数学华东师大版七年级下册凸多边形与凹多边形的区别

凸多边形和凹多边形的区别

凸多边形：

定义

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凸多边形（Convex Polygon）可以有以下三种定义：

?没有任何一个内角是优角（Reflexive Angle）的多边形。

?如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他

各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。[1]

?凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形。简单多边形的下列性质与其凸性等

价：1、所有内角小于等于180度。2、任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或

边上。3、多边形内任意两个点，其连线全部在多边形内部或边上。

凸多边形

示例

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?所有的正多边形都是凸多边形。[1]

?所有的三角形都是凸多边形。

性质

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?凸多边形的内角均小于或等于180°，边数为n（n属于Z且n大于2）的凸多

边形内角和为（n－2）×180°，但任意凸多边形外角和均为360°，并可通过反证法

证明凸多边形内角中锐角的个数不能多于3个。

?凸多边形所有对角线都在内部，边数为n的凸多边形对角线条数为2-1n(n-3)，其中通过任一顶点可与其余n－3个顶点连对角线。[2]

凹多边形：

定义

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凹多边形（Concave Polygon）可以有以下三种定义方式：

凹多边形

?至少有一个优角（Reflexive Angle）的多边形。（例如上图中，∠CDE>180°）

[1]

?把一个各边不自交的多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形

的所有边中只要有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不在此直线的同

旁（如上图左），那么这个多边形就叫做凹多边形。[2]

?凹多边形的是一个内部为非凸集的简单多边形.简单多边形的下列性质与其凸

性等价：1、一个内角大于180度。2、存在两个顶点间的线段位于多边形的外部。

3、多边形内存在两个点，其连线不全部在多边形内部。[3]

示例

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五角星、四角星、八角星、六角形等都是凹多边形：例如，正六角星中，有一个240°的角。[2]

性质

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?平面上，不可能存在凹三角形。[2]

?凹多边形的内角和的解，应该通过（n-2）180°来计算。实际上是把大于平角

的角划分为两个角，使得任意一个凹N多边形，都可分画为N-2个三角形，因此凹

多边形的内角和，也适用（N-2）180°这个公式。不可以沿着一条边的延长线切割

凹多边形。[3]

?平面上，凹多边形与边数相同的凸多边形的内角和相等。[1]

凹多边形内角和的计算方法：任意一个凸（或凹）N多边形,都可分画为N-2个三角形,因此凹多边形的内角和,也适用（N-2）180°这个公式

凹多边形的外角和是：360+大于180度的内角的个数*180