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指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)
指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

指数与指数幂的运算

知能点全解:

知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类

(1)正整数指数幂()n n

a a a a a n N *=????∈64748L 个; (2)零指数幂)0(10≠=a a ;

(3)负整数指数幂()1

0,n n a a n N a

-*=≠∈

(4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质

(1)()0,,m

n

m n

a a a

a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n

m mn a a a m n Q =>∈

(3)()()0,0,m

m m ab a b a b m Q =>>∈

例 1:把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式

(1)5256a =;(2)428a -=;(3)765a -=;(4)()353,n m a m n N -+=∈ 解:(1)1

5

256a =;(2)14

28a -=;(3)67

5a -=;(4)533

m n

a -=

例 2:计算 (1)32

9

; (2)32

16-

解:(1)()

3

33223

2

2

2

933327?====;

(2)()

3

32312

2

1164

464-

---====

若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。

例 3: 化简(式中字母都是正数)

(1)(

(2)(

2323y

y

+- (3)(43x

y

?-?

解:(1)(

((x =?=

(2

)(

)(

)(

(

)

2

2

23232349y

y

y x y -+-=-=- (3

)(

43121212x

y

x ?-?=-=-=-

知能点3:根式

1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中()*∈>N n n ,1,n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2

、对于根式记号

(1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a

a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0

0a a a a a a n

n ;

(3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1

))0,,,1m n

a a m n N

n *

=>∈>; (2

))10,,,1m

n

m n

a

a m n N n a

-*=

=

>∈>

例 4: 求下列各式的值

(1)

(2

3

(4解:(1

)2=-; (

22=; (

333ππ=-=-

(4

)()()

0 0x y x y x y x y x y ++≥??=

=+=?--+

例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式:

(1)2a ?

(2)3 a (3

(式中a >0)

解:(1)115222

2

22

a a a a

a +?=?==;

(2)2211333

3

3

3

a a a a

a +

=?==

(3

)1

13132

2

2

2

4

()()a a a a =?==

典型题型全解

题型一: 求值:(1+ (2解:(1)-

=

||2||2=+=+--

2(2=++--=注意:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号。

(2

)令t =,两边同时立方得:

3

2

2

3

3

33

22 43t t

=

+++=++-+=+

即 :()()()()()()()3323404101141140t t t t t t t t t t t t +-=?-+-=?-++-?-++=

(1)2

0)a > (2)

解:(1)

12522 2

23

6

1

32

2

a a

a a a

--=

==?

(2)22213

113131553

3

34

2

4

4

2

4

24

124

(55)5555555

55--÷=-÷=÷-÷=-=-=

已知=3,求下列各式的值:11332

22

2

(1), (2).x x x x -

-

++

解:(1)11111122

112

2

22

2

2()2()235x x

x x x

x x x -

-

-

-+=+?+=++=+=Q

∴1

1111

2

2

2

2

30 x x

x x

x x x

-

-

-+=+=>+=又由得所以(2)3311111113

3

2

22

2

222

2

22

2

1)()()[()()]2

x x x x x x x x x x ----++=+-?+-=(

1112

2

()[()1]1)x x x x --=++-=-=

《幂的运算》习题精选及答案

《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算(﹣2)100+(﹣2)99所得的结果是() A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时,下列等式成立的有() (1)a2m=(a m)2;(2)a2m=(a2)m;(3)a2m=(﹣a m)2;(4)a2m=(﹣a2)m. A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是() A、2x+3y=5xy B、(﹣3x2y)3=﹣9x6y3 C 、D、(x﹣y)3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数,且都不等于0,n为正整数,则下列各组中一定互为相反数的是() A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是() ①a5+a5=a10;②(﹣a)6?(﹣a)3?a=a10;③﹣a4?(﹣a)5=a20; ④25+25=26. A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算:x2?x3=_________;(﹣a2)3+(﹣a3)2= _________ . 7、若2m=5,2n=6,则2m+2n= _________ . 三、解答题 8、已知3x(x n+5)=3x n+1+45,求x的值。

