对数及其运算的练习题(附答案)
姓名_______ §2.2.1 对数与对数运算
一、课前准备 1,。对数：
定义：如果a N a a b
=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N
a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b
=>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式.
如果 a > 0，a 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n
m m
n
b a =
log （3）log a M N
= ；（4） log n
a M = . （5）
b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a
b
a
=log （7）b
a b a n
n log 1log =
考点一： 对数定义的应用
例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log
27=x
； （2）32log 2-=x ； （3）91
27log =x （4）162
1log =x
例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2
log
-x （2）22)
x )
1(log +-（x （3）2
1)-x )
1(log （+x
例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log
3
=x （2）6log 64
-=x （3）9
132-= （4）1641=x ）（
考点二 对数的运算性质
1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-)
0(),2()1(log )
0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________
2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 344932lg 21+- （2）
8
.1lg 10
lg 3lg 2lg -+
3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值
4.计算： （1）)log log log 5
825
4125
2
++（)log log log 8
1254
252
5++（ （2）
3
4
7
3
1
59725log log log log ??+)
5353(
2log --+
（3）求0.32
log
??
的值 （4）：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.
随堂练习：
1.9312
-=??
?
??写成对数式，正确的是（ ） 2log .31
9
-=A 2log .931-=B 9log .2-3
1
=）
（C 3
1log .2-9=）（D 2.=34349
log
（ ）
A.7
B.2
C.3
2 D. 2
3
3.成立的条件y
x xy 33)(3
log log log +=（ ） A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0.y>0 D.R y R x ∈∈, 4.,0,0,1,0>>≠>y x a a 若下列式子中正确的个数有（ ）
①)(log log log y x a y a x a +=? ②)-(log log -log y x a y a x a = ③y a
x a y x a
log log log ÷= ④y a x a xy a log log log ?= A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知0log
)2(log 3log 7
=???
???x ，那么2
1
-
x =( )
A.3
1 B.
3
21 C.
2
21 D.
3
31
6已知x f x =)10(，则f(5)=( ) A.510 B.105 C.105log D.lg5
7.若16488443log log log log =??m ，则m=（ ） A.2
1 B.9 C.18 D.27
8.设6
38323log 2log ,log -=则a ，用a 表示的形式是（ ）
A.a-2
B.2)1(3a +-
C.5a-2
D.132-+-a a 9.设a 、b 、c 均为正实数，且c b a 643==，则有（ ）
A.b a c 111+=
B.b a c 112+=
C.b a c 2111+=
D.b
a c 212+=
10若方程
05lg 7lg lg )5lg 7(lg )lg 2=?+++x x （的两根为βα，，则βα?=（ ） A.5lg lg7? B.35lg C.35 D.
35
1 二．填空题
11.若4
123
log =x ，则x=________ 12.已知______)2
1(,)lo (2==f x g f x 则
13.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,则x=_________
三．选做题（三题中任选两道）
14.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求y
x
2log 的值
15.已知2014log 4)3(32-=x f x ，求f(2)+f(4)+f(8)+.....+)2
(1007
f 的值 16.设a 、b 、c 均为不等于1的正数，且0111,=++==z
y
x
c b a z y x ，求abc 的值
附答案： 考点一：
例1：1，x=9 2, 2
23
=
x 3,3
2-=x 4,x=-4
例2：1,x>0; 2,21≠>x x 且 3,101-≠≠>x x x 且且
例3：1，33）（=
x , 2，646
=-x 3，2log 91
3-= 4，x =164
1log 考点二：
1，-2 2，（1）2
1 （2）2
1
3，x:y=1:2或x:y=3:1(x>0,y>0)
4, (1)13, (2)-1 (3)-2
1 (4)
1
2+++a ab a
ab 随堂练习：
一选择题：1B;2D;3A;4A;5C;
6D;7B;8A;9C;10D(注意原方程的根为x,不是lgx,别弄错了） 二．填空题：
11，9
1 12，
2 13, 0.06
三选做题：
14, 4 15，2014 16，1
对数函数典型例题
对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
对数的运算教学设计
