有限元分析基础

有限元分析基础

第一章有限元法概述

在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。

近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。

§1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来

一，历史

有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。

60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在：

1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。

2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。

3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。

二，现状

现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如：

SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program）

美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件

美国航天航空局的NASTRAN系列软件

除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。

三，将来

有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。

§1.2 有限元法的特点

机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。

其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。

数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。

“有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分

方程求解，得到最终的力学问题近似解。其优点就是：计算简单收敛性好。缺点是：计算程序无法标准化，在不能获得整个问题的微分方程时，该方法不能运用。由于其是将微分方程转为差分方程，所以它是一种数学近似。

“有限元法”的基本思想就是“先分后合”或者“化整为零，又积零为整”。与有限差分不同，它是在力学模型上进行近似处理，也就是（分块近似）。

具体做法：把连续体模型转为由有限个单元组成的离散体模型，离散体模型之间通过一些节点联系。对于每一个离散体个体选择简单的函数近似表示其中的物理变化规律（如位移等），运用力学方程推导单元的平衡方程组，然后集合所有的方程组形成表征整体结构的方程组，引入边界条件，求取最后问题的解。

优点：概念清晰、易于学习理解，适用性强，便于电算化。

缺点：计算精度受单元划分的影响较大。

§1.3 有限元分析的一般过程

为了能够了解有限元分析的全貌，我们就一个简单的例子，来分析一下有限元分析的三个过程：结构离散化、单元分析、整体分析。

一，结构离散化

在该阶段中，要完成把连续结构的力学模型转变为离散的力学模型。处理的好坏，直接影响到最后分析结果的正确与否、计算的精度和计算的效率。

根据模型的传力特性和分析的目标，正确选择单元类型。通常单元分为：一维单元、二维单元和三维单元。

所谓一维单元就是指所求物理量仅随一个坐标变量而变化的单元。如桁架、平面刚架和空间刚架单元。

一维单元：杆单元、梁单元。

二维单元：三角形单元、四边形单元（平面类问题）

三维单元：四面体单元、六面体单元等（空间问题）

计算精度和计算效率：取决于单元划分的形状、大小和分布状况。通常单元愈多、愈密集，计算精度愈高，但计算效率愈低。有限元分析工作就是要在精度和效率两者之间做到有机的统一。

二，单元分析

进行单元分析的目的是为了到处表征单元力学特性的“单元刚度矩阵”。一般说来该过程有三种方法：

1，直接法。

2，虚功原理法（变分法）。

3，加权余数法。

直接法概念浅显，易于理解物理含义。

变分法需要泛函的数学知识，其推导过程具有严谨的数学概念。

加权余数法适用于泛函不存在的应用范围。

本教材将运用虚功原理方程结合弹性力学和材料力学中的知识来推求几种常见单元的单刚计算公式。

现在先看一个简单的阶梯轴的轴向拉伸问题

例：如图所示的变截面直杆，受拉力P，运用有限元方法分析其变形。

由于杆的两个端点节点1、2是单元上的点，所以它们应该满足上述方程。 节点1，x 1=0，∴u 1=a 0+a 1×0=a 0

节点2，x 2=l ，∴u 2=a 0+a 1×l a 1=(u 2-u 1)/l 将求出的结果带入方程并整理，就得：

[][]{}

e

N u u N N u l

x

u l x x l u l u u u δ=???

???=+??? ??

-

=??? ??-+=2121211211

式中：N 1、N 2是形函数 [N]形函数矩阵

{δ}e 节点位移向量 由位移与应变的关系知道：

dx

du

dx u du u =-+=

ε

将上面推出的位移表达式代入，可得：

[]{}{}{}[]{}

e

e

e e

B l l l l x l

x dx d N dx d dx du dx u du u δδδδε=??

????-=??????-===-+=

11 上式中的[B]称为应变矩阵或几何矩阵。

运用材料力学中的虎克定律，可以将应变和应力联系起来。单向应力状态的虎克定律为

[]{}[]{}e

e S u u l E l

E

B E E δδεσ=?

???????????-

===21 ×× 其中[S]称为应力矩阵。

利用虚功方程可以建立力与位移之间的关系，也就是单刚方程。在后面我们将会推导出它的一般形式如下：

{}[]{}e e e K F δ=

式中：{F}e 为单元节点力向量，对我们这个例子应为[U 1 U 2]T 。

[K]e 为单元刚度矩阵。后面将推导出它的计算公式为[][][][]dV B D B K v

T e

?=

[D]矩阵是弹性矩阵。对于一维单元来说，就是E 。

所以我们这儿讨论的例题：

[]??????--=??

?

???-????

??????-=?111111110l EA Adx l l E l l K l e

求得单刚矩阵，也就完成了单元分析。 总结单刚矩阵推导的步骤，应该分为四步：

1） 假定单元内位移变化的近似规律，即选择位移模式。 2） 运用几何关系，推求位移与应变的关系。 3） 应用物理规律，把应变与应力联系起来。

4） 运用虚功方程的力与位移关系，求出单刚矩阵。 单元分析是整个有限元分析的核心。不同的单元因为其力学特性不同，而具有不同的单元刚度矩阵，我们这本教材就是要学习几种常用单元矩阵的推导和计算。了解各种单元的力学特性，为以后选择单元类型打好基础。 三，整体分析

1， 由各单元刚度矩阵组集成整个结构的总刚度矩阵。

[]????

