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等式与方程的关系

“直观”让方程教学具有了诗意

作者:江苏省苏州高新区狮山实验小学朱涵波录入时间:2016-7-15 阅读次数:59

根据儿童认知特点，小学低年级一般都采用直观教学；到了高年级，直观教学相对少了，可能是因为老师们认为小学高年级学生的抽象思维已经有了很大的发展。但是我在高年级教学方程时，运用直观教学却收到了意想不到的效果。

一、在比较两个概念时巧用直观

【案例一】把所有的方程装在一个盒子里。

苏教版小学数学五年级下册第一单元“方程”的第一课时，方程与等式的关系是教学难点。因为方程和等式的关系比较抽象，有的学生不能很快理解韦恩图表示的两者之间的关系。于是，我设计了如下的教学过程。

师：谁来说一说方程和等式之间有什么关系？

学生思考一段时间后，有少数人想说，但不敢举手，其余同学更是抓耳挠腮。

师：我们已经知道方程就是含有未知数的等式，如果把所有的方程装在一个盒子里，把所有的等式装在一个盒子里，这两个盒子应该怎么放？

短时间思考后，有人开始举手。

生：把装方程的盒子放在装等式的那个盒子里面。

师：为什么？

生：因为方程首先要是等式。

师：有没有方程不是等式的？

生：没有。

同学们点头称是，或许他们都是这样想的，或许有的同学虽然刚才不是这样想的，但这时也认可这种说法。

师：现在老师把这个装等式的盒子在黑板上画出来，我们可以用一个椭圆来表示这个盒子，你们也在纸上像这样画一个椭圆。

学生按要求画图。

师：那么装方程的盒子应该画在哪里呢？想一想，在纸上画出来。

生：应该画在刚才这个椭圆的里面。

全班同学一致认可，老师在黑板上完成韦恩图。

师（指着刚画好的图）：从这个图中你能读懂哪些信息？

生：方程都是等式。

生：等式不都是方程。

师：不是方程的等式在哪个部分？

学生指两椭圆之间部分。

师：这里都是一些什么样的等式呢？

生：这里是不含未知数的等式，比如4＋2=6。

【分析】方程与等式的关系是教学的难点，而在本节课上，却轻易被突破了。原因何在？首先我把分散的方程集中到了一个盒子里（其实是一个集合），把分散的等式也集中到一个盒子里（又是一个集合），这种设想本身就很奇妙，有一点诗意，而且还渗透着集合思想。接着让学生思考这两个盒子怎么放。思考这两个盒子的摆放位置就是在思考方程和等式的关系。“抽象的知识一旦和具体事物结合起来，就会变得形象生动，容易被学生掌握。”把两个盒子的位置安排妥当了，也就理解了两者间的关系。值得一提的是，我和学生还“顺手牵了一只羊”：大椭圆之内小椭圆之外是不含未知数的等式。巧用两个盒子帮助学生理解了两个概念之间的关系。

二、在分析数量关系时巧用直观

【案例二】在小雁塔的上面再摞一个小雁塔。

苏教版小学数学五年级下册第一单元列方程解决实际问题的第二课时，根据条件列出方程是教学重点也是教学难点。“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米”。一部分同学对这里的数量关系把握不准，更有甚者，有些同学对这里的数量关系始终理不清。可见，帮助学生理解几倍多（少）几的数量关系是本节课的关键所在。

怎样帮助学生理解这里的数量关系呢？教师一般会设计如下两个问题：谁和谁比的？谁大？教师想让学生明白是“大雁塔的高度”和“小雁塔高度的2倍”比的，“小雁塔高度的2倍”大，所以数量关系式是小雁塔高度的2倍－大雁塔的高度=22米。事实与预想往往相差太大，学生对大雁塔的高度和小雁塔的高度在理解上没问题，但对“小雁塔高度的2倍”这个数量没有清晰的表象，因而理解不了。所以尽管老师一次又一次地重复上述两个问题，一次又一次地让学生试着说把“大雁塔的高度”和“小雁塔高度的2倍”进行比较，结果是“小雁塔高度的2倍”大，但仍然有一部分学生的眼神呆滞。他们不理解呀！于是，我设计了如下的教学过程。

