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荆州中学高二下学期数学测试卷(17)2015.06.25fg

荆州中学高二下学期数学测试卷(17)2015.06.25 fg

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且

只有一项符合题目要求. (1)为了检查某超市货架上的奶粉质量,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可以是

(A)5,10,15,20,25 (B)2,4,8,16,32 (C)1,2,3,4,5 (D)7,17,27,37,47

(2)已知集合22{(,)|,4}A x y x y R x y =∈+=且,集合{(,)|,2}B x y x y R y x =∈=-且,

则A ∩ B 的元素个数为 (A )0

(B )1 (C )2

(D )3

(3)复数z =1-3i 1+2i

,则

(A )|z |=2 (B )z 的实部为1

(C )z 的虚部为-i

(D )z 的共轭复数为-1+i

(4)已知随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),若P (X ≤2)=0.72,

则P (X ≤0)= (A )0.22 (B )0.28 (C )0.36

(D )0.64

(5)执行右面的程序框图,若输出的k =2,则输入x 的取值范围是

(A )(21,41) (B )[21,41] (C )(21,41] (D )[21,41)

(6)过双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF (O 为原

点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 (A ) 2 (B )2 (C ) 5 (D ) 3

(7)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有

(A )144个 (B )120个 (C )96个 (D )72个 (8)设,a b 都是不等于1的正数,则“333a

b

>>”是“log 3log 3a b <”的

(A) 充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件

(9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤??

+≤??+≥?

,则xy 的最大值为

(A )

252

(B )492 (C )12 (D )14

(10)点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点,

则1PA PC ?

的取值范围是

(A )1

[1,]4-- (B )11[,]24-- (C )[1,0]- (D )1[,0]2

-

(11)设函数()()y f x x R =∈的导函数为'()f x ,且()()f x f x =-,()()f x f x '<,则

下列不等式成立的是(注:e 为自然对数的底数)

(A )12(0)(1)(2)f e f e f -<< (B )12(1)(0)(2)e f f e f -<< (C )21(2)(1)(0)e f e f f -<< (D )21(2)(0)(1)e f f e f -<< (12)关于曲线1

12

2

:1C x y +=,给出下列四个命题:

①曲线C 有且仅有一条对称轴; ②曲线C 的长度l 满足l >2;

③曲线C 上的点到原点距离的最小值为

24 ; ④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 1

6

上述命题中,真命题的个数是 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.

(13)下列各数(6)(4)(2)150,1000,111111中最小的数是__________.

(14)在(1+x 2

)(

1-

2 x

)

5

的展开式中,常数项为__________.

(15)如图,点A 的坐标为()1,0 ,点C 的坐标为()2,4 ,函数

()2f x x = ,若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影

部分的概率等于 .

(16)△ABC 的顶点A 在2

4y x =上,B ,C 两点在直线250x y -+=上,

若||AB AC -=

△ABC 面积的最小值为_____.

三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)

已知命题p:函数

3(1)

()

a

f x x

x

-

=+(常数1

a>)在区间(0,3)

上的最小值是q:集合2

{|(2)10},{|0}

A x x a x

B x x

=+++==>,且A B=Φ

;若p

?或q

?为真,p

?且q

?为假,求a的取值范围。

(18)(本小题满分12分)

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:

(Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小;

(Ⅱ)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过

..15分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得

分均超过

...15分次数X的分布列和均值.

(19)(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AB1B1A为正方形,侧面BB1C1C为菱形,

∠CBB1=60?,AB⊥B1C.

(Ⅰ)求证:平面AB1B1A⊥BB1C1C;

(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值.

B

C

B1

B

A

C1

A1

A

(20)(本小题满分12分)

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b

+=>>经过点M (-2,-1),离心率为2

2.过点M 作

倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P Q 、. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)证明:直线PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ)PMQ ∠能否为直角?证明你的结论.

(22)(本小题满分10分)

设()n n n f n

-??

?

??+=11,其中n 为正整数.

(1)求)1(f ,)2(f ,)3(f 的值;

(2)猜想满足不等式0)(

荆州中学高二下学期数学测试卷(17)参考答案

一、选择题:

1、D

2、C

3、D

4、B

5、C

6、A

7、B

8、B

9、A 10、D 11、B 12、A 第9题参考解答:画出可行域,当动点在线段AC 上时xy 取得最大,

此时2x +y =10 ,故xy =12(2x ·y )≤21225

()222

x y +=

当且仅当x =52,y =5时取等号,对应点落在线段AC 上,故最大值为25

2

二、填空题:

(13))2(111111 (14)41 (15)

5

12

(16)1 三、解答题:

(17)解:对于命题p

:3(1)

0,1,()a x a f x x x

->>∴=+≥

当且仅当3(1)

a x x x

-=

?=

min ()f x =

因此有0314a

对于命题q :若A =Φ,则040a ?

若A ≠Φ,设方程2(2)10x a x +++=的两根为12,x x ,有A B =Φ 可得

12120

00

x x x x ?≥+≤≥0a ?≥ 即命题q 为真时有4a >-

依题意命题,p q 中有且只有一个真命题,故所求a 的取值范围是(4,1][4,)-+∞ .

(18)解:

(Ⅰ)x

-甲= 1 8

(7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x

-乙= 1 8(7+8+10+15+17+19+21+23)=15, s 2甲= 1 8[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,

s 2乙= 1 8

[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.

甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小). …4分

(Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1= 3

8

,p 2

= 1 2,两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2=316

依题意,X ~B (

2,316),P (X =k )=C k 2(316)k

(1316

)

2-k ,k =0,1,2, …7分 X 的分布列为

…10分

X 的均值E (X )=2×316= 3

8

. ……………………………12分

(19)解:

(Ⅰ)由侧面AB 1B 1A 为正方形,知AB ⊥BB 1.