《对数的运算》教学设计 一、课标要求 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 二、教材分析 1、本节的地位和作用 对数是中学数学的重要内容之一。它是在学生学习了指数的基础上进行的，是对指数的运用与巩固，对数的运算性质更是对指数的运算性质的运用；同时，对数的学习为对数函数的学习做好充足的准备，起到承前启后的作用。 2、本节的主要内容 复习对数的定义，回顾对数与指数的联系与转化，进而猜测对数的运算性质与指数的运算性质的相关性；列举指数的运算性质，并推导出对数的运算性质；例题巩固，尝试对数运算性质的应用；介绍换底公式及其推导过程。 3、本节的重、难点 重点：对数运算的运算性质的推导及运用。 难点：对数运算的运算性质的推导及运用。换底公式的推导及运用。 三、学情分析 本节面对的是高一的学生，这一年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还不够严谨，需要教师合理的引导，充分发挥学生主动性，创设疑问，主动思考，逐步解决问题。学生已经掌握了指数的相关知识，本节更注重已有知识的运用，从而获得新知，补充已有的知识结构。 四、教学目标 1、知识与技能： 通过对数的运算性质的推导，巩固指数的运算性质，熟练指数与对数的转化，掌握对数的运算性质及其推导过程，会运用对数的运算性质进行对数的运算。2、过程与方法： 经历对数的运算性质的推导，运用类比的数学思想，猜想并证明三个运算性质，尝试运用性质求解例题，体验对数的运算性质的运用。 3、情感、态度与价值观： 由指数、对数的联系入手，善于寻求事物之间的联系；在知识探究的过程中养成合理猜想、大胆探索和实事求是的精神，感受学习数学的乐趣。 五、教学方法 本节课采用问题探究式教学方法。教师引导学生由指数的运算性质出发，运用对数的定义，得出对数的一个运算性质，注重如何引导；其余由学生独立思考并类比上述过程得出，发现问题，自主探究，从而解决问题。
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍？ ()x %81+=2?x =? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对 数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． b N N a a b =?=log 例如：1642= ? 216log 4=； 100102 =?2100log 10=； 242 1= ?2 12log 4= ； 01.0102 =-?201.0log 10-=． 探究：1。是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ） 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ； ∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10 =a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式 如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．
高一指数函数与对数函数经典基础练习题,
指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数；
对数的运算性质教学设计
《对数的运算性质》教学设计 一、教材分析： 本节课是北师大版版数学教材必修1中3.4.1的第二节课。在此之前的一节课中学习了对数的概念和常用对数以及如何用计算器来求对数。本节课所完成的教学任务是本小节的重点，在这一节课里要让学生完成对数运算法则的学习。通过这一节课的教学，要求学生准确掌握对数的3个运算法则性质，克服对对数运算的一些误解，如把乘法对于加法的分配律错误地迁移到对数的运算中，误以为(),log log log N M MN a a a ?=，等。 传统的教学，教师往往把对数的运算法则先告诉学生，教学的重心放在对这些运算法则的确认上，即设法证明这些运算法则．对数的运算法则有哪些？为什么就这些？都是由教师给出的，学生不了解知识发生的过程，忽视这些结论来源的教学。另外，教师对学生事实上容易产生的误解采取回避的方式，待作业中或者考试时出现错误时再加以纠正，并不是从源头上防止错误的产生。 由于现在的学生手中普遍有计算器，就可以把教学过程设计成“研究性学习”的方式，使学生在教师指导下的教学活动中，在与同伴的合作学习中观察现象，研究问题，发现真理，自觉纠正错误，自我教育。 二、学情分析： 本节课是在掌握了指数的运算和指数函数的基础上进行教学的,虽然学生已经具备了一定的知识基础,但数学思维能力较弱,知识迁移能力还有待提高,这就需要我们通过适当的提问和让学生亲身尝试来引导学生自己去发现解决问题,从而提高他们的学习兴趣。 三、教学目标： 1、知识与能力：通过探究和归纳，掌握对数的性质及对数性质的运用。 2、过程与方法：通过“研究性学习”的方式，使学生在教师的指导下，在与同伴的合作学习中观察现象，研究问题，发现结论，自我纠正错误。 3、情感态度价值观：培养学生探究合作的精神及自我教育的能力。 四、教学重点、难点分析： 1、重点：对数的性质及性质的运用。 2、难点：如何得出对数的运算性质及其理解。
对数函数 典型例题
对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间．
例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 篇一：高中数学对数与对数运算教案 《对数与对数运算》 教案 xx大学数学与统计学院 xxx 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。难点：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解；（3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿??”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1．对数的定义 x 一般地，如果a?n(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底n的对数，记 教案：（作：数应3班向世威） 《对数与对数运算（第一课时）》教学设计 所用教材：数学必修（一） 目次：人民出版社，2007年1月,第2版第4次印刷 1教材分析 1.1内容与内容解析 《对数函数》是普通高中数学人教A版必修1第二章对数函数内容的第一课时，本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。对数概念是在指数概念的基础上定义的，是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。 