师：大雁塔的高度比什么少22米？是比小雁塔的高度少吗？

生：不是，是比小雁塔高度的2倍少22米。

一部分同学理解起来很轻松，但是有一部分同学表情茫然。

师：我们来画一幅图。根据经验一般应先画一份量，这里的一份量是什么？

生：小雁塔的高度是一份量。

师：如果用一个三角形来表示小雁塔。那么大雁塔该怎么画呢？

生：大雁塔比小雁塔高度的2倍少22米，也就是比2个小雁塔的高度少22米，所以要先画2个小雁塔。

师：对呀，小雁塔高度的2倍就是2个小雁塔的高度，2个小雁塔怎么画呢？

生：在小雁塔上再摞一个小雁塔。

教师在刚才表示小雁塔的三角形上又画了一个同样的三角形。

生：大雁塔就是比这两个摞起来的小雁塔少22米。

师：现在你能画出表示大雁塔高度的图形吗？

学生很快画出了表示大雁塔高度的图形。

师：这里的22米表示什么意思？

生：22米表示两个小雁塔的高度比大雁塔高22米。

生：22米表示小雁塔高度的2倍比大雁塔高22米。

师：对，现在可以在本子上写出题中数量之间的相等关系吗？

学生在本子上写等量关系式。

师：说说你写的数量关系式，其他同学仔细听，

生：小雁塔的高度×2－大雁塔的高度=22米。

生：大雁塔的高度＋22米=小雁塔的高度×2。

生：小雁塔的高度×2－22米=大雁塔的高度。

师：根据你写的等量关系式能列出方程吗？

学生列出方程。

【分析】“小雁塔高度的2倍”，这个看似简单的短语对于部分学生来说，是很难理解的。在他们刚学“倍”的知识时，形成的表象或许就不那么丰富，随着时间的推移，仅有的那点表象已经消失殆尽，剩下的只有抽象的概念。况且面对的是更为复杂的“比小雁塔高度的2倍少22米”这个条件。针对这部分学生的思维特点，帮助他们建立清晰的表象是解决问题的关键。所以我引导学生把注意力集中到“如何画表示大雁塔高度的图形”上。而当有学生建议“在小雁塔上再摞一个小雁塔”表示小雁塔的2倍时，同学们一下子豁然开朗，从闪动兴奋光芒的眸子中不难看出他们一下子变得异常兴奋。我猜测有两个原因：一是“在小雁塔上再摞一个小雁塔”这句话在学生头脑中形成的想象太有趣，太奇妙了，太诗意了；二是学生已经顿悟了蕴含其中的数量关系。在一个大三角形和两个小三角形面前，原来眼神呆滞的学生已经信心百倍。

直观教学是根据学生形象思维的特点采用的教学方式。到了高年级，很多老师大大减少了直观教学，除了认为高年级学生的抽象思维已经比较发达外，在潜意识里可能还认为抽象思维比形象思维高级，所以要大力发展学生的抽象思维。其实人的思维发展存在很大的差异性。到了高年级，虽然大部分孩子的抽象思维有了较大发展，但是仍然有一些同学还是以形象思维为主，这时如果采用以抽象思维为主导的教学方法，这些同学渐渐的就会成为后进生。

同时，抽象思维和形象思维是相互补充的，不存在高低贵贱之分。许多大科学家、大作家，抽象思维和形象思维都高度发达。爱因斯坦，思维的高度抽象达到了极致，然而，正是这个爱因斯坦又非常崇尚直观。愿我们的高年级数学课堂多一些直观教学，多一些奇妙，多一些诗意。

等式的性质和解方程(2)

