构造凸函数与不等式证明

构造凸函数与不等式证明

董永春

(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)

0 引言

近年来，一些常见的具有条件1a b c ++=与11n

i i a ==∑的轮换、对称不等式，由于和谐之美，

且每一变量相等时不等式取等号这一共性，被很多数学爱好者推广，在很多期刊都可见到，凸函数性质的文章也很多，笔者发现大多是有重叠的，如果一再的推广这类不等式已经意义

不大。笔者[2] [3] [4] [5]

前期也进行了一些研究与推广，经过总结，发现变元和为定值，且特征函数的二阶导存在，就可以借助凸函数理论进行简单的机械证明。这样我们可以把目光投向别的不等式。本文将分三部分，先给出一些著名不等式，再借助凸函数理论证明一系列的竞赛题，力图解决更一般的不等式族，最后从变元个数、次数进行加权推广。

1 凸函数性质的有关准备

文[１] [8]

用凸函数理论证明了詹生不等式（1），算术-几何-调和平均不等式（2）（3），杨氏(Young)不等式（5），霍尔德（Holder-Cauchy ）不等式（6）,柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwartz ）不等

式等一系列著名不等式。本文不打算给出文[１] [9]

的证明，只给出一些研究结论： （1）非负实数x 1 ， x 2 ，… x n 满足

∑=n

i i

x

1

=s >0,若f(x)在(0,s)是严凸函数,则F(n s ，n s ，n s

，… ，

n

s )≤F （x 1 ， x 2 ，… x n ）≤F （n ，0，0，…,0）若为严凹则不等号反向.

（2）非负实数x 1 ， x 2 ，… x n

，...12x x x n n

+++≤

（3）

1...12(...)1211...1x x x n

n

n

x x n

x x n

+++≤≤

++（4）12121122......n p

p p

n n n x x x p x p x p x ≤+++（5）

12121122p p x x p x p x ≤+（令11p p

=

，21p q =）得11p q

ab a b p q ≤+

（6）11

111n

n

n

p

q

p q i i i i i i i a b a b ===????≤ ? ?????

∑∑∑（,1p q >，111p q +=）（7）222111()()()n n n

i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ 2 利用凸函数性质证明不等式

例1 设,a b R +

∈，且1a b +=，求证: 11

(1)(1)9a b

+

+≥（第3届加拿大数学竞赛题） 分析 构造函数1()1f x x =+，32()f x x

''=0>，知()f x 为凸函数，

1112

(1)(1)(1)2

a b a b +

+≥++

例2 已知i x >0,12...1,n x x x +++=求证：222

12121

(1111)

n n x x x x x x n +++≥

----（1998《数

学通报》问题845）

分析 构造特征函数2()1x f x x =-，2

2

2()(1)

x x f x x -'=-，32()(1)f x x ''=-≥0,则22

21212...1111n

n x x x x n

x x x x +++≥----=11

n -(1

n

i

i x

x n

==∑,下同)

例3 若i a >0,满足

1

n i i a s ==∑，求证：1

1

n

i i i a n

s a n =≥

--∑

（1976年英国数学竞赛题） 分析 构造特征函数()x f x s x =

-,2

()()

s

f x s x '=-,42()()()s s x f x s x -''=->0,则1n

i i i

a a

n s a s a =≥--∑=1n n - 例4 若i a >0,满足

1

2n i i a a ==∑,求证：1

1

21

n

i i i a a a n =≥

--∑

（1982年西德数学竞赛题） 分析 构造特征函数()2x

f x a x

=

-，此不等式与例2、例3无本质区别， 例5 a, b,c 为满足a +b +c =1的非负实数，则

3

2

a bc

b a

c c ab a bc b ac c ab ---++≤+++（2008年加拿大数学竞赛题）

分析 构造函数22()x x f x x x -=+=11x x -+，22()(1)f x x -'=+，4

4(1)

()0(1)x f x x +''=≥+即可。

例6 a, b,c 为满足a +b +c =1的非负实数，求证：（1）

222

11127

10111a b c

++≤+++，（2）222910111a b c a b c ++≤+++，（3）3333

64

651111a b c d a b c d

+++≤++++（安振平系列）

分析 分别构造函数21()1f x x =

+，2()1x h x x =+，3()1x k x x =+，则22

2()(1)

x

f x x -'=+，4224

2(321)()(1)x x f x x +-''=

+=2224146[()]

39(1)x x +-+（可把此x 看成平均）知()f x ''<0. 2232(1)()(1)x x g x x -''=+≤0, 2333

6(2)

()(1)

x x h x x -''=+≤0即可,此证法更简洁、明了。

例8 1x y z ++=

3

2

+

≤

（2008年德国数学竞赛题） 分析

构造函数()f x =

2()f x ''=

即可。

例9 3a b c ++=，1,n n N ≥∈，则1113

4

222n n n n n n a b b c a c ++≤++++++

分析 构造函数1

()2n n

f x x x

=

++即可。 例10 已知a 、b 、c 、d 、e 为实数，且2

2

2

2

2

16a b c d e ++++=，求e 的最大值 分析 构造函数

2()f x x =，()0f x ''>，知()f x 为凸函数，

2

222244a b c d a b c d ++++++??≤ ?