1.2地位与作用解析 通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 2学情分析 学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、图像及其基本性质，在第二章又进一步学习了指数函数及其运算、图像和性质，特别是指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，本节课我利用多媒体辅助 教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 3教学目标 1.能初步判别具体函数是否为对数函数，了解对数的概念并能用语言刻画，以及对数与指数的关系；通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化； 2．（经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动），通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过探究理解对数的性质。领悟从（）的思想方法 3.感知对数的重要性，从“发现”中体验成功，进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严谨的思维品质和探究意识； 4教学重难点 重点：对数函数概念的形成和初步应用，指数式与对数式的互化 难点：对数概念的理解，对数性质的理解 5教法学法 以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，引导学生学会观察分析、思考探究、合作交流，提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。 6教学媒体 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 《对数及其运算》教学设计 【教学目标】 一、知识与能力： 1．理解对数的概念及对数的性质。 2．熟练的掌握对数式与指数式的相互转化。 二、过程和方法： 1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求对数式和指数式之间的关系。 2．培养学生自主、合作、探究的能力，通过讲练结合法与多媒体辅助教学法向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 三、情感态度与价值观： 1．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 2．体会事物之间互相转化的辨证思想。 【教学重点、难点】 1.重点：对数的概念及对数式与指数式的相互转化。 2.难点：对数概念的理解。 【学情分析】 由于前面几堂课我们学习了指数函数的相关性质，今天的内容通过相关的引导与练习，可以以找规律的形式带动学生的积极性，掌握本堂课的知识。 【教学手段】 多媒体教学辅助法 【教学时数】 一课时 【教学过程】 一、发散思维，导入新课 1、提出问题： 2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。 假设经过x年，国民经济生产总值是2000年的2倍，依题意，有 2.8 +, 1(= %) a a x2 x. 即2 .1= 082 指数x取何值时满足这个等式呢？ 2、对数起源： 约翰·纳皮尔John Napier（1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。 年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。 他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe （第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirificilogarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。 说明：通过介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性。激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神。 二、激发兴趣，自主学习 1．对数的概念: 对数与对数运算的教案 《对数与对数运算》教案 授课教师：马吉艳课时：一个课时授课对象：高中一年级学生一．设计思想 本节课是数学必修1第二章基本初等函数（I）2.2.1对数与对数运算的内容，它是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识。通过与指数式的比较得出对数的定义与性质，让学生学会指数与对数的互化并能进行一些简单的 对数式求值。通过指数运算性质，根据对数定义，采用逆向思维对对数的乘法运算进行推导，从对数的积运算的推导过程中，用类似的方法得到其他运算性质。在学生基本掌握这些性质后，通过练习与引导推导出换底公式。运用观察、操作来领悟规律，能够使学生充分了解学习的方法和技巧，在交流中突破难点，打破传统教学的死记硬背，增强学生学习兴趣。 二．教学目标 1.知识与技能 （1）理解对数的概念，了解指数与对数的关系；（2）理解和掌握对数的性质，记住几个重要的公式； （3）能灵活运用对数运算性质和换底公式进行计算。 2.过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质。 3.情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳的能力； （2）通过对数运算性质的学习，培养学生举一反三、严谨的思维态度； （3）在学习过程中，让学生树立探究、创新的意识，培养分析问题、解决问题的能力。三．课程类型 新授课 四．教学重点与难点 （1）重点：对数式与指数式的互化以及对数的运算性质。 （2）难点：对数运算性质的推导与运用。五．教学方法 讲授法、讨论法、类比分析与发现。 六．教学过程 活动一 创设情景引入新知 教师活动学生活动教案设计说明复习引入： 1.老师带领学生复 习指数的定义。 2.复习2.1.2例题8 的解答方法，提问 “如果反过来求哪 一年的人口数可以 达到18亿，20亿， 30亿……”该怎样解 答呢？ 3.根据学生的回答， 老师口述：非常好， 我们要求x，其实就 是知道了底数和幂 的值，反过来求指 数。这就是我们今天 要学习的内容之一 对数。 4.老师讲解对数的 概念并板书： 一般地，如果 1.学生回答根指 数、分数指数幂、 有理数指数幂的 定义及表达式。 2.学生在草稿本 上写下计算表达 式分析，回答： 知道了某一个年 头的人口总数y， 实际就是要求x, 根据指数的定 义，可以求1.01 的几次方等于y， 即指数x。 3.学生记忆与理 解对数的定义。 4.学生回答：理 解了。 