第三课时等式的性质和解方程（2）教学内容：教科书第p4～P5例5～例6、P5“试一试”、“练一练”P6～P7练习一第6～8题教学目标要求： 1．使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。 2．使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学重点：使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。教学难点：使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学过程：一、复习等式的性质 1．前一节课我们学习了等式的性质，谁还记得？ 2．在一个等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。那同学们猜想一下，如果在一个等式两边同时乘或除以同一个数(除以一个数时0除外)，所得结果还会是等式吗？ 3．生自由猜想，指名说说自己的理由。 4．那么，下面我们就通过学习来验证一下我们的猜想。二、教学例5 1．引导学生仔细观察P4例5图，并看图填空。 2．集体核对 3．通过这些图和算式，你有什么发现？ X=20 2x=20×2 3x 3x÷3=60÷3 4．接下来，请大家在练习本上任意写一个等式。请你将这个等式两边同时乘同一个数，计算并观察一下，还是等式吗？再将这个等式两边同时除以同一个数，还是等式吗？能同时除以0吗？ 5．通过刚才的活动，你又有什么发现？ 6．引导学生初步总结等式的性质(关于乘除的)乘或除以0行吗？ 7．等式性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 8．P5“试一试” ⑴指名读题 ⑵你是根据什么来填写的？三、教学例6 1．出示P5例6教学挂图。指名读题，同时要求学生仔细观察例6图 2．长方形的面积怎样计算？ 3．根据题意怎样列出方程？你是怎么想的？板书：40X=960 4．在计算时，方程两边都要除以几？为什么？ 5．计算出X=24后，我们怎样才能确定这个数是否正确？请大家口算检验一下。最后将例6填写完整。6．小结：在刚才计算例6的过程中，我们将方程的两边都同时除以40，这是为什么？为什么将等式两边都同时除以40，等式仍成立？ 7．P5练一练

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结方程与方程组一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

《等式的性质和解方程(1)》教学设计

《等式的性质和解方程（1）》教学设计［教学内容］五年级下册第3?5页例3、例4, “试一试”和“练一练”，练习一第4?6 ［教材简析］这部分内容主要引导学生通过观察、思考和交流，初步理解“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一等式的两条基本性质之一，初步学会运用这一性质解只含有加、减关系的一步方程。在此之前，学生已经初步认识了等式与方程；在此之后，学生还将学习等式的另一条基本性质。学好这部分内容，有利于学生加深对方程特点的认识，体会初步的方程思想。教材在安排这部分内容时，主要有两个特点，一是借助直观帮助学生理解等式的性质；二是对解方程的步骤及规范做了较为细致的处理。设计教学时, 教材一方面注意通过天平两边物体质量的变化以及变化前后天平两边的状态，引导学生理解相关的等式性质；另一方面则注意充分利用学生已有的知识和经验，弓I 导他们在用不同方法求未知数的过程中初步体会用等式性质解方程的便捷，并掌握相应的方法。［教学目标］ 1. 使学生在具体情境中初步理解“等式两边同时加上或减去同一个数, 等式”，会用这一性质解相关的方程。 2. 使学生联系具体的例子初步理解“方程的解”和“解方程”的含义, 是一个结果，“解方程”是一个过程。 3. 使学生在观察、分析、抽象、概括等式的基本性质和交流的过程中, 感受方程思想，培养自觉检验的意识，发展初步的抽象思维能力。［教学重点］引导学生探索等式的性质，利用等式性质解相关的方程。［教学难点］结合具体情境，抽象归纳出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一等式的性质。［教学过程］、先扶后放，探究等式性质 1. 谈话：我们已经认识了等式和方程。这节课，我们进一步学习与等式和方程有关的知识。 2. 出示例3第一幅天平图，提问：你能根据图意写出一个等式吗? 根据学生的回答，板书：引导：现在的天平是平衡的。如果在天平的一边添上一个10克的砝码，这时天平会怎样? （失去平衡）要使天平恢复平衡，可以怎么办？（在天平的另一边也添上一个 10克的砝码）根据学生的回答，出示第二幅天平图。提出要求：现在天平平衡吗？你能再用一个等式表示现在天平两边物体质量的关系吗? 同桌同学先互相说一说。学生活动后，板书：20+ 10= 20+ 10。启发：请同学们比较这里的两幅天平图和相应的两个等式，想一想，第二个等式和第一个等式相比，发生了怎样的变化？从这样的变化中你能想到什么? 3. 出示例3第二组天平图，提出要求：请同学们仔细观察这里的两幅天平图，说一说天平两边物体的质题。所得结果仍然是知道“方程的解” 积累活动经验, 20=20。

