2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数模型及其应用(含解析)

第十节函数模型及其应用

[知识能否忆起]

1．几种常见的函数模型

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A．f(x)>g(x)>h(x)

B．g(x)>f(x)>h(x)

C．g(x)>h(x)>f(x)

D．f(x)>h(x)>g(x)

答案：选B由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()

解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1

2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企

业一个月应生产该商品数量为( )

A ．36万件

B ．18万件

C ．22万件

D ．9万件

解析：选B 利润L (x )＝20x －C (x )＝－1

2(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．

4．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本

y

是经过年数

x (0

y ＝f (x )可写成

___________________________．

解析：依题意有y ＝a (1－p %)x (0

5.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方

围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)

解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋

200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.

答案：2 500 m 2

1.解答函数应用题的一般步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：

2．解函数应用题常见的错误

(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．

典题导入

[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝1

2

x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

[自主解答] 设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y

＝100x －????12x 2

－200x ＋80 000 ＝－1

2x 2＋300x －80 000

＝－1

2(x －300)2－35 000，

因为400≤x ≤600，

所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．

由题悟法

1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利

用一次函数的图象与单调性求解．

2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．

3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

以题试法

1．(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？

解：如图，剪出的矩形为CDEF ，

设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y .

∵△AFE ∽△ACB ，∴AF AC ＝FE BC ，

即

40－y 40＝x

60

. ∴y ＝40－2

3x .剩下的残料面积为

S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝2

3(x －30)2＋600. ∵0

∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.

∴在边长60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．

典题导入

[例2] (2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为?

???

0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；

(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？

[自主解答] (1)当0

19400x －1

2

， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－????0.25×x 100＋0.5＝12－1

400

x ， 故f (x )＝???

－120 000x 2＋19400x －12

，0

400x ，x >500.

(2)当0

32，

故当x ＝475时，f (x )max ＝34532

. 当x >500时，f (x )＝12－

1400x <12－54＝34432<34532

， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．

由题悟法

1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．

2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．

以题试法

2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．

(1)求y 关于x 的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时， y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，

y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.

所以y ＝?????

14.4x ，0≤x ≤45

，

20.4x －4.8，45

3，

24x －9.6，x >43

.

(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，

当x ∈????0，45时，y ≤f ????4

5<26.4； 当x ∈????45，43时，y ≤f ???

?4

3<26.4； 当x ∈????4

3，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.

所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元； 乙户用水量为3x ＝4.5吨， 付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．

典题导入

[例3] (2012·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

2

.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？

[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x (0

2，

解得x ＝1－????121

10.

(2)设经过m 年剩余面积为原来的2

2

，则 a (1－x )m ＝

2

2

a ，即????12m 10＝????1212，m 10＝12，解得m ＝5.

故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为2

2

a (1－x )n . 令

22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24

， ????12n 10≥????1232，n 10≤32

，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．

由题悟法

增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．

以题试法

3．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．

解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝13

10

，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310

＝1 300(万元)．

答案：1 300

1．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )

解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.

2．(2012·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为?

???30－5

2R 万件，要使附加税不少于128万元，

则R 的取值范围是( )

A ．[4,8]

B ．[6,10]

C ．[4%,8%]

D ．[6%,100%]

解析：选A 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需????30－5

2R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．

3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低1

3，

现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )

A ．2 000元

B ．2 400元

C ．2 800元

D ．3 000元

解析：选B 设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×????1－1

33＝2 400. 4．(2013·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是

月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )

A ．10元

B ．20元

C ．30元

D.40

3

元 解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.

于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．

5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )

A ．y ＝100x

B ．y ＝50x 2－50x ＋100

C ．y ＝50×2x

D ．y ＝100log 2x ＋100

解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 6．(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )

A ．略有盈利

B ．略有亏损

C ．没有盈利也没有亏损

D ．无法判断盈亏情况

解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n

＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a

7．(2012·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为______．

解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝????

?

x ，0≤x ≤200，0.9x ，200500.

当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．

答案：546.6元

8．(2012·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上

方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．

解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S

＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.

答案：30 cm,20 cm

9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．

解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有

3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－11

5(舍去)，

故1＋x %≥6

5

，解得x ≥20.

答案：20

10．(2012·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.

请分析函数y ＝x

150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．

解：对于函数模型y ＝f (x )＝

x

150

＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )为增函数， f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝20

3＋2<9，

所以f (x )≤9恒成立．

但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，即f (x )≤x

5不恒成立．

故函数模型y ＝x

150

＋2不符合公司要求．

11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0

(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；

(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．

解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]．

即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0

3

(舍去)．

当00；当1

2

故当x ＝1

2时，y 取得最大值．

此时销售价为6 000×3

2

＝9 000(元)．

故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大．

12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶

金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .

(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；

(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．

解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．

因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．

令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2.

因为t >0，所以0＜t ≤

S －ab

2

， 从而xy ≤ab ＋S －2abS

4

.

由?

????

bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ， 得?????

x ＝abS －ab

2b ，y ＝

abS －ab

2a

.

所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab

2a

时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS .

1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )

A ．90万m 2

B ．87万m 2

C ．85万m 2

D ．80万m 2

解析：选B 由题意500×(1＋1%)10×7－500×6

10

≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．

2.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，

满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．

解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H

2附近时，

体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H

2

时，增加越来越慢．

答案：②

3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；

(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，

再由已知得?

???

?

200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，

解得???

a ＝－13

，

b ＝200

3.

故函数v (x )的表达式为

v (x )＝?????

60，0≤x ≤20，13(200－x )，20≤x ≤200.

(2)依题意并由(1)可得

f (x )＝????

?

60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20≤x ≤200.

当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，

故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝1

3

x (200－x )≤

13????x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立．

所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003

.

综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000

3

≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

(2012·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．

(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．

解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .

由图知f (1)＝14，故k 1＝14.又g (4)＝52，故k 2＝54.

从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝5

4x (x ≥0)．

(2)设A 产品投入x 万元， 则B 产品投入(10－x )万元， 设企业利润为y 万元．

y ＝f (x )＋g (10－x )＝14x ＋5

410－x (0≤x ≤10)．

令t ＝10－x ，则

y ＝10－t 24＋54t ＝－14????t －522＋65

16

(0≤t ≤10)．

当t ＝52时，y max ＝65

16

，此时x ＝3.75,10－x ＝6.25.

即当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为65

16万元．