??--=1111111l EA K []??

?

???--=1111222

l EA K 整个结构有三个节点，首先将单元刚度矩阵扩充为3X3的矩阵，移动各元素使之与单

刚矩阵中的元素位置相对应，如下：

[]????

??????--=000011011111

l EA K []????

??????--=11011000

02

21l EA K 然后直接相加。

[]???????

?

??????????--+--=222

22

22

2

11

1

1

1

1

0110l EA l EA l EA l EA l EA l EA

l EA l EA K

2， 把各单元的节点力向量组集成总的节点载荷向量。

??

????????=00P R

3， 根据边界条件，修改总刚度矩阵，获得总刚方程组。

边界条件修改之前的总刚方程：

?

????????????????

???????????--+--

=??

????????321222

2222

2

111

1

110110

00u u u l EA l EA l EA l EA l EA l EA l EA l EA P 修改以后（采用置“0，1”法）

?????????????????

?

?????????

?+--

=??????????3212

2

111

1

11100

011000u u u l EA l EA l EA l EA l EA P 4， 求解方程组，得出总的节点位移向量。

解得的解是：

??

?

?

?

?

?

???????????+=??????????022*******EA Pl EA Pl EA Pl u u u

有了节点位移，再回代到前面单元推导过程中的公式×和××，就可以求得每个单元的

应变和应力了。

从这个简单的例子，我们了解了有限元法求解力学问题三大步骤中的内容，想必很多同学会说，这样复杂，如果运用材料力学的知识，我还来得快些。但是大家不要忘记，有限元的计算很多都是编程完成，而且现在很多的商业软件都已经完成了很多的工作。我们学习有限元主要是了解它的原理，并对常见单元的力学特性有所了解，这样对于以后运用有限元起到帮助作用。

所以下面章节的内容，就是围绕这个主题展开。要达到这个目的，我们还必须学习必要的弹性力学知识。对弹性力学知识的学习，也对我们以后把握问题的本质有帮助。

第二章平面问题

平面问题在力学研究的课题中属弹性力学的范畴。该类问题不仅本身具有典型性，而且在机械零构件的分析中，也是应用得非常广泛。所以这类问题也称之为经典的力学问题。

我们知道，实际的机械零构件都是具有三维空间尺寸的物体，理应作为三维对象处理，但是当物体的几何形状和受力状态处于某些特定的情况下，近似地简化为平面问题，不仅可以大大简化计算的工作量，而且其精度也完全能够满足所要求。如：直齿圆柱齿轮可在垂直与孔轴线的截平面内作平面应力分析就足以了解整个齿轮的受力状态；大坝的横断面可作平面应变分析来了解整个大坝受力情况等。

本章是全书的重点，在这里不仅介绍弹性力学的基本知识。还将系统地讲解有限元的基本概念、原理和方法。是学习以后各章节的基础。

§2.1 外力、应力、应变和位移

外力、应力、应变和位移的概念在材料力学中已经学习过，由于这些概念在弹性力学、有限元法中具有和在材料力学中不同的规定，弹性力学中的规定和有限元法是完全相同的，所以在这里我们将按照弹性力学的习惯表达方法把他们集中的加以阐述。