初中数学方程与不等式知识点复习汇总

方程与不等式是初中数学学习的巨头，属于基础知识的进阶，难度相对于基础有所提高，并且是今后学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程是解决问题的必要手段，必须要学好，我们首先来看中考数学方程与不等式复习要求。 1、一元一次方程了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法．掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，熟悉列一元一次方程解实际问题中的基本步骤．' 2．二元一次方程组．了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会"消元"思想，掌握解二兀一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 3．不等式与不等式组．了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系；掌握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题· 4．一元二次方程．

认识一元二次方程及其有关概念，抓住"降次''这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法，会列一元二次方程解决实际问题，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力· (一)方程和不等式的基本概念 1．方程．(1)等式和方程；(2)方程的解；(3)解方程 2．等式性质．性质1：等式两边都加上(或减去)同等式；性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是O) 3．不等式．(1)不等式；(2)不等式的解集；(3)解不等式· 4．不等式的基本性质，性质1：不等式的两边都加上(或减去)同不等号的方向不变；性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 (二)方程和不等式的解法．。 1．方程的解法．' (1)一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：一=6(o≠o)的形式．元一次方程有唯一解z=鲁("to)． (2)一元二次方程．任何关于z的一元二次方程，都可以化成：一2+h+c=o(。≠o)的形一元二次方程的解法有以下几种． ①直接开平方法：这种方法用于解不含当詈≤o时，则x='√一詈；当詈>o时，则方程无实根·

等式的性质

利用等式的性质解方程的几点思考打开五年级上册的数学教材一看，第五单元就是解方程，仔细一看内容，和我小时候所学的用四则运算关系解方程截然不同。以前也听过五年级的数学老师讲过，用等式的性质解方程太复杂了，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会。一、新课程为什么要用等式的基本性质解方程过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”．等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的可持续发展的出路呢? 现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。这是一项很有意义的改革，值得我们

为之尝试、探索，积累经验。通过实践还进一步发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。这些则是改革初衷之外的收获了。二、利用等式的性质解方程的一些困惑利用等式的性质解方程，对于小学数学教师来说需面对并妥善解决一系列的教学实际问题。只知道要过河，如果没有可操作的过河方法，仍然无济于事。 1．如何理解“等式的基本性质”? 新课程下的小学数学概念性的东西不多，一般都是在例题中或者练习中依靠学生自己归纳总结，而新教材对于等式的基本性质确实给出了明确的解释（见小学数学五年级上册第64页和第65页），对于这一性质，有的老师将其称为“天平原理”或者“天平平衡原理”，这都是可行的，学生理解起来也相对形象一些。 2、如有学生运用四则运算的关系解方程怎么办？初学解方程时我一直要求学生利用等式的基本性质，但有些聪明的同学却能利用四则运算的关系来解方程。比如，在教学解方程例1：X+3=9时，如果利用等式的性质就应该这样解：X+3-3=9-3解得X=6，讲到这个地方，班上有个同学就说：“老师，我有更简单的方法。”我问：“你用的什么方法？”他说：“在X+3=9中，X是一个加数，加数=和-另一个加数，所以X=9-3，解得X=6，比你刚才讲的方法简单多了。”他一说到这个地方，其他的同学也跟着附和，赞同他的方法而

用等式性质解方程练习

《解方程》教学设计教学目标： 1、使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 2、利用等式的性质解简易方程。教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。教学难点：熟练利用等式的性质解简易方程。教学过程：（一）创设情境，复习导入 1.上节课我们借助天平游戏，学习了什么知识？那么等式的性质谁知道呢？今天我们继续研究与方程有关的新知识。 2.复习与本节课相关的知识，出示习题：解下面方程：4x =8.6 48.34-x =4.5 学生自主解答练习，并说一说是怎么做的。并在订正的过程中，规范书写。（二）观察猜想，感知方程的解 1.展示课件，谁能根据题意列方程呢？一般把含有字母的式子写在方程等号的左边。大家想不想知道x 是几呢？你们是怎么知道的？学生猜想预设：生1：（利用加减法的关系计算：9-3=6）。生

