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第四章随机变量的数字特征试题答案

一、选择（每小题2分）

1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2

2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （ C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 4

4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X-C ）=D （X ）

5、设随机变量X 的分布函数为????

???≥<≤-<=4,

2,12

0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）

A ．

31 B ． 21 C ．2

D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3

,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）

A ． 34

B ． 37

C ． 323

D ． 3

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3

,8(~B Y ，

X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）

A ． -13

B ． 15

C ． 19

D ． 23

8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3

1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．

31 B ． 1 C ． 3

10 D ． 10 10、设)3,1(~2

N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）

A. E （X ）=1

B. D （X ）=3

C. P （X=1）=0

D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D

C ．)(X

D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X

12、设随机变量)2

,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． -0.8 B ． -0.16 C ． 0.16 D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为

.025.012p P x

X i

-，且E （X ）=1 ，则常数x =( B)

A ． 2

B ． 4

C ． 6

D ． 8

14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 2

15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=??

?>--other

x e x

12，则X 的均值和方差分别为（ D ） A ．4)(,2)(==X D X E B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==

X D X E D ．4

1)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ． 91-

B ． 0

C ． 91

D ． 3

1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）

A ． 2-

B ． 0

C ．0.5

D 2 18、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- B ． 0.5 C ． 2 D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=6

，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ B ） A ．

2161 B ． 361 C ． 6

1 D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z=X-2Y ，则D (Z)=（D ） A ． 5 B ． 7 C ． 11 D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D (X)>0，D (Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ?=ρ

C ． )()()(Y

D X D Y X D +=+ D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =

22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2

σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}

σεμn n X P ≥

<- B ． {}

1ε

σεμn X P -≥<- C ． {}

1εσεμn X P -

≤≥- D ．{}

εσεμn n X P ≤

≥-

23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2

)(σ

=X D ，用切比雪夫不等式估计

{}≥<-σ3)(X E X P （C ）

A ．

91 B ． 31 C ． 9

D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}

≤≥-32X P （C ） A ．

91 B ． 31 C ． 94 D 2

1 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 B ．

2 C ．

3 D

4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)2

1,4(B ，则)(2

X E =5

2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1

3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2

=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为

216131321i

P X

14121101i

P Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 24

5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =

10 6、设随机变量X 的分布律为

.03

.02.01.02101i

P X -，则)(X D =1

7、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =

8、设二维随机变量);,;,(~),(2

22121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2

>=σ

i X D ，

Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，???

???

???????>-∑=∞

→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-

10、设随机变量X 具有分布5

}{=

=k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E ( Y )=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为

.03.05.05

01i

P X -，则)}({X E X P <=0.8

13、已知E （X ）= -1 ，D （X ）=3,则)23(2

-X E =10

14、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则

),2cov(21Y X X +=5

15、设)1,0(~N X ，)2

,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=8

16、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772） 17、设随机变量X ~ B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16≤X ≤24}=0.6826 附：Φ（1）=0.8413 18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=

1 19、设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y)=4, D (Y )=9,

又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=

1 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2

X E =3

5 三、计算：每小题5分

1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足22

X Y 。

试求：（1）参数λ的值。

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率（3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）解：（1）因为 X 服从泊松分布，则 !

}{k e k X P k λ

λ-==，0;,2,1,0>=λΛk ，

又因为 }2{}1{===X P X P

所以

121λ

λλ--=

e e ，2=λ

所以 !2}{2k e k X P k -==，0;,2,1,0>=λΛk

（2）22

01!

021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以一小时内至少有一个顾客光临的概率为2

1--e 。

（3）因为 X 服从泊松分布，则2)(==λX E ，2)(==λX D ，所以 622)]([)()(2

=+=+=X E X D X E

2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =5262

=+?

所以该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）=5

2、设),(Y X 的密度函数为

?<<<<--=other

y x y x y x f ,

010,10,

2),(

求：)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，),(Y X ρ

解：)(X E =??=--1

0125)2(dy y x x dx ， )(Y E =??=--1010125

)2(dy y x y dx

)(XY E =??=--101061)2(dy y x xy dx ， )(2X E =??=--10102123

)2(dy y x x dx

)(2Y E =??=--10102

3)2(dy y x y dx ，

)(X D =14411)125(123))(()(22

2=-=-X E X E )(Y D =144

11)125(123))(()(22

-=-Y E Y E

),cov(Y X =144

12512561)()()(-

=?-=

-Y E X E XY E ),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =111144

14411441

-=-

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