一，外力

外界作用在物体上的作用力，可以分为两大类：

1）体积力

分布在物体体积内的力。如：重力、惯性力和磁性力等。

单位体积的体力在坐标轴上的分量X、Y、Z，称为体力分量。符号规定为沿坐标轴正向的为正，沿负向的为负。

2）面力

作用在物体表面的力。如轮压、水压等。

它又可细分为集中力与分布力。面力在坐标

轴上的投影，表示为X、Y、Z。符号沿正轴

为正，负轴为负。

二，应力

弹性体受到外力作用后，内部产生的抵

抗变形的内力。

以弹性体中P点为定点的微单元体来考

察。所谓微单元体，就是图中PA、PB、PC

的边长分别为dx、dy和dz。以下简称这样

的微单元体为微元体。

微元体每个面上的应力都可以分解为三个应力分量。以图中红面为例，分别是σx、τxy、τxz。

应力命名的规则：以应力所在面垂直的坐标轴为第一个下标，应力指向为第二下标。如果下标相同就用一个下标表示。

符号规定：正面上的应力与坐标轴同向为正，反之为负。负面上的应力与坐标轴反向为正。反之为负。

所谓正面就是面的外法向与坐标轴同向为正。反之为负面。

作用在两个相互垂直的面上，并且垂直与该两面交线的剪应力互等。即：

τxy=τyx；τyz=τzy；τxz=τzx

如此以来，代表P点应力状态的应力分量应有6个，它们是：

{}[]T yz xz xy z y x τττσσσσ=

三，位移

任一点的位置移动用u 、v 、w 表示它在坐标轴上的三个投影分量。

{}[]T

w v u =δ

符号规定：沿坐标轴正向为正，反之为负。 四，应变

弹性体内各点的位移在受力后一般是不相同的。各点之间距离的改变，从而使物体形状发生变化，即所谓的变形。而物体的形状总可以用它各部分的长度和角度表示。

长度的改变称为正应变ε，角度的改变称为剪应变γ。以微元体三个棱边的线伸长和角度的变化，就分别有和6个应力分量相对应的6个应变分量，即：

{}[]T yz xz xy z y x γγγεεεε=

为与前面符号规定一致，这里对剪应变的符号规定如下：

正应变伸长为正，缩短为负；剪应变使直角变小为正，变大为负。

§2.2 两类平面问题

前面我们讲过，实际受力物体都是三维的空间物体，作用在其上的外力，通常也是一个空间力系，其应力分量、应变分量和位移也都是x 、y 、z 三个变量的函数。但是当所考察的物体具有某种特殊的形状和特殊的受力状态时，就可以简化为平面问题处理。

弹性力学中的平面问题有两类。 一，平面应力问题

当物体的长度与宽度尺寸，远大于其厚度（高度）

尺寸，并且仅受有沿厚度方向均匀分布的、在长度和宽度平面内的力作用时，该物体就可以简化为弹性力学中的平面应力问题。

我们分析以下其应力特征。

当z=±t/2时，有σz =0、τzx =0、τzy =0。 由于板较薄（相对于长度和宽度尺寸），外力沿板厚又是均匀分布的，根据应力应连续的假定（弹性力

学中的基本假定），所以可以认为，整个板的各点均有σz =0、τzx =0、τzy =0。如此以来，描述空间问题的6个应力分量也就变为了3个，即

{}[]T xy y x τσσσ=

而且这些应力分量仅是x 、y 两个变量的函数。 二，平面应变问题

当物体是一个很长、很长的柱形体，其横截面

沿长度方向保持不变，物体承受平行于横截面且沿长度方向均匀分布的力时，该问题就可以简化为平面应变问题处理。

分析其应力特征。假定其长度方向为无限长，那么任一横截面都可以看作是物体的对称面，如此

则有该面上的点都有w=0，也就是横截面上的所有点都不会发生Z 方向的位移。由这一点可以推出也就有εz =0、τzx =0、τzy =0。

和平面应力相比较，平面应变是εz =0，那么是否也就有σz =0呢？ 可能有同学想σ=E ε，当然也就有σz =0，这是错误的。

平面应变状态下σz ≠0的。虽然不等于零，但它也不是一个独立的变量了，它由σx 、σy 的大小而决定。如此以来，独立的应力分量同平面应力问题一样也是3个：

{}[]T xy y x τσσσ=

三，两类问题的比较

1， 几何特征

平面应力 厚度＜＜长度、宽度

平面应变 厚度＞＞长度、宽度 为便于说明可讲上述长度看作为厚度 2， 受力特征

外力都必须在其面内且不沿厚度方向变化 3， 应力特征

平面应力 σz =0、τzx =0、τzy =0。εz ≠0自由变形（无约束） 平面应变 σz ≠0但不是自变量、τzx =0、τzy =0。εz =0

总以上比较可以看出，平面应力是真正的2维（平面）应力状态，而平面应变却不是，而是3维应力状态，只不过σz 不是独立变量而是随横截面平面应力分量而定。独立变化的应力分量只有3个，类似于平面应力状态。

§2.3 平衡微分方程

弹性力学求解问题是从静力学、几何学和物理

学三方面综合考虑的。所以我们首先微元体应该满足的平衡条件——平衡微分方程。

我们以平面问题为例推导，看看它应该具有什么形式。

首先对平面问题的微元体进行受力分析图，如左所示。物体静力平衡的条件是：∑Fx(y)=0；∑M=0。先看∑Fx=0

011111=??+??-????

? ????++??-????

????+dydx X dx dx dy y dy dy dx x yx yx yx x x x τττσσσ

展开化简得

0=+???

? ????+??? ????X y

x yx

x τσ 同理可求得∑F y =0满足得条件，0

=+???

? ????+???? ????Y x y xy y τσ 由∑M=0，列出方程如下：

021212121=??-?????? ????+-??+?????? ?

???+dy

dx dy dx y dx dy dx dy x yx yx yx xy xy xy ττττττ化简后得：

dy y

dx x yx

yx xy xy ??+=??+

ττττ2121

略去微量项，可得：yx xy ττ=。这就是前面所将的剪应力互等。

对于平面应变问题，微元体的前后面还有正应力ζz ，不过它们是互等的。对于推导出来的结果，没有任何影响。所以平面问题的平衡微分方程就是：

0=+???

? ????+??? ????X y

x yx x τσ 0=+???

? ????+???? ????Y x y xy y τσ 写成矩阵形式

00

=??????+??

???

???????????