??

，易知e 的最大值为a b c d e ====时取得。

3 利用凸函数理论推广、加强不等式

以上不等式如有需要，均可以从变元个数、变元次数、参数个数等方面进行加权推广，以

笔者前期的拙作[2] [3] [4] [5]

为例，进行演示。

例8 a, b,c 为满足a +b +c =1的非负实数，则2221c b a +++2221a c b +++2

221a

b c ++≥15可推广为： （1）若i a >0,

∑=n

i i

a

1

=1，

2

3

222

11a a a +++

2

4

2

32

21a a a +++…+

2

2

2

12

1a a a n ++≥

2

)

1(2+n n （变元个数） （2）设1a ,2a ,.....m

a ∈+

R ,且∑=m

i i a 1

=1,n ∈+

N

则32111a a a a n ++++4

32

1

2a a a a n ++++…+211a a a a m n m +++

≥

1

21-?+n n

m m ，（变元次数） （3）设1a ,2a ,.....m a λ∈+

R ,且

∑=m

i i

a

1

=1,n ∈+

N

则32111a a a a n +++λ+432

1

2a a a a n +++λ+…+2

11a a a a m n m +++λ ≥)

1()1(1-++n n

m

m λ（加权推广） （4）设1a ,2a ,.....m a ，λ，μ∈+

R ,且

∑=m

i i

a

1

=1,n ∈+

N 则

3211a a a a l

n μλ+++4322a a a a l

n

μλ+++…+21a a a a l

m n m μλ++≥ 2

1

1)(-+--++n l l n m

n n μλ

证明过程借助凸函数理论，参见文[2] [3] [4] [5] 。

4 结束语

以上一系列不等式，共性就是轮换、对称，且变量之和为定值，且特征函数的二阶导存在，完全可以简化证明，进而去探索不可构造函数的循环不等式与其他不等式。

参考文献:

[1] 谢平民．凸函数与不等式[M]．初等数学丛论4，1990 (10).

[2] 董永春，对几个代数不等式研讨的再探讨[J]．中学数学教学参考，2011 (4).

[3] 董永春，关于一对姊妹不等式的再思考[J]．中学数学教学参考，2011(1-2)

[4] 董永春，对一个猜想的否定[J]．中学数学教学参考，2010(1-2)

[5] 董永春，对一个猜想的改进[J]，中学数学教学参考，2010，（4）

[6]陈文灯，黄先开，数学复习指南（理工类）[M]．北京：世界图书出版公司北京公司．2004；349-351

[7]倪雪华，函数的凹凸性在不等式中的应用[J]．高等函授学报（自然科学版），2011，24(6):83-84.

[8]王思聪，一个蕴含诸多不等式的凸函数的命题[J]贵州教育学院学报，2008,19（3）：8-10

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

34用构造局部不等式法证明不等式

用构造局部不等式法证明不等式 有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。 例1. 若a b R ，∈*，a b +=2，求证：212123a b +++≤ 分析：由a ，b 在已知条件中的对称性可知，只有当a b ==1，即213a +=时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。 证明：213321333213233 2a a a a +=+≤++=+···()() 同理，2133 2b b +≤+() ∴212133233223a b a b +++≤ +++=()() 例2. 设x x x n 12，，…，是n 个正数，求证：x x x x x x x x x x n n n 1222231221 12++++≥+-… ++…x n 。 证明：题中这些正数的对称性，只有当x x x n 12===…时，等号才成立，构造局部不等式如下： x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n 122212233212121 12222+≥+≥+≥+≥--，，…，，。 将上述n 个同向不等式相加，并整理得： x x x x x x x x x x x n n n n 1222231221 12++++≥+++-……。 例3. 已知a a a n 12，，…，均为正数，且a a a n 121+++=…，求证： a a a a a a a a a n n 121222232112 ++++++≥…。 证明：因a a a n 12，，…，均为正数，故a a a a a a 12121214 +++≥，

构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x =，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型

构造函数法证明导数不等式的八种方法Word版

构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F

构造函数证明不等式

构造函数证明不等式 构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的(4n-4)/6n+3)次方不等式两边取自然对数(严格递增)有: ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n +3) 不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1) =ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)] 构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3) 对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2 当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有 f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0 即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3) 原不等式等证 【解】： ∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] > e^((4n-4)/(6n+3)) ∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1) ∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1) 原式可化简为：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))