2：想6+3=9，所以X=6。生3：把9 分成6+3，想X+3=6+3，所以X=6。生4：利用等式的基本性质，从方程两边同时减去3，就能得出X=6。【设计意图】：整个新知识的教学，充分尊重学生的主体地位，让学生动口、动脑，发现、比较、归纳，不同的方法，开阔了思维。但重点引导学生使用等式的性质解答，回归本节课的教学内容。 2.对于这些不同的方法，分别予以肯定。说明第（4）种用到了等式的性质，就是本节课要学习的“解方程”的方法，所以要重点掌握。本节课就是重点要学习等式的性质来解方程（板书：解方程）。（三）操作感悟，体会原理 1. 怎样才能使天平左右两边只剩“X”，而保持天平平衡呢？通过课件演示，天平两边同时去掉3 个球，天平平衡。和等式的基本性质结合起来，给方程两边同时减去3，方程左右两边相等。PPT 展示思路，让学生在头脑中明确了方法后，老师扮演解方程的过程。过程中强调注意的三个问题。【设计意图】：利用多媒体课件，从具体到抽象，从感性到理性循序渐进，学会用等式的性质解方程，突破了重点，解决了关键。板书解题过程为了使学生掌握解方程的格式和写法，养成好习惯。

用等式的性质解方程

3.1.2等式的性质（第二课时） ——利用等式的基本性质解一元一次方程学习目标：1.经历数值代入计算的过程，领会方程的解和解方程的意义，知道求方程的解就是将方程变形为x=a的形式. 2.能运用等式的基本性质解一元一次方程 3.强调检验的重要性，养成检验反思的好习惯. 学习重点：会运用等式的基本性质解一元一次方程学习难点：解左右两边都有未知量和已知量的方程学习过程：一.温故互查（出示课件，展示问题） 1.等式的基本性质（1）。（2）。 2.填空.使得结果是等式，并说明结果是根据等式的哪一条性质及如何变形得到的？（1）如果a-3=b-2,那么a+1= ;理由是。 1。理由是; 如果( 2) x=5,那么x= 2 。;理由是那么如果(3 ) 3x=2x+5,x=

小学学过的解方程习惯方式？3. .引入新课（任务一）二11) -的解是（方程3x-1=2x=1, -1, , 33．三．论一论,讲一讲（任务二）利用等式的基本性质解一元一次方程(求x解的过程) 1请同学们打开P页例2的解方程过程，解下面方程并说出每一步82的根据是什么？总结：四．（任务三）：巩固练习（要求学生在规定时间内完成，完成后小组内互相交流，最后老师讲解错题。） 1.方程x+5=2的解是（） A x=1, B x=-1 C x=-3 D x=3 2.利用等式的性质解方程

（1）-2x+1=-1; (2) -7x=21 18x-2=9x+16 (4) x+8=7 (3) -3 拓展延伸五.35+3m4m. m已知a的值与15a是同类项，求8 .六小结:（任务四）? 本节课有什么收获？还有什么疑惑解一元一次方程最终必须将方程化作什么形式？布置作业七. 题4P，83 .八课后反思送给学生挑战自我留心处处有学问细心题题有发现专心路路有收获恒心步步登高峰

数与式方程与不等式学习知识点

【第一单元数与式】第1课时实数考点一实数的有关概念 1．数轴规定了_______、_______、_______的直线，叫做数轴．_____和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数(1)实数a的相反数为_______；(2)a与b互为相反数?_________；(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离________. 3．倒数(1)实数a的倒数是____，其中a____0；(2)a和b互为倒数?_______. 4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它_____，0的绝对值是___，负数的绝对值是它的_______. 考点二实数的分类1．按实数的定义分类即|a|＝ ? ? ?? a(a＞0) 0(a＝0)

实数??? ?????????? 有理数??????? 整数????? ?? ?? ?正整数零自然数负整数分数???????? ??正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数????? ? ????正无理数负无理数无限不循环小数考点三平方根、算术平方根、立方根 1．若x 2＝a(a ≥0)，则x 叫做a 的_______，记作±a ；正数a 的_____________叫做算术平方根，记作 a. 2．平方根有以下性质 (1)正数有两个平方根，它们_________；(2)0的平方根是0；负数没有平方根． 3．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a. 考点四科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法把一个数N 表示成a ×10n (1≤|a|＜10，n 是整数)的形式叫科学记数法．当