又AB ⊥B 1C ,BB 1∩B 1C =B 1,所以AB ⊥平面BB 1C 1C ,

又AB ?平面AB 1B 1A ,所以平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C .…………………………4分

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系O -xyz .

其中O 是BB 1的中点,Ox ∥AB ,OB 1为y 轴,OC 为z 轴.

设AB =2,则A (2,-1,0),B (0,-1,0),C (0,0,3),A 1(2,1,0).

AB →=(-2,0,0),AC →=(-2,1,3),AA 1→=(0,2,0).

…6分

设n 1

=(x 1

,y 1

,z 1

)为面ABC 的法向量,则n 1

·AB →=0,n 1

·AC →=0,

即??

?-2x 1=0,

-2x 1+y 1+3z 1=0.

取z 1=-1,得n 1=(0,3,-1).

…8分

设n 2=(x 2,y 2,z 2)为面ACA 1的法向量,则n 2·AA 1→=0,n 2·AC →=0,

即???2y 2=0,-2x 2+y 2+3z 2=0.

取x 2=3,得n 2=(3,0,2). …………………10分 所以cos ?n 1,n 2?=n 1·n 2|n 1||n 2|=-7

7

因此二面角B -AC -A 1的余弦值为-7

7

. ……………………………12分

(20)解:

(Ⅰ)由题设,得4a 2+1

b

2=1, ①

且a 2-b 2a =22

, ②

由①、②解得a 2=6,b 2=3,

椭圆C 的方程为x 26+y 2

3

=1. …………………………………………………3分

(Ⅱ)记P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2).

设直线MP 的方程为y +1=k (x

+2),与椭圆C 的方程联立,得 (1+2k 2)x 2+(8k 2-4k )x +8k 2-8k -4=0,

-2,x 1是该方程的两根,则-2x 1=8k 2-8k -41+2k 2,x 1=-4k 2+4k +2

1+2k 2

设直线MQ 的方程为y +1=-k (x +2),

同理得x 2=-4k 2-4k +2

1+2k 2

.………………………………………………………6分

因y 1+1=k (x 1+2),y 2+1=-k (x 2+2),

故k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+2)+k (x 2+2)x 1-x 2=k (x 1+x 2+4)x 1-x 2

=8k

1+2k

2

8k 1+2k 2

=1,

因此直线PQ 的斜率为定值. ……………………………………………………9分 (Ⅲ)设直线MP 的斜率为k ,则直线MQ 的斜率为-k , 假设∠PMQ 为直角,则k ·(-k )=-1,k =±1. 若k =1,则直线MQ 方程y +1=-(x +2), 与椭圆C 方程联立,得x 2+4x +4=0,

该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若k =-1也不合题意.

故∠PMQ 不可能为直角.…………………………………………………………12分

(21)解:(I )当a=0,b=0时,f(x)=e x

()x f x e '=(0)1,(0)1f f '∴==

∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y -1=1(x-0),即:y=h(x)=x +1 证明:令()()()1x F x f x h x e x =-=-- (

()10x F x e ∴-='≥()1x F x e x =∴--单调递增,又(0)0F =

()(0)F x F ∴≥即1(0)x e x x ≥+≥恒成立 ……………………………………4分

(II )当1b =-时,()()f x g x ≥等价于212

x

x e ax +-≥ (

令2

()12

x

x G x e ax =-+-()x G x e x a '∴=-+ ① 当1a ≥-时,由(1)知()10x x

G x e x a e x '=-+≥--≥

2()12x

x G x e ax ∴=-+-单调递增,又(0)0G =212

x

x e ax ∴+-≥

② 当1a <-时,()10x G x e ''=->()x

G x e x a '∴=-+单增

又(0)10G a '∴=+<,∴存在0[0,)x ∈+∞,使0()0G x '∴=,即00x

e x a =- ∴()G x 在0(0,)x 单减,在0(,)x +∞上单增

又(0)0G = ,0(0,)x x ∴∈时,()0G x <不合题意,故1a ≥-…………8分 (III )要证:

1

ln 21

1(2())22ln(1)n

k

k e

g n n k +=->++∑111

12(())22ln(1)n n

k

k k e g n n k ==?->++∑∑

121

11

()ln(1)2n

k

k e n n k =?-?>++∑

由(II )令1a =-可知:2

12

x

x e x ≥++ 令*1()x k N k =∈则1211112k e k k ≥++?,121111112n n

n k

k k k e n k

k ===∴≥++∑∑∑

又由(I )可知:1(0)x e x x >+>,ln(1)x x ∴>+

令*

1,x k N k =∈,11ln(1)k k ∴>+,11

11ln(1)ln(1)n

n k k n k k ==∴>+=+∑∑

1

2111ln(1)2n

n

k

k k e n n k ==∴>+++∑∑,即121

11

()ln(1)2n

k k e n n k =-?>++∑,故证之…………12分

(22)解:

(1)()()()27

173,212,11-==

=f f f ;………………………………4分 (2)当3≥n 且n N +∈时,()0f n <.…………………………………5分 下面用数学归纳法证明: ①当3n =时,17

(3)027

f =-

<成立; ②假设(3,)n k k n N +=≥∈时,1()(1)0k

f k k k

=+-<成立, 当1n k =+时,+1111(+1)(1)+1(1)(1)+1k k f k k k k k +=+

-<+-+() 1111(1)(1)(1)[(1)]k k k k k k k k k

+=++-+=+-

因为1

()(1)0k

f k k k

=+-<,所以(1)0f k +<成立

故当3≥n 且n N +∈时,()0f n <恒成立.…………………………………10分

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