??????Y X xy y x y x

τσσ §2.4 几何方程

考察平衡微分方程，其中具有三个未知变量σx 、σy 、τxy ，，而只有两个方程，方程具有无数个解。表明仅从静力学关系无法求解该方程。我们必须从其它方面寻求帮助。

弹性体在受到外力后，会发生位移和形变，从几何上描述弹性体各点位移于应变之间的关系，就是弹性力学中的又一个重要方程——几何方程。

仍然取截面的微元体ABCD ，AB 、CD 边长为dx 、dy ，厚度为“1”。 位移u 、v 都是x 、y 的函数，即u(x,y)、v(x,y)，偏导数

x u ??、x

v

??表示位移分量u 、v 沿坐标轴x 的变化率，偏导数

y u ??、y

v ??表示位移分量u 、v 沿坐标轴y 的变化率，设A 点的位移为u 、v ，那么B ’点的位移就是：

dx x u u u B ??+

=' dx x

v v v B ??+='

同理的D ’点的位移分量

dy y u u u D ??+

=' dy y

v v v D ??+=' 由于α角在位移和形变很微小的情况下非常小，所以

A ’

B ’≈A ’B ”

线段AB 位移后的总伸长量为 A ’B ’-AB=A ’B ”-AB=u B ’-u A =dx x u u ??+-u=dx x

u ?? ∴x u dx dx x u x ??=??=

/ε，同理可得y

v

dy dy y v y ??=??=/ε 剪应变由α、β两个角度组成

()u x

v

x

v

u dx x u u dx v dx v B

A B B tg ?????+

=

?

?

?

???-??++-+=

=≈1"'"

'αα

由于

1 x u ??，所以x v ??=α，同理可得y

u ??=β ∴y

u

x v xy ??+??=

+=βαγ 综合以上几何方程，并将它们写成矩阵形式：

??????????

??????=??????????????????v u x y y x xy y x 00γεε 由以上方程可以看出，当弹性体的位移分量确定以后，由几何方程可以完全确定应变，反过来，已知应变却不能完全确定弹性体的位移。这是因为物体产生位移的原因有两点：

1） 变形产生的位移。 2） 因运动产生的位移。

因此弹性体有位移不一定有应变，有应变就一定有位移。

§2.5 物理方程

描述弹性体内应力与应变关系的方程，我们称之为物理方程，也叫材料的本构方程。 弹性力学通常研究的是各向同性材料，在三维应力状态下的应力应变关系。当弹性体处于小变形条件下，正应力只会引起微元体各棱边的伸长或缩短，而不会影响棱边之间角度的变化，剪应力只会引起角度的变化而不会引起各棱边的伸长或缩短。因此运用力的叠加原理、单向虎克定律和材料的横向效应（泊松效应），我们就可以很容易的推导出材料在三向应力状态下的虎克定律，也就是通常所说的广义虎克定律。

式中，E ——材料线弹性模量 G ——材料剪切弹性模量

μ——材料横向收缩系数，即泊松系数。 三者不是独立的。具有以下关系：

()

μ+=

12E

G

这些参数都是材料的固有属性系数，可以通过查材料手册获得。如：钢材的弹性模量E ＝196～206GPa 之间，通常取2.1×105MPa ，μ＝0.24～0.28之间，也取为0.3进行计算，G ＝79GPa 。

将以上空间问题的物理方程运用到平面问题，其形式如下： 1） 平面应力问题的物理方程

前面分析已知，平面应力问题有σz =0、τzx =0、τzy =0。所以：

()y x x E μσσε-=

1

()x y y E μσσε-=1

()y x z E μσμσε+=1

()xy xy zy E

G τμτγ+==121 从以上物理方程，也论证了我们前面说的εz ≠0的结论，但由于它是由x 和y 方向应

力产生的附加无约束变形，所以通常不予以考虑。

在有限元分析中更多的是运用应变表示的应力关系，所以我们将上式变形一下：

()y x x E

μεεμ

σ+-=2

1 ()x y y E

μεεμσ+-=

2

1 ()

xy xy E

γμτ+=

12

以上方程的矩阵表达形式为：

???

??

??????????

?

?????

?--=?

?

?

??

?????xy y x xy y x E γεεμμμ

μγσσ210

0010112

简记为：{}[]{}εσD = 式中：{σ}、{ε}为该问题的应力、应变向量。

[D]为弹性矩阵。它是一个对称矩阵，且只与材料的弹性常数有关。 2） 平面应变问题的物理方程

因为εz =0所以由空间物理方程的第三式得： ()y x z σσμσ+=，代入（1）

、（2）式得 ???? ??---=

y x x E σμμσμε112

???

? ??---=

x y y E

σμμσμε112

()()

xy E xy xy zy

E G ττμτγμμ

μ

2

1112121--+=+== 同理变型为应变表示应力的形式：

???? ?

?-+???? ??---=

y x

x E εμμ

εμμμσ111122

???? ?

?-+???? ??---=

x y

y E εμμ

εμμμσ111122

xy xy E γμμμτ???

? ??-+-=11212

矩阵形式：

????????????

??????

??

?

??????????

?

--

--?

??

? ??---=?

??

??