一元一次方程利用等式的性质解方程教案

一元一次方程利用等式的性质解方程一、目的要求使学生会用移项解方程。二、内容分析从本节课开始系统讲解一元一次方程的解法。解一元一次方程是一个有目的、有根据、有步骤的变形过程。其目的是将方程最终变为x=a的形式；其根据是等式的性质和移项法则，其一般步骤是去分母、去括号、移项、合并、系数化成1。 x=a的形式有如下特点：（1）没有分母；（2）没有括号；（3）未知项在方程的一边，已知项在方程的另一边；（4）没有同类项；（5）未知数的系数是1。在讲方程的解法时，要把所给方程与x=a的形式加以比较，针对它们的不同点，采取步骤加以变形。根据方程的特点，以x=a的形式为目标对原方程进行变形，是解一元一次方程的基本思想。解方程的第一节课告诉学生解方程就是根据等式的性质把原方程逐步变形为x=a的形式就可以了。重点在于引进移项这一变形并用它来解方程。

用等式性质1解方程与用移项解方程，效果是一样的。但移项用起来更方便一些。如解方程7x-2=6x-4 时，用移项可直接得到7x-6x=4+2。而用等式性质1，一般要用两次：（1）两边都减去6x；（2）两边都加上2。因为一下子确定两边都加上（-6x＋2）不太容易。因此要引进移项，用移项来解方程。移项实际上也是用等式的性质，在引进过程中，要结合教科书第192页及第193页的图强调移项要变号。移项解方程后的检验，可以验证移项解方程的正确性。三、教学过程复习提问：（1）叙述等式的性质。（2）什么叫做方程的解？什么叫做解方程？新课讲解： 1．利用等式性质1可以解一些方程。例如，方程x-7=5 的两边都加上7，就可以得到x=5+7， x＝12。又如方程7x＝6x-4 的两边都减去6x，就可以得到7x-6x=-4， x=-4。

(完整版)方程与不等式的知识点梳理

方程与不等式知识点梳理 1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中

方程组与不等式组知识点

第二章方程（组）与不等式(组) 方程与方程组解法总结一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元二次方程的解法 (1）配方法 (2)分解因式法 (3)公式法解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=- a b ，二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式：

△=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系：若一元二次方程2ax +bx+c=0（a≠0）的两根为12,x x ，则1x +2x =- a b ，1x 2x ·= a c 。反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程 2 ax +bx+c=0（a≠0）。特殊的：对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时，那么1x +2x =-p ，1x . 2x =q 。反之，以1x ，2x 为根的一元二次方程是：(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。注意事项： 1.不等式的基本性质中不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac

等式的性质和解方程

等式的性质和解方程教学内容：教科书第p4～ P5例5～例6、 P5“试一试”、“练一练”P6～P7练习一第6～8题教学目标要求： 1．使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。 2．使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学重点：使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。教学难点：使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学过程：一、复习等式的性质 1．前一节课我们学习了等式的性质，谁还记得？ 2．在一个等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。那同学们猜想一下，如果在一个等式两边同时乘或除以同一个数(除以一个数时0除外)，所得结果还会是等式吗？ 3．生自由猜想，指名说说自己的理由。 4．那么，下面我们就通过学习来验证一下我们的猜想。二、教学例5 1．引导学生仔细观察P4例5图，并看图填空。 2．集体核对 3．通过这些图和算式，你有什么发现？ X=20 2x=20×2 3x 3x÷3=60÷3 4．接下来，请大家在练习本上任意写一个等式。请你将这个等式两边同时乘同一个数，计算并观察一下，还是等式吗？再将这个等式两边同时除以同一个数，还是等式吗？能同时除以0吗？ 5．通过刚才的活动，你又有什么发现？

