错误；③正确；④正确．

9．（理科）解析：2

2

22

2

sin 2sin 2(cos )

2x dx xdx x π

π

π

π

-==-=??．

（2）直线x y 2=与抛物线32-=x y 所围成图形的面积为 ． 10．解析：（1）．当12

a =-

时，()()2

111,2

2

2

x

x

x

f x e x f x e x '=-

+

-=-+

，从而得

()()111,12

f e f e '=-=-

，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11()(1)2

y e e x -+=-

-，

即11

022

e x y ?

?-

--= ??

?． （2）．由()0f x ≥，得2

2

11

112

1,,2

2

x

x e x ax e x x a x

-

-≤-

-≥

∴≤

，令()2

11

2,x

e x g x x

-

-=

则

()()2

2

111

2

,x

e

x x g x x

--

+'=

令2

1()(1)1,2

x

x e x x ?=--

+则()()1(1),,02

x x x e x x ??''=-≥

∴> ，

即()x ?在1,2

??

+∞????

上单调递增．所以()x ?170282e ???≥=->

???，因此()0x ?'>，故()g x 在1,2??

+∞????

单调递增．则()1

211

12122

e g x g -

-??

≥=

???

，因此a 的取值范围是924

a e ≤-．

11．解析：（1）c x x x f +-=42)(2

'

，

依题意，有0)21('=+

f ，即 2)21(4)21(22

-=+

++

-=c ．

4223

2)(2

3

+--=

∴x x x x f ，242)(2

'

--=x x x f ．

令,0)('

>x f 得12x <-

或12x >+，

从而()f x 的单调增区间为(,12]-∞-和[12,)+

+∞．

（2）'

()()()f b f a f c b a

-=

-．

（3）=+-=-)()(2x f e

e x g x

x

4223

22

32+--+

-=-x x x e

e x

x

，

=)('

x g 2422

2--++-x x e

e x

x

222(1)4x

x

e e x e

=+

+--222042 4.x

x

e e e e

≥?

+?-=-

由（2）知，对于函数()y g x =图象上任意两点,A B ，在,A B 之间一定存在一点))(,('c g c C ,使得

AB

K

c g =)('

，又42)('-≥e x g ，故有42)('-≥=e c g K AB ，证毕．

12．解析：（1）设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ，则有

2

000ln x ax x =- ① 又在点P 有共同的切线 ∴()()00002

11''212x f x g x ax a x x +=?

=-?=

代入①得

0011ln 2

2x x =

-

设()()()1111ln '0022

2

h x x x h x x x =-

+?=

+>>

所以函数()h x 最多只有1个零点，观察得01x =是零点， ∴1a =，此时()1,0P

（2）方法1 由()()2

2

ln ln x x f x g x x ax x a x

+=?=-?=

令()()()2

243

112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x

??+-+ ?+--??

=?== 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增 当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2

ln 0x x x

+>

所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =，

所以要使2

ln x x y x

+=

与y a =有两个不同的交点，则有01a <<．

方法2 根据（1）知当1a =时，两曲线切于点()1,0，此时变化的()y g x =的对称轴是12

x =，而()

y f x =是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即11

122

x a a =

>?<，两曲线有两个不同的交点，当0

a <时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以01a <<．

（3）不妨设()()1122,,,M x y N x y ，且12x x >，则M N 中点的坐标为12

12,

2

2x x y y ++??

??

?

以S 为切点的切线1l 的斜率1212

2'2S x x k f x x +??

== ?+??

以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +??

==+-

???

如果存在a 使得S T k k =，即

()1212

21a x x x x =+-+ ①

而且有2111ln x ax x =-和2

222ln x ax x =-，

如果将①的两边同乘12x x -得

()()2

2

12121212

2()x x a x x x x x x -=---+，

22

12111221212

2

2()()ln ln ln

x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+，即112

12

2

2(1)

ln

1

x x x x x x -=

+． 设12

1x x μ=

>，则有()()21ln 11μμμμ

-=

>+，令()()()21ln 11h μμμμμ

-=-

>+，

()()

22

2

11

4'(1)

(1)

h μμμ

μμ-=

-

=

++，∵1μ>，∴()'0h μ>

因此()h μ在[)1,+∞上单调递增，故()()10h h μ>=，所以不存在实数a 使得1l //2l ．

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2

高中数学 多项式函数的导数素材

多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )

例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。

高二数学 几种常见函数的导数

高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习

求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用

2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题（在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的） 1（2017北京文）已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x （ ） .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ） .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.（2017山东文）设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? （ ）2.A 4.B 6.C 8.D 4.（2017山东文）若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是（ ） x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为（ ） б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则（ ） .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为（ ） .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．

12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．

高中数学导数专题训练

精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.

13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

高中数学函数与导数练习题

1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.