荆州中学高二下学期数学测试卷(17)2015.06.25 fg
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且
只有一项符合题目要求. (1)为了检查某超市货架上的奶粉质量,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可以是
(A)5,10,15,20,25 (B)2,4,8,16,32 (C)1,2,3,4,5 (D)7,17,27,37,47
(2)已知集合22{(,)|,4}A x y x y R x y =∈+=且,集合{(,)|,2}B x y x y R y x =∈=-且,
则A ∩ B 的元素个数为 (A )0
(B )1 (C )2
(D )3
(3)复数z =1-3i 1+2i
,则
(A )|z |=2 (B )z 的实部为1
(C )z 的虚部为-i
(D )z 的共轭复数为-1+i
(4)已知随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),若P (X ≤2)=0.72,
则P (X ≤0)= (A )0.22 (B )0.28 (C )0.36
(D )0.64
(5)执行右面的程序框图,若输出的k =2,则输入x 的取值范围是
(A )(21,41) (B )[21,41] (C )(21,41] (D )[21,41)
(6)过双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF (O 为原
点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 (A ) 2 (B )2 (C ) 5 (D ) 3
(7)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有
(A )144个 (B )120个 (C )96个 (D )72个 (8)设,a b 都是不等于1的正数,则“333a
b
>>”是“log 3log 3a b <”的
(A) 充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件
(9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤??
+≤??+≥?
,则xy 的最大值为
(A )
252
(B )492 (C )12 (D )14
(10)点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点,
则1PA PC ?
的取值范围是
(A )1
[1,]4-- (B )11[,]24-- (C )[1,0]- (D )1[,0]2
-
(11)设函数()()y f x x R =∈的导函数为'()f x ,且()()f x f x =-,()()f x f x '<,则
下列不等式成立的是(注:e 为自然对数的底数)
(A )12(0)(1)(2)f e f e f -<< (B )12(1)(0)(2)e f f e f -<< (C )21(2)(1)(0)e f e f f -<< (D )21(2)(0)(1)e f f e f -<< (12)关于曲线1
12
2
:1C x y +=,给出下列四个命题:
①曲线C 有且仅有一条对称轴; ②曲线C 的长度l 满足l >2;
③曲线C 上的点到原点距离的最小值为
24 ; ④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 1
6
上述命题中,真命题的个数是 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.
(13)下列各数(6)(4)(2)150,1000,111111中最小的数是__________.
(14)在(1+x 2
)(
1-
2 x
)
5
的展开式中,常数项为__________.
(15)如图,点A 的坐标为()1,0 ,点C 的坐标为()2,4 ,函数
()2f x x = ,若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影
部分的概率等于 .
(16)△ABC 的顶点A 在2
4y x =上,B ,C 两点在直线250x y -+=上,
若||AB AC -=
△ABC 面积的最小值为_____.
三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)
已知命题p:函数
3(1)
()
a
f x x
x
-
=+(常数1
a>)在区间(0,3)
上的最小值是q:集合2
{|(2)10},{|0}
A x x a x
B x x
=+++==>,且A B=Φ
;若p
?或q
?为真,p
?且q
?为假,求a的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:
(Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小;
(Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过
..15分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得
分均超过
...15分次数X的分布列和均值.
(19)(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AB1B1A为正方形,侧面BB1C1C为菱形,
∠CBB1=60?,AB⊥B1C.
(Ⅰ)求证:平面AB1B1A⊥BB1C1C;
(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值.
B
C
B1
B
A
C1
A1
A
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>经过点M (-2,-1),离心率为2
2.过点M 作
倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P Q 、. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)证明:直线PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)PMQ ∠能否为直角?证明你的结论.
(22)(本小题满分10分)
设()n n n f n
-??
?
??+=11,其中n 为正整数.
(1)求)1(f ,)2(f ,)3(f 的值;
(2)猜想满足不等式0)( 荆州中学高二下学期数学测试卷(17)参考答案 一、选择题: 1、D 2、C 3、D 4、B 5、C 6、A 7、B 8、B 9、A 10、D 11、B 12、A 第9题参考解答:画出可行域,当动点在线段AC 上时xy 取得最大, 此时2x +y =10 ,故xy =12(2x ·y )≤21225 ()222 x y += 当且仅当x =52,y =5时取等号,对应点落在线段AC 上,故最大值为25 2 二、填空题: (13))2(111111 (14)41 (15) 5 12 (16)1 三、解答题: (17)解:对于命题p :3(1) 0,1,()a x a f x x x ->>∴=+≥ 当且仅当3(1) a x x x -= ?= min ()f x = 因此有0314a << 对于命题q :若A =Φ,则040a ?-<< 若A ≠Φ,设方程2(2)10x a x +++=的两根为12,x x ,有A B =Φ 可得 12120 00 x x x x ?≥+≤≥0a ?