现代教育 心理学认为任 何新知识的学 习、新发现的创 造都得以现有 的认知水平和 经验为基础。因 此，设计旧知识 的复习是有必 要的，通过已学 知识，引导学生 运用所学探索 新问题的解决 方法，让学生有 一个清晰的思 路，这不仅巩固 了所学的知识， 也让学生学以 致用，更有利于 新课的开展。 课题： 2.2.1 对数与对数运算 科目：数学教学对象：高一年级学生课时：第一课时 提供者：赵晓云单位：阳泉一中 一、教学内容分析 让学生在实际背景中认识对数概念，既是本节的重点又是难点。要通过适当的素材创设情境，使学生认识到引入对数的必要性，从而调动学生学习对数的积极性。 根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数入手，引导学生借助指数函数的图像，分析问题中幂指数的存在性，从而引出对数的概念。 通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生认识对数与指数的相互联系，利用指数式与对数式的互化，帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数运算中的作用。 二、教学目标 1、知识技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。 2、过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数的定义和性质；由易到难。 3、情感、态度、价值观 通过对数式与指数式的互化，培养学生分析、类比、归纳的能力；在学习过程中，培养学生探究的意识；培养学生了解事物间的联系，培养学生用已有知识解决未知问题的能力。 三、学习者特征分析 通过平时的观察发现，高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，能够从课本中学习并总节所学知识点，但有部分学生只看不动笔，所以第一课时主要以书本内容为主。 四、教学策略选择与设计 利用多媒体：学生喜欢自己上网，并喜欢去了解未知的东西，所以提前布置任务，让学生阅读课本68页的阅读材料，并上网查找有关对数的介绍，了解对数的重要性。 采用“学案导学”的教学方法：高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，所以学生完全可以学懂课本的有关知识，所以，以问题与练习的形式制成学案，让学生自学课本62页——63页后完成，达到进一步理解对数概念，并体会转化思想在对数运算中的目的。 小组讨论：对数恒等式的得出，即较难的对数求解问题，让学生讨论得出，培养学生合作学习的能力。 五、教学重点及难点 教学重点：指数式与对数式的互相转化，对数性质的推导。 教学难点：对数概念以及对数符号的理解,对数性质的 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 这些式子，都是已知底数和幂的值，求指数，而且我们不能根据熟悉的数据解出来。要解决这个问题，就要用到我们这节课将要 思考问题一：截止到1999年底，我国 人口约13亿,如果今后能将人口平均增长 率控制在1%,那么经过20年后我国人口数 最多为多少亿？ 让学生在实际背 景中认识对数概念，通 过适当的素材创设情 境，使学生认识到引入 §2.7.2 对数的运算性质 教学目标 （一） 教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点 对数运算性质的应用. 教学难点 化简,求值技巧. 教学方法 启发引导法 教学过程. 一、 复习回顾 上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： l o g b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >） 本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质 由对数的定义可得：log 10a = l o g 1a a = （0a >且1a ≠） 把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数 形式。 把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠） 通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。 例如： log 2 2 2log a a a a == （0a >且1a ≠） 2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。 指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： l o g a p M = l o g a q N = l o g a p q M N += ∴ l o g l o g l o g a a a M N M N += （0M > 0N > 0a >且1a ≠） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。 请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？ log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ l o g l o g l o g l o g a a a a M M N N N N = +- l o g ()l o g a a M N N N =?- l o g l o g a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘， 即 1212 l o g l o g l o g l o g a a a N a n N N N N N N +++= 若 12N N N N M ==== 则上式可化为 l o g l o g n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？ 下证 l o g l o g n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 证明：设 l o g a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 l o g l o g n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。 例如：3222log 8log 23log 23=== 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0高中数学对数教学设计
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