?????xy y x xy y x E

γεεμμμμμμ

μμμγσσ2110

001

10111112

2

也可简记为{}[]{}εσD =

平面应变问题的弹性矩阵不同于平面应力问题的弹性矩阵，比较可以发现只需将平面应

力问题弹性矩阵[D]中的材料常数E 换为E/(1-μ2)，μ换为μ/(1-μ)就得到了平面应变问题的弹性矩阵。其实弹性矩阵的这种转换方法，是弹性力学中将平面应力结果，转换到平面应变问题结论的一般方法。因为在两种平面问题的描述方程中（平衡微分方程、几何方程和物理方程），只有物理方程是不同的。

§2.6 边界条件

求解弹性力学问题实际就是在确定边界条件下，求解8个基本方程（平面问题而言），以确定8个未知变量。所以从数学的角度看，就是求解偏微分方程的边值问题。边界条件的给出通常是各式各样的。大体可以分为三类： 1， 第一类边值问题

给定物体的体力和面力条件，确定弹性体的应力场和位移场。此类问题边界以力的形式给出，所以也称为应力边界条件。我们可以来考察一下应力边界的一般形

式：

i j ji T v =σ i T 是在S ζ面

上给出的力的

分量。

平面问题如左图所示，设阴影部分的微元体弧长为ds ，厚度为单元厚度

“1”，其法线与

X 轴的夹角为θ，由阴影部分微元体的平衡条件可以推出：

?

??

???=??-??-?=??-??-?01cos 1sin 101sin 1cos 1θτθσθτθσds ds ds Y ds ds ds X xy y xy x 化简后得：

?

?????=+=+Y X xy y xy x θτθσθτθσcos sin sin cos 此即为平面问题应力边界方程。 2， 第二类边值问题

给出弹性体的体力和物体表面各点得位移条件，确定弹性体得应力场和位移场。由于以位移给出已知得边界条件，所以也称为位移边界问题。

一般得位移边界条件为：i i u u = 在S u 面上。

3， 第三类边值问题

给定弹性体得体力和一定边界上得面力，其余边界上的位移，确定其应力场和位移场。由于边界以力和位移两种形式给出，所以也称为混合边界问题。 针对不同的边界条件，弹性力学求解的方法也有所不同。

§2.7 弹性力学的解题方法（解析法）

1， 应力法

由于第一类问题的边界条件以应力形式给出，所以以应力作为基本的未知量的求解过程，就是人们通常所说的应力法。 由于平衡方程中有三个未知量，而只有两个平衡微分方程，必须找出另外一个包含应力分量的方程，才能求得方程解。

考虑到弹性体变形前是一个连续体，变形后也应是连续体的基本假设，所以要求微元体的变形一定要协调，才能使变形前、后，不会发生裂缝、重叠等现象。要使变形协调，就要研究几何方程。

前面介绍的平面问题几何方程如下：

x u x ??=

ε y

v y ??=ε x v

y u xy ??+??=

γ 分别对εx 、εy 、求y 、x 的二阶偏导，然后相加：

y x x v y u y x y v x

x u y

x y xy y x ???=???

? ????+?????=???? ??????+??? ??????=??+??γεε2

222

22

22

22 上式表明三个应变分量之间应满足的连续性条件，我们称之为形变协调方程（相容方程）。

通过物理方程，使上述的形变协调方程换成应力表示的形式，使之与平衡微分方程就构成了应力法中需要求解的方程组。具体我们来看看：

1） 利用物理方程消去相容方程中的形变分量（以平面应力为例）

()()()y x E x y E xy x y y x ???+=??

??

??-??+-??τμμσσμσσ2

22

22121 ()()()y x x y xy x y y x ???+=??

????-??+-??τμμσσμσσ222

2212 2） 利用平衡微分方程，消去上述公式中的剪应力

X x y x

xy -??-

=??στ ○

1 Y y

x

y xy -??-

=??στ ○

2 ○

1式对X 求偏导，○2式对y 求偏导，然后两者相加

y Y

y

x X x y x y x xy

??-??-??-??-=???2

2

2222σστ 代入相容方程，化简

()()()???

???????-??-??-??-+=-??+-??y Y y x X x x y y x x y y x 222222

2

21σσμμσσμσσ()???

?

????+??+-=??+??+??+??y Y x X y x y x x y y x μσσσσ12222

2222 ()()???? ????+??+-=+???

?

????+??y Y x X y x y x

μσσ12222 对于平面应变而言，运用前面讲过的物理方程的转换方法，只需将上式中的μ代以μ/(1-μ)

就可以了。

()???? ????+??--=+???

? ????+??y Y x X y x y x

μσσ112222 3） 最终求解的方程组

平面应力问题

0=+???

? ????+??? ????X y

x yx x τσ 0=+???

? ????+???? ????Y x y xy y τσ ()()???? ????+??+-=+???

? ????+??y Y x X y x y x

μσσ12222 平面应变问题

0=+???

? ????+??? ????X y

x

yx x

τσ 0=+???

? ????+???? ????Y x y xy y τσ ()???? ????+??--=+???