6．引导学生初步总结等式的性质(关于乘除的)乘或除以0行吗？ 7．等式性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 8．P5“试一试” ⑴指名读题 ⑵你是根据什么来填写的？三、教学例6 1．出示P5例6教学挂图。指名读题，同时要求学生仔细观察例6图 2．长方形的面积怎样计算？ 3．根据题意怎样列出方程？你是怎么想的？板书：40X=960 4．在计算时，方程两边都要除以几？为什么？ 5．计算出X=24后，我们怎样才能确定这个数是否正确？请大家口算检验一下。最后将例6填写完整。 6．小结：在刚才计算例6的过程中，我们将方程的两边都同时除以40，这是为什么？为什么将等式两边都同时除以40，等式仍成立？ 7．P5练一练解方程：X÷0.2=0.8 师巡视并帮助有困难的学生。练习后指名让学生说一说:你是怎样解方程的？为什么可以这样做？四、巩固练习 1．要使下面每个方程的左边只剩下x,方程两边应同时乘或除以几？ 0.6x=7.2 方程两边应同时 x÷1.5=0.6 方程两边应同时 2．化简下列各式 8 X÷8 50+X-40 X÷9×9 X-1.4+1 3.P6第7题教师引导学生列方程 4.p7第8题解方程带“★”写出检验过程 X+0.7=14★ 0.9x=2.45★ 76+x=91

关于用等式性质解方程的几个问题

曹培英数学课程改革推进到小学高年级之后，部分教师对教材，依据等式性质解方程的意义不很理解，对由此生成的一些问题感到困惑，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会，供大家参考。一、为什么要用等式基本性质解方程在我国，九年制义务教育已经基本普及，小学由原先具有相对独立性降低为九年义务教育的一个学段。顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。其实．解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以同一个不等于零的数，这两条等式的基本性质就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”．等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。实际上．除了小学数学教师，成年人有几个还记得小学依据四则运算关系解方程的那些套路呢? 既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的可持续发展的出路呢? 现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。这是一项很有意义的改革，值得我们为之尝试、探索，积累经验。上海市的小学数学教材，从上世纪90年代起就引进了等式基本性质。起初也有一些教师感觉不适应，特别是部分有经验的老教师曾有抱怨。几年以后，熟

方程与不等式整理(知识点配题完整版)

方程与不等式知识点配题 1.解二元一次方程组 14．解方程组：2, 2 1. x y x y +=??-=? 2．方程组? ? ?=+=-422 y x y x 的解是 A ．?? ?==21y x B ．???==13y x C ．???-==20y x D ．???==0 2y x 16．已知???==b y a x ,是方程组???=-=+12,32y x y x 的解, 求5)4()(4+-+-b a b b a a 的值. 14. 解方程组212x y x y +=??-=?，．

2.解不等式（组） 15．（本题满分5分）求不等式组???---≤-x x x x 1523 4)2(2＜的整数解． 14．求满足不等式组632 13x x x -≥?? +?->-?? 0，．的整数解. 14．解不等式()x x ≤--122，并把它的解集在数轴上表示出来． 14．解不等式组：12(2)3.x x x -??+? ≥0，＞

14．解不等式组： 480, 521 1.x x +>??-->? （） 14．解不等式组： ()20213 1.x x x ->?? +≥-?， 14．解不等式组并求它的所有的非负整数 14．解不等式组251345 x x +>-???≤，并写出它的整数解. 14．解不等式13 1 2523-+≥-x x ，并把解集表示在数轴上． ① ② ??? ??-+<-2 1 15)1(3x x x ， ≥2x -4，

14. 解不等式组 ???-≥+->+; 54x 4x , 1x 12x 并把解集在数轴上表示出来． 9. 不等式 51 2422 x x ->+的解集为________________. 14．解不等式312+-）（x ＜x 5，并把它的解集在数轴上表示出来. 14．解不等式2(2)x +≤4(1)6x -+，并把它的解集在数轴上表示出来． 14.解不等式组：()?? ? ??<-+≤+321234x x x x 10．不等式组211,1(6)2 x x x -?? ?-??≥＞的解集是． 2 -1-210