其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2 ∵e^((4n-4)/(6n+3)) ∴F’(n)>0 [n≥2] 而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0 所以F(n)>0 [n≥2] 即：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 故得证。 一、结合勘根定理，利用判别式“△”的特点构造函数证明不等式例1 若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c>0，a-3b+c求证：9b2>4ac. 证明构造函数f(x),设f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)， 由f(2)=4a+6b+c>0， f(-1)=a-3b+c根据勘根定理可知：f(x)在区间(-1,2)内必有零点. 又f(x)为二次函数，由勘根定理结合可知： f(x)必有两个不同的零点. 令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0, 所以可得：9b2>4ac.命题得证. 评析本题合理变换思维角度，抓住问题本质，通过构造二次函数,将所要证明的结论转化成判别式“△”的问题,再结合勘根定理和二次函数知识，从而使问题获得解决. 二、结合构造函数的单调性证明不等式 例2 (2005年人教A版《选修4-5不等式选讲》例题改编)已知a,b,c 是实数，求证：

3 用导数证明函数不等式的四种常用方法

用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈.

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法

利用导数构造函数解不等式

构造函数解不等式 1.(2015全国2理科)．设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）（C ） （D ） 2若定义在R 上的函数()f x 是奇函数, ()02=f ,当x ＞0时，()()2x x f x f x -'＜0,恒成立，则不等式()x f x 2＞0的解集 A ()2,-∞-?()+∞,2 B ()0,2- ? ()+∞,2 C ()2,-∞-?()2,0 D ．()0,2-?()2,0 3定义在R 上的函数()f x 满足：()()1(0)4f x f x f '+>=，， 则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A .()0,+∞ B . ()(),03,-∞+∞U C .()(),00,-∞+∞U D .()3,+∞ 4. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞U C ．()(),01,-∞+∞U D ．()3,+∞ 5.定义在R 上的函数()f x 满足 则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为

6．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1

【高考数学】构造函数法证明导数不等式的八种方法

第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；

构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数 [典例](2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练] 已知函数f(x)＝x e x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线， 求证：f(x)≤g(x)．

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明 【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ， 求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 2 x . 求不等式0)2(4)2015()2015(2 >--++f x f x 的解集. 2、移项法构造函数 【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明 【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2 )(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f + 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令 x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2 3 ++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题练习

专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立 及能成立问题练习 一、选择题 1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ? ?? ??－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A.??????x ? ??x ＜12 B.?????? x ? ??0＜x ＜12 C.?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12 D.?????? x ???－12 ≤x ≤0或x ≥12 解析 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12. 答案 C 2.若不等式2x ln x ≥－x 2 ＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，4] C.(0，＋∞) D.[4，＋∞) 解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3 x 恒成立. 设f (x )＝2ln x ＋x ＋3 x ， 则f ′(x )＝（x ＋3）（x －1） x 2 (x ＞0). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4.所以a ≤4. 答案 B 3.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12 x .

令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D 4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时， xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析 令F (x )＝ f （x ） x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ） x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝ f （x ） x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 答案 A 5.(2016·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 解析 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝ f （x ） e x ，则F ′(x )＝ f ′（x ）－f （x ） e x ＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减. 又f (x )＜e x 等价于f （x ） e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0. 答案 B 二、填空题 6.已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0，2]?P ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0，2]上恒成立. 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立. 当x ∈(0，2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e x x －1，则g ′(x )＝e x （x －1）x 2 ，当0＜x

常见构造函数解不等式归纳

常见构造函数解不等式归纳 1． 对于不等式()(0)f x k k '>≠，构造函数()()g x f x kx b =-+ 2． 对于不等式()()0xf x f x '+>，构造函数()()g x xf x = 3． 对于不等式()()0xf x f x '->，构造函数()()(0)f x g x x x = ≠ 4． 对于不等式()()0xf x nf x '+>，构造函数()()n g x x f x = 5． 对于不等式()()0xf x nf x '->，构造函数()()(0)n f x g x x x = ≠ 6． 对于不等式()()0f x f x '+>，构造函数()()x g x e f x = 7． 对于不等式()()0f x f x '->，构造函数()()x f x g x e = 8． 对于不等式()()0f x kf x '+>，构造函数()()kx g x e f x = 9． 对于不等式()2()0f x xf x '+>，构造函数2()()x g x e f x = 10. 对于不等式0)(ln )('>+x af x f a x ，构造函数()()x g x a f x = 11. 对于不等式()()tan 0f x f x x '+>，构造函数()()sin g x f x x = 12. 对于不等式()()tan 0f x f x x '->，构造函数()()cos g x f x x = 13. 对于不等式：0cos )(sin )(' >-x x f x x f ，构造 x x f x h sin )()(= 14.对于不等式：0sin )(cos )('>+x x f x x f ，构造 x x f x h cos )()(= 15. 对于不等式()0() f x f x '>，构造函数()ln () g x f x = 16．对于不等式()()ln 0f x f x x x '+ >，构造函数()()ln g x f x x = 17.对于不等式：0)()()()(''>+x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h = 18.对于不等式：0)()()()(''>-x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h =

