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复合函数求导公式,复合函数综合应用

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导数的运算法则及基本公式应用

一、常用的求导公式

二、复合函数的导数

若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则

)()()()(v v

u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''

=''+'='?'±'='±

三、基础运用举例

1 y =e sin x

cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1

D 2

2 经过原点且与曲线y =

++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x

+y =0

C x +y =0或25x －y =0

D x －y =0或25

－y =0

3 若f ′(x 0)=2,k

x f k x f k 2)

()(lim 000--→ =_________

4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________

5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2

,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程

11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1

7.()log ,'()(0,1);

ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a

-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x

则

6 求函数的导数

(1)y =(x 2－2x +3)e 2x

; (2)y =31x

四、综合运用举例例1求函数的导数

)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322

+=-=+-=

x f y x b ax y x

x x

y ω 22222

(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x

-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

''-+--+++=

+-+---+=

+--+-+=

(2)解 y =μ3

,μ=ax －b sin 2

ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx

y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′

=3μ2(av ′－by ′)=3μ2

(av ′－by ′γ′)

=3(ax －b sin 2ωx )2

(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一设y =f (μ),μ=v ,v =x 2

+1,则

y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2

1v －21

·2x

=f ′(12+x )·

12+x ·2x =

),1(1

22+'+x f x x

解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′

=f ′(12

+x )·2

1(x 2+1)21

-·(x 2

+1)′

=f ′(12

+x )·2

1(x 2

+1)

·2x

2+x x f ′(12+x )

例2 已知曲线C y =x 3－3x 2

+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标

解由l 过原点，知k =

0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02

+2x 0, ∴

0x y =x 02

－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2

又k =

0x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02

－3x 0+2 2x 02

－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2

3 由x ≠0,知x 0=

3 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－8

∴k =

00x y =－4

1 ∴l 方程y =－

41x 切点(23，－8

)

五、巩固练习 1.函数y =

)13(1

-x 的导数是

3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)

13(6-x D.－2

)13(6

-x 2.已知y =

sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数

3.函数y =sin 3

(3x +

4π

)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2

(3x +4π)cos(3x +4π)

C.9sin 2(3x +4π)

D.－9sin 2

(3x +4π)cos(3x +4

π)

4.函数y =cos(sin x )的导数为

A.－［sin(sin x )］cos x

B.－sin(sin x )

C.［sin(sin x )］cos x

D.sin(cos x )

5.函数y =cos2x +sin x 的导数为

A.－2sin2x +

2cos B.2sin2x +

x 2cos

C.－2sin2x +

x 2sin D.2sin2x －

x 2cos

6.过曲线y =

11+x 上点P （1，2

）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0 B.2y +8x +7=0 C.2y +8x －9=0

D.2y －8x +9=0

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7.函数y =(1+sin3x )3

是由___________两个函数复合而成.

8.曲线y =sin3x 在点P （3

,0）处切线的斜率为___________.

9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2

)的导数是 .

10.函数y =)3

2cos(π

-x 的导数为 .

11.函数y =cos 3

x 1

的导数是___________.

参考答案

1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0

(1－0)=1 答案 B

2 解析设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =

x y , 另一方面，y ′=(

59++x x )′=2

)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即

)

5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02

+18x 0+45=0

得x 0(1)

=－3, x 0 (2)

=－15,对应有y 0(1)

=3,y 0(2)

515915=+-+-,

因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,5

3), 从而得y ′(A )=

3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251

)

515(42

-=+-- , 由于切线过原点，故得切线 l A :y =－x 或l B :y =－25

x 答案 A

3 解析根据导数的定义

f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)

()]([(lim

000(这时k x -=?)

)(21

)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k

答案－1

4 解析设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),

于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案 n !

5 解设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2

) 对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①

对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②

∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22

－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －4

6 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得

ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2

－2x +3)+2x

e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 222222222

2222)2(2)32(3

2)2(232)2(232)2(223222232)32(1?+-=?+-?+-+-=?+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='?∴

(2)两端取对数，得

ln|y |=

(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得

31)1(31)1(131)1(131)111(311x

x x x y x x y x x x x y y --=

?-?='∴-=---='?

复合函数的导数

1.C

2.B

3.B

4.A

5.A

6.A

7.y =u 3

,u =1+sin3x 8.－3

9.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)

2cos()

32sin(π

---x x 11.x x x 1sin 1cos 122?

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000）指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ ?复合函数求导公式 ? ? ?复合函数求导法则证法一：先证明个引理 ?f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0 连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) ?证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 ?因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) ?所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) ?反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0), x∈U(x0) ?因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0) f'(x)=H(x0) ?所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) ?引理证毕。 ?设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) ?证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。（8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

复合函数求导公式函数求导法则有哪些

复合函数求导公式函数求导法则有哪些对于高中生来说，想要学好数学，就要了解公式。函数是高中数学的一个难点，那幺，符合函数公式有哪些呢？下面和小编一起来看看吧！ 1 复合函数求导公式有哪些1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；拓展： 1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。 2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。 3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则 y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+). 4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。 1 复合函数怎幺求导复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u

复合函数求导

2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='?'±'='±1 0; 2.(),'(); 3.()sin ,'()cos ; 4.()cos ,'()sin ; 5.(),'()ln (0); 6.(),'(); 17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>==== >≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25 x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =3 1x x -

复合函数的求导法则---重点

§复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为

x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14 ），

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