利用等式的性质解方程

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《利用等式的性质解方程》教学设计(）青州王府赵河小学王立全教学内容青岛版五年级数学四《珍稀动物》信息窗２《利用等式的性质解方程》教学内容分析本节内容是在学生理解了方程的意义的基础上进行学习的，是又一次接触初步的代数思想，应重视引导学生实现由算术思维向代数思维的转变。通过本节课的学习使学生理解方程的“解”和：解方程“概念。通过天平的道理和等式的性质学会解方程的初步解法及检验方法，为今后进一步学习解方程和解决实际问题打下基础。教学目标（1)会用方程表示简单的等量关系。 (2)在具体的活动中，通过观察、思考、分析、概括，感知和理解等式的性质，初步掌握用等式的性质解简单的方程的基本方法。(方程两边同时加上或减去同一个数的解法)。（3)掌握检验的方法，培养检验的好习惯，提高计算能力。（4)能用方程解决一些简单的现实问题。在解决问题的过程中，感受方程与现实生活的紧密联系,形成应用意识。教学重点学会解简易的方程的基本方法;理解方程的“解”和“解方程”的意义。

教学难点学会解简单方程的基本方法。教学准备多媒体课件教学方法直观演示讨论交流归纳概括等教学方式教学过程一、创设情境,提出问题谈话：同学们，现在世界上有好多珍稀动物频临灭绝已经引起世界各国的重视。如我国贵州的金丝猴（出示课件)读信息据央视台国际频道200４年6月1日报道贵州梵净山国家自然保护区的黔金丝猴数量已从1993年的60０只增加到860只。你能提出什么问题？二、师生合作，探究新知预设：金丝猴增加了多少只? 谈话:你会解这道应用题吗？预设:８60-６00=260 600+ⅹ=86０谈话：这是算术式, 这是方程算术法只有已知数参与运算。方程是把未知数和已知数同样对待，让未知数也参与运算。谈话:我们先分析一下应用题:题中已知条件是什么?未知条件是

等式的性质和解方程 (2)

《等式的性质和解方程（2）》教学内容：教科书第p4～P5例5～例6、P5“试一试”、“练一练”P6～P7练习一第6～8题教学目标要求： 1．使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。 2．使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学重点：使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。教学难点：使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学过程：一、复习等式的性质 1．前一节课我们学习了等式的性质，谁还记得？ 2．在一个等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。那同学们猜想一下，如果在一个等式两边同时乘或除以同一个数(除以一个数时0除外)，所得结果还会是等式吗？ 3．生自由猜想，指名说说自己的理由。 4．那么，下面我们就通过学习来验证一下我们的猜想。二、教学例5 1．引导学生仔细观察P4例5图，并看图填空。 2．集体核对 3．通过这些图和算式，你有什么发现？ X=20 2x=20×2 3x 3x÷3=60÷3 4．接下来，请大家在练习本上任意写一个等式。请你将这个等式两边同时乘同一个数，计算并观察一下，还是等式吗？再将这个等式两边同时除以同一个数，还是等式吗？能同时除以0吗？ 5．通过刚才的活动，你又有什么发现？ 6．引导学生初步总结等式的性质(关于乘除的)乘或除以0行吗？ 7．等式性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 8．P5“试一试” ⑴指名读题 ⑵你是根据什么来填写的？三、教学例6 1．出示P5例6教学挂图。指名读题，同时要求学生仔细观察例6图 2．长方形的面积怎样计算？ 3．根据题意怎样列出方程？你是怎么想的？板书：40X=960 4．在计算时，方程两边都要除以几？为什么？

初三数学中考复习专题2-方程与不等式知识点总结与练习

方程与不等式一、方程与方程组二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1几个概念 2一元一次方程（一）方程与方程组 3一元二次方程 4方程组 5分式方程 6应用 1、概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程：（1） 3131=+- x x （2）x x x -=--+22 1 32 解：（3）关于x 的方程mx ＋4＝3x ＋5的解是x ＝1，则m ＝ ______________．解： 3、一元二次方程：（1）一般形式：()002 ≠=++a c bx ax （2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002 ≠=++a c bx ax () 042422 ≥--±-= ac b a ac b b x 例题： ①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0；（2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0．（5）（t －2）（t ＋1）＝0；（6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0；（8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：

② 填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋2 3 x ＋（）＝（x ＋）2 （3）判别式△＝b 2－4ac 的三种情况与根的关系当0>?时有两个不相等的实数根，当0=?时有两个相等的实数根当0-q p B 、02>-q p C 、042≥-q p D 、 02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b - ，x 1x 2＝a c 例题：已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则 2 11 1x x + 的值是（） A 、 11 2 B 、211 C 、11 2- D 、2 11-