? ????+??y Y x X y x y x

μσσ112222 三个微分方程，三个未知变量，再考虑边界条件，即可求得。

如果是单连体（只具有唯一的封闭边界）的对象，满足了以上方程组后就是实际的解。但对于多连体（具有多个封闭边界）的对象，中还包含有待定系数，这些待定系数会导致位移的解出现多值性。所以对于多连体的问题，还应考虑位移的单值条件，才能最终确定。该部分的内容可以参见徐芝纶编的《简明弹性力学教程》中圆环受均布压应力的情况（P87） 2， 位移法

位移法主要针对第二类边界条件问题求解。

有限元分析基本理论问答 基础理论知识

1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学

有限元基础知识归纳

有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。

有限元分析报告理论基础

有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：

1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元知识点汇总

有限元知识点汇总 第一章 1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值； 》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？ 》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移} 》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ } 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用} 》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力} 第二章 7、形函数的特点？ 》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。》2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1 8、单元刚度矩阵的性质？ 》1 K^e中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量 》2 k^e是对称矩阵，具有对称性。 》3 K^e的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵

有限元分析理论基础

有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:

1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础

ANSYS 有限元分析基本流程

第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。

Matlab有限元分析操作基础共11页

Matlab有限元分析20140226 为了用Matlab进行有限元分析，首先要学会Matlab基本操作，还要学会使用Matlab进行有限元分析的基本操作。 1. 复习：上节课分析了弹簧系统 x 推导了系统刚度矩阵

2. Matlab有限元分析的基本操作 （1）单元划分（选择何种单元，分成多少个单元，标号）（2）构造单元刚度矩阵（列出…） （3）组装系统刚度矩阵（集成整体刚度矩阵） （4）引入边界条件（消除冗余方程） （5）解方程 （6）后处理（扩展计算）

3. Matlab有限元分析实战【实例1】

分析： 步骤一：单元划分

>>k1=SpringElementStiffness(100)

a) 分析SpringAssemble库函数 function y = SpringAssemble(K,k,i,j) % This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stiffness matrix K. % function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled. K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K; b) K是多大矩阵？ 今天的系统刚度矩阵是什么？ 因为 11 22 1212 k k k k k k k k - ?? ?? - ????--+ ?? 所以 1000100 0200200 100200300 - ?? ?? - ????-- ??？

有限元分析基础

有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。 §1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来 一，历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在： 1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。 3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。 二，现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如： SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program） 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。 三，将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。 §1.2 有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分

UG有限元分析教程

第1章高级仿真入门 在本章中，将学习： ?高级仿真的功能。 ?由高级仿真使用的文件。 ?使用高级仿真的基本工作流程。 ?创建FEM和仿真文件。 ?用在仿真导航器中的文件。 ?在高级仿真中有限元分析工作的流程。 1.1综述 UG NX4高级仿真是一个综合性的有限元建模和结果可视化的产品，旨在满足设计工程师与分析师的需要。高级仿真包括一整套前处理和后处理工具，并支持广泛的产品性能评估解法。图1-1所示为一连杆分析实例。 图1-1连杆分析实例 高级仿真提供对许多业界标准解算器的无缝、透明支持，这样的解算器包括NX Nastran、MSC Nastran、ANSYS和ABAQUS。例如，如果结构仿真中创建网格或解法，则指定将要用于解算模型的解算器和要执行的分析类型。本软件使用该解算器的术语或“语言”及分析类型来展示所有网格划分、边界条件和解法选项。另外，还可以求解模型并直接在高级仿真中查看结果，不必首先导出解算器文件或导入结果。 高级仿真提供基本设计仿真中需要的所有功能，并支持高级分析流程的众多其他功能。 ?高级仿真的数据结构很有特色，例如具有独立的仿真文件和FEM文件，这有利于在分布式工作环境中开发有限元（FE）模型。这些数据结构还允许分析师轻松 地共享FE数据去执行多种类型分析。

UG NX4高级仿真培训教程 2 ?高级仿真提供世界级的网格划分功能。本软件旨在使用经济的单元计数来产生高质量网格。结构仿真支持完整的单元类型（1D、2D和3D）。另外，结构级仿真 使分析师能够控制特定网格公差。例如，这些公差控制着软件如何对复杂几何体 （例如圆角）划分网格。 ?高级仿真包括许多几何体简化工具，使分析师能够根据其分析需要来量身定制CAD几何体。例如，分析师可以使用这些工具提高其网格的整体质量，方法是消 除有问题的几何体（例如微小的边）。 ?高级仿真中专门包含有新的NX传热解算器和NX流体解算器。 NX传热解算器是一种完全集成的有限差分解算器。它允许热工程师预测承受热载荷系统中的热流和温度。 NX流体解算器是一种计算流体动力学（CFD）解算器。它允许分析师执行稳态、不可压缩的流分析，并对系统中的流体运动预测流率和压力梯度，也可 以使用NX传热和NX流体一起执行耦合传热/流体分析。 1.2仿真文件结构 当向前通过高级仿真工作流时，将利用4个分离并关联的文件去存储信息。要在高级仿真中高效地工作，需要了解哪些数据存储在哪个文件中，以及在创建那些数据时哪个文件必须是激活的工作部件。这4个文件平行于仿真过程，如图1-2所示。 图1-2仿真文件结构 设计部件文件的理想化复制 当一个理想化部件文件被建立时，默认有一.prt扩展名，fem#_i是对部件名的附加。例如，如果原部件是plate.prt，一个理想化部件被命名为plate_fem1_i.prt。 一个理想化部件是原设计部件的一个相关复制，可以修改它。 理想化工具让用户利用理想化部件对主模型的设计特征做改变。不修改主模型部件，