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明

学年论文 题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期

浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明 摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式. 关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明 函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。 1. 凹凸函数的定义与性质 1.1 定义 设()f x 是在区间I 上有定义的连续的函数，如果对I 中的任意两点1x 与2x 和非负实数 1q 与2q ，且 121q q +=，成立不等式 11221122()()()f q x q x q f x q f x +≤+. （1） 则称函数()f x 区间I 上的凸函数；反之若有 11221122()()()f q x q x q f x q f x +≥+. （2） 则称函数()f x 区间I 上的凹函数。 注：1。 若将（1）式中的“≤”改为“<”,则称函数()f x 区间I 上的严格凸函数； 2。若将（2）式中的“≥”改为“>”,则称函数()f x 区间I 上的严格凹函数. 显然，若()f x 是凸（凹）的，则()f x -是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了. 1.2 几何图像上的直观反映

（图1.2a ） （图1.2b ） 图1.2a 就是凸函数的几何形状；图1.2b 是凹函数的几何形状. 1.3 性质 性质1 ：若()f x 为凸函数，则有： 1212()()()22 x x f x f x f ++≤ . （3） 若()f x 为凹函数，则有： 1212()() ( )22 x x f x f x f ++≥. （4） 很显然，我们分别在（1），（2）式中令121 2 q q ==，就可得到上述性质。 性质2：若()f x 为凸函数，则如下不等式成立 1 1 ()()n n i i i i i i f q x q f x ==≤∑∑ （5） 此不等式被称为詹森不等式。 依照凸函数定义[参看（1）式]，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。 1.4 凹凸函数的判定定理 引理：()f x 为区间I 上的凸函数的充要条件是：对于123,,x x x I ?∈，若123x x x <<，总有 21322132 ()() f x x f x x x x x x --≤--. （6） 此引理在书目[1]中有详细的证明，在此不予重复。 定理1：设()f x 是区间I 上的可导函数，()f x 为凸函数的充要条件是：对于12,x x I ?∈ ，若12x x ≤，有 12()()f x f x ''≤. 证明：必要性 假定()f x 是凸的，对于12,x x I ?∈，设12x x x <<，由（6）式得：

四种构造函数法证明不等式

四种构造函数法证明不等式 利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键． 考点一“比较法”构造函数证明不等式 当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)＝x3，g(x)＝ln x，进而证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，进而证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明g(x)＞0(f(x)＞0)的前提下，也可 以类比作商法，构造函数h(x)＝f(x) g(x)? ? ? ? ? φ(x)＝ g(x) f(x)，进而证明h(x)min≥1(φ(x)max≤1)． 【例题】已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)求证：当x＞0时，x2＜e x. 【解析】(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a. 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增．

构造函数证明数列不等式

数列不等式求证 题目1：求证2 1+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n 1 题目2：求证<+) 1(2 n n n ln 4ln 3ln 2ln ?????? 题目3：求证 n n n 1 ln 44ln 33ln 22ln

构造函数法证特殊数列不等式 题目1：求证 2 1+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n 1 (一)构造函数①)0(1)1ln()(>+-+=x x x x x f 分析：2)1()1(11)(x x x x x f +-+-+= '=2 ) 1(x x +>0,函数)(x f 在(0,+∞)上单调递增。 所以当0>x 时，有)(x f >f(0)=0，即有)0(1)1ln(>+> +x x x x 因而有21111)111ln(=+> +,3121121 )211ln(=+>+,41 3 131)311ln(=+>+， (11) 111)11ln(+= +>+n n n n 故：)111ln(++)211ln(++)311ln(++……+)11ln(n +>21+31+41+……+11 +n 即>+)1ln(n 21+31+41+……+1 1 +n （二）构造函数②)0()1ln()(>-+=x x x x f 分析：111)(-+= 'x x f =x x +-1<0,函数)(x f 在(0,+∞)上单调递减。 所以当0>x 时，有)(x f <+x x x 因而有1)111ln(<+,21)2 11ln(<+,31)311ln(<+,……, n n 1 )11ln(<+ 故：)111ln(++)211ln(++)311ln(++……+)11ln(n +<1+21+31+41+……+n 1 即<+)1ln(n 1+21+31+41+……+n 1 综上有： 2 1+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n 1 小结：记住函数不等关系㈠x x +1<)0()1ln(><+x x x 题目2：求证 <+) 1(2 n n n ln 4ln 3ln 2ln ??????