≥ 即命题q 为真时有4a >- 依题意命题,p q 中有且只有一个真命题,故所求a 的取值范围是(4,1][4,)-+∞ . (18)解: (Ⅰ)x -甲= 1 8 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x -乙= 1 8(7+8+10+15+17+19+21+23)=15, s 2甲= 1 8[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, s 2乙= 1 8 [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小). …4分 (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1= 3 8 ,p 2 = 1 2,两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2=316 , 依题意,X ~B ( 2,316),P (X =k )=C k 2(316)k (1316 ) 2-k ,k =0,1,2, …7分 X 的分布列为 …10分 X 的均值E (X )=2×316= 3 8 . ……………………………12分 (19)解: (Ⅰ)由侧面AB 1B 1A 为正方形,知AB ⊥BB 1. 又AB ⊥B 1C ,BB 1∩B 1C =B 1,所以AB ⊥平面BB 1C 1C , 又AB ?平面AB 1B 1A ,所以平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C .…………………………4分 (Ⅱ)建立如图所示的坐标系O -xyz . 其中O 是BB 1的中点,Ox ∥AB ,OB 1为y 轴,OC 为z 轴. 设AB =2,则A (2,-1,0),B (0,-1,0),C (0,0,3),A 1(2,1,0). AB →=(-2,0,0),AC →=(-2,1,3),AA 1→=(0,2,0). …6分 设n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 )为面ABC 的法向量,则n 1 ·AB →=0,n 1 ·AC →=0, 即?? ?-2x 1=0, -2x 1+y 1+3z 1=0. 取z 1=-1,得n 1=(0,3,-1). …8分 设n 2=(x 2,y 2,z 2)为面ACA 1的法向量,则n 2·AA 1→=0,n 2·AC →=0, 即???2y 2=0,-2x 2+y 2+3z 2=0. 取x 2=3,得n 2=(3,0,2). …………………10分 所以cos ?n 1,n 2?=n 1·n 2|n 1||n 2|=-7 7 . 因此二面角B -AC -A 1的余弦值为-7 7 . ……………………………12分 (20)解: (Ⅰ)由题设,得4a 2+1 b 2=1, ① 且a 2-b 2a =22 , ② 由①、②解得a 2=6,b 2=3, 椭圆C 的方程为x 26+y 2 3 =1. …………………………………………………3分 (Ⅱ)记P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2). 设直线MP 的方程为y +1=k (x +2),与椭圆C 的方程联立,得 (1+2k 2)x 2+(8k 2-4k )x +8k 2-8k -4=0, -2,x 1是该方程的两根,则-2x 1=8k 2-8k -41+2k 2,x 1=-4k 2+4k +2 1+2k 2 . 设直线MQ 的方程为y +1=-k (x +2), 同理得x 2=-4k 2-4k +2 1+2k 2 .………………………………………………………6分 因y 1+1=k (x 1+2),y 2+1=-k (x 2+2), 故k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+2)+k (x 2+2)x 1-x 2=k (x 1+x 2+4)x 1-x 2 =8k 1+2k 2 8k 1+2k 2 =1, 因此直线PQ 的斜率为定值. ……………………………………………………9分 (Ⅲ)设直线MP 的斜率为k ,则直线MQ 的斜率为-k , 假设∠PMQ 为直角,则k ·(-k )=-1,k =±1. 若k =1,则直线MQ 方程y +1=-(x +2), 与椭圆C 方程联立,得x 2+4x +4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若k =-1也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角.…………………………………………………………12分 (21)解:(I )当a=0,b=0时,f(x)=e x ()x f x e '=(0)1,(0)1f f '∴== ∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y -1=1(x-0),即:y=h(x)=x +1 证明:令()()()1x F x f x h x e x =-=-- ( ) ()10x F x e ∴-='≥()1x F x e x =∴--单调递增,又(0)0F = ()(0)F x F ∴≥即1(0)x e x x ≥+≥恒成立 ……………………………………4分 (II )当1b =-时,()()f x g x ≥等价于212 x x e ax +-≥ ( ) 令2 ()12 x x G x e ax =-+-()x G x e x a '∴=-+ ① 当1a ≥-时,由(1)知()10x x G x e x a e x '=-+≥--≥ 2()12x x G x e ax ∴=-+-单调递增,又(0)0G =212 x x e ax ∴+-≥ ② 当1a <-时,()10x G x e ''=->()x G x e x a '∴=-+单增 又(0)10G a '∴=+<,∴存在0[0,)x ∈+∞,使0()0G x '∴=,即00x e x a =- ∴()G x 在0(0,)x 单减,在0(,)x +∞上单增 又(0)0G = ,0(0,)x x ∴∈时,()0G x <不合题意,故1a ≥-…………8分 (III )要证: 1 ln 21 1(2())22ln(1)n k k e g n n k +=->++∑111 12(())22ln(1)n n k k k e g n n k ==?->++∑∑ 121 11 ()ln(1)2n k k e n n k =?-?>++∑ 由(II )令1a =-可知:2 12 x x e x ≥++ 令*1()x k N k =∈则1211112k e k k ≥++?,121111112n n n k k k k e n k k ===∴≥++∑∑∑ 又由(I )可知:1(0)x e x x >+>,ln(1)x x ∴>+ 令* 1,x k N k =∈,11ln(1)k k ∴>+,11 11ln(1)ln(1)n n k k n k k ==∴>+=+∑∑ 1 2111ln(1)2n n k k k e n n k ==∴>+++∑∑,即121 11 ()ln(1)2n k k e n n k =-?>++∑,故证之…………12分 (22)解: (1)()()()27 173,212,11-== =f f f ;………………………………4分 (2)当3≥n 且n N +∈时,()0f n <.…………………………………5分 下面用数学归纳法证明: ①当3n =时,17 (3)027 f =- <成立; ②假设(3,)n k k n N +=≥∈时,1()(1)0k f k k k =+-<成立, 当1n k =+时,+1111(+1)(1)+1(1)(1)+1k k f k k k k k +=+ -<+-+() 1111(1)(1)(1)[(1)]k k k k k k k k k +=++-+=+- 因为1 ()(1)0k f k k k =+-<,所以(1)0f k +<成立 故当3≥n 且n N +∈时,()0f n <恒成立.…………………………………10分