结构分析及有限元分析基础知识

第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。

有限元分析基础教程(ANSYS算例)(曾攀)

有限元分析基础教程Fundamentals of Finite Element Analysis (ANSYS算例) 曾攀 清华大学 2008-12

有限元分析基础教程曾攀 有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀 (清华大学) 内容简介 全教程包括两大部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。本书以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建、典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例等一系列规范性方式来描述有限元分析的力学原理、程序编制以及实例应用；给出的典型实例都详细提供有完整的数学推演过程以及ANSYS实现过程。本教程的基本理论阐述简明扼要，重点突出，实例丰富，教程中的二部分内容相互衔接，也可独立使用，适合于具有大学高年级学生程度的人员作为培训教材，也适合于不同程度的读者进行自学；对于希望在MATLAB程序以及ANSYS平台进行建模分析的读者，本教程更值得参考。 本基础教程的读者对象：机械、力学、土木、水利、航空航天等专业的工程技术人员、科研工作者。

目录 [[[[[[\\\\\\ 【ANSYS算例】3.3.7(3) 三梁平面框架结构的有限元分析 1 【ANSYS算例】4.3.2(4) 三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较 3 【ANSYS算例】5.3(8) 平面问题斜支座的处理 6 【ANSYS算例】6.2(2) 受均匀载荷方形板的有限元分析9 【ANSYS算例】6.4.2(1) 8万吨模锻液压机主牌坊的分析(GUI) 15 【ANSYS算例】6.4.2(2) 8万吨模锻液压机主牌坊的参数化建模与分析(命令流) 17 【ANSYS算例】7.2(1) 汽车悬挂系统的振动模态分析(GUI) 20 【ANSYS算例】7.2(2) 汽车悬挂系统的振动模态分析(命令流) 23 【ANSYS算例】7.3(1) 带有张拉的绳索的振动模态分析(GUI) 24 【ANSYS算例】7.3(2) 带有张拉的绳索的振动模态分析(命令流) 27 【ANSYS算例】7.4(1) 机翼模型的振动模态分析(GUI) 28 【ANSYS算例】7.4(2) 机翼模型的振动模态分析(命令流) 30 【ANSYS算例】8.2(1) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(GUI) 31 【ANSYS算例】8.2(2) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(命令流) 33 【ANSYS算例】8.3(1) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(GUI) 34 【ANSYS算例】8.3(2) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(命令流) 38 【ANSYS算例】8.4(1) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(GUI) 39 【ANSYS算例】8.4(2) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(命令流) 42 【ANSYS算例】9.2(2) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(命令流) 45 【ANSYS算例】9.3(1) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI) 46 【ANSYS算例】9.3(2) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(命令流) 49 附录 B ANSYS软件的基本操作52 B.1 基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step) 53 B.2 log命令流文件的调入操作(可由GUI环境下生成log文件) 56 B.3 完全的直接命令输入方式操作56 B.4 APDL参数化编程的初步操作57

有限元知识点总结

有限元分析及其应用-2010；思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载

6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也

有限元法的理论基础

有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 2.2有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。

有限元法的基本思想及计算步骤

有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e表示： {δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系

《有限元分析》课程教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：有限元分析课程类别：必修课□选修课■ 学时学分：其中实验（实训、讨论等）学时： 授课时间：周三、节授课地点： 任课教师姓名：孟宪铸职称：副教授 所属院（系）：机械工程学院适用专业班级：机械设计本、班 联系电话： 答疑时间、地点与方式：课前、课后，教室，交流 二、课程简介 本本课程是机械设计制造及其自动化专业的学科选修课。它的教学目的和任务是使学生掌握有限元法基本原理，为进一步应用有限元法解决复杂的工程问题打下基础。 三、课程目标 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 、知识与技能目标 了解有限元法的特点及利用有限元分析结构的基本步骤；理解杆、梁、板单元刚度矩阵的推导方法；理解常用非节点载荷的处理方法；学会将一般的工程问题归结为有限元力学模型的方法，并能上机计算。 、过程与方法目标 保留了传统教学手段“粉笔黑板模型”的合理内核，同时积极开发、利用多媒体资源，形成全方位的立体化的教学手段，从而达到“减压增趣”、“提智扩能”的教学目标。 、情感、态度与价值观发展目标 有限元分析属学科选修课。根据世纪教育教学改革“宽口径、厚基础、高素质、强能力”的原则，学生应有较好的素质结构、较全面的知识结构。有限元分析理论性强，与各类工程技术有着密切的联系，因此处理工程问题的能力是学习该课程学生的必备素质。学生应重视本课程在素质培养中的作用，本着对自己、对社会高度负责的态度搞好课程学习。体现在学习中，具体要做到：明确学习目标，端正学习态度，培养学习兴趣，认真完成每个学习环节。同时，积极落实人才培养计划，使自己成为出色的、受社会所欢迎的工程技术人才。 四、与前后课程的联系

有限元分析基础教程

有限元分析基础教程

前言 有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具；该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面，按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法，并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供完整的典型推导实例、MATLAB实际编程以及ANSYS应用数值算例，并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性，使学员在学习分析原理的同时，也进行实际编程和有限元分析软件的操作，经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程，在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。 一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用，因此，教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论，还要介绍相关的应用领域，以给学员进一步学习提供扩展空间，本教程正是按照这一思路进行设计的；全书的内容包括两个部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。在基本原理方面，以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍；在阐述有限元分析与应用方面，采用典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例的方式，以体现出分析建模的不同阶段和层次，引导学员领会有限元方法的实质，还提供有大量的练习题。 本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通，力求精而透，强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养，为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材；同时，给学员进一步学习提供新的空间。 本教程力求体现以下特点。 (1)考虑教学适应性：强调对学员在数学原理、分析建模、软件应用几个方面的培养目标要求，注重学员在工程数值方面的基础训练，培养学员“使用先进软件＋分析实际问题”的初步能力。 (2)考虑认知规律性：力求按照有限元分析方法的教学规律和认知规律，在教材中设计了“基本变量、基本方程、求解原理、单元构建”这样的模块；并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供实用的MATLAB实际编程和数值实例；在每一章还进行要点总结，给出典型例题，以引导学员领会有限元方法的实质，体现教材的启发性，有利于激发学员学习兴趣和便于自学。 (3)考虑结构完整性：本教程提供完整的教材结构：绪论、正文、典型例题、基于MATLAB的编程算例与数值算例、具有一定深度的ANSYS算例、各章要点、习题、专业术语的英文标注、关键词中文和英文索引、参考文献，便于学员查阅。 (4)内容上的拓展性：除基本内容外，还介绍了较广泛的应用领域，包括：静力结构分析、结构振动分析、传热过程分析、弹塑性材料分析；提供了有关的典型问题的建模详细分析过程，基本上反映了有限元分析在一些主要领域的应用状况及建模方法。 (5)编排上的逻辑性：本教程力求做到具有分明的层次和清楚的条理，在每一章中重点突出有限元方法的思想、数理逻辑及建模过程，强调相应的工程概念，提供典型例题及详解，许多例题可作为读者进行编程校验的标准考题(Benchmark)，还提供了对应的MATLAB编程算例与ANSYS算例，特别是介绍了基于APDL参数化的ANSYS建模方法，并给出具体的实例，力求反映有限元分析的内在联系及特有思维方式。

COSMOS有限元分析理论基础

华睿在线技术专刊
COSMOS 有限元分析理论基础
Comos 系列软件是由 SRAC 公司推出的业界著名有限元分析系列软件,它以简单易用, 功能强大并且分析快速而准确而著称.利用 Comos 的软件功能,使工程师能在产品开发过 程中达到设计分析的能力.正是由于以上的原因,该软件也越来越被广大用户所欢迎,在整 个业界受到了越来越多的应用. 要掌握 Comos 系列软件相对于其他分析软件要简单的多,但是毕竟它也是属于有限元 的范畴, 这里我就一些有限元的基本理论作一个简单的概述, 以使大家对这块儿基本理论有 一个大概的了解,为有限元的分析打下良好的基础.
一,什麽是 FEA?
先来看看什么是 FEA/M.我们先看看他们的全称: FEA 是 Finite Element Analysis 英文的缩写,意思是有限单元分析; FEM 是 Finite Element Method 英文的缩写,意思是有限单元分方法; 所以,我们可以这样认为,FEA 是一种 将复杂的几何模型离散分解成许多简单的小块 的 分析方法或手段 学过理论力学的人都知道, 我们在现实世界中传统的方法就是利用解析方法来处理相关 问题,比如对于一个梁的受力情况分析.这种分析的方法在处理这些问题的特点显而易见, 首先要求该分析的人员要具备一定的理论知识, 对于这类哪怕是最简单的对象的分析处理也 比较复杂,复杂的分析量就会大幅度上升.看看下面的例子,对于这种钢结构的分析使用这 种方法也能找到解决的方法,但是我想大部分的人都会对它的大量计算感到为难.
类似的问题在现实的例子中会有更加多的例子, 可见这样的问题我们使用传统的方法无疑 遇到了瓶颈,理论上方法可解,但是事实上无解.但是我们如果采用有限元的分析方法,他 们都是可以解决的.这也是之所以现今我们在讨论有限元方法的原因.
二,FEA 在工业中的作用
那 FEA 到底能给我们带来什么呢?…… 我们来看看它的一些作用: 1. CAD 和 FEA 的结合使得在实际工作中使用 FEA 方便简单 2. 在设计中使用 FEA 可以大大减少 (但不是替代) 建物理样机和试验 3. 通过使用 FEA, 设计可以更优,减少重量体积 并且提高可靠性 要认清 FEA 在工业中的作用,要注意 FEA 并不只强调自己 ,FEA 要在设计中发挥作用不 开物理样机的实验. 我们来看看下面的例子:
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