9、若1+2+3+…+n=a, 求代数式(x n y)(x n﹣1y2)(x n﹣2y3)…(x2y n﹣1)(xy n)的值. 10、已知2x+5y=3,求4x?32y的值. 11、已知25m?2?10n=57?24,求m、n.12、已知a x=5,a x+y=25,求a x+a y的值. 13、若x m+2n=16,x n=2,求x m+n的值. 14、比较下列一组数的大小.8131,2741,961 15、如果a2+a=0(a≠0),求a2005+a2004+12的值.

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础. 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明:

1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图: 教学过程设计: 一.新课引入:

(一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为 (3) 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为 (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??

指数与指数幂的运算优秀教案

2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时) 第一课时 根式 教案目标:1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教案重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法:学导式 教案过程: (I )复习回顾 引例:填空 (1)*)n n a a a a n N =?∈个(; a 0=1(a )0≠; n n a a 1 = -)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m n a a a +?= (m,n ∈Z); ()m n mn a a = (m,n ∈Z); ()n n n ab a b =? (n ∈Z) (3)_____9=; -_____9=; ______0= (4))0a _____()a (2≥=; ________a 2= (II )讲授新课

1.引入: (1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=;又因为n b a )(可看作 m n a a -?,所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)),这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n 次根式(*N n ∈)的概念。 (2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 22=4 ,(-2)2=4 ?2,-2叫4的平方根 23=8 ? 2叫8的立方根;(-2)3=-8?-2叫-8的立方根 25=32 ? 2叫32的5次方根 … 2n =a ?2叫a 的n 次方根 分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n =a ,则2叫a 的n 次方根。由此,可有: 2.n 次方根的定义:(板书) 一般地,如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中1n >,且n N *∈。 问题1:n 次方根的定义给出了,x 如何用a 表示呢?n a x =是否正确? 分析过程: 例1.根据n 次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a 6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)

(完整版)幂的运算经典习题

一、同底数幂的乘法 1、下列各式中,正确的是( ) A .844m m m = B.25552m m m = C.933m m m = D.66y y 122y = 2、102·107 = 3、()()( )34 5 -=-?-y x y x 4、若a m =2,a n =3,则a m+n 等于( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 5、()54a a a =? 6、在等式a 3·a 2·( )=a 11中,括号里面人代数式应当是( ). (A)a 7 (B)a 8 (C)a 6 (D)a 3 83a a a a m =??,则m= 7、-t 3·(-t)4·(-t)5 8、已知n 是大于1的自然数,则 () c -1 -n () 1 +-?n c 等于 ( ) A. ()1 2--n c B.nc 2- C.c -n 2 D.n c 2 9、已知x m-n ·x 2n+1=x 11,且y m-1·y 4-n =y 7,则m=____,n=____. 二、幂的乘方 1、() =-4 2 x 2、()()8 4 a a = 3、( )2=a 4b 2; 4、() 2 1--k x = 5、3 23221???? ??????? ??-z xy = 6、计算() 73 4 x x ?的结果是 ( ) A. 12x B. 14x C. x 19 D.84x 7、()() =-?3 4 2 a a 8、n n 2)(-a 的结果是 9、()[] 5 2x --= 10、若2,x a =则3x a = 三、积的乘方 1)、(-5ab)2 2)、-(3x 2y)2 3)、332)3 1 1(c ab - 4)、(0.2x 4y 3)2 5)、(-1.1x m y 3m )2 6)、(-0.25)11×411 7)、-81994×(-0.125)1995 四、同底数幂的除法 1、()()=-÷-a a 4 2、()45a a a =÷ 3、()() () 333 b a ab ab =÷ 4、=÷+22x x n 5、()=÷44 ab ab . 6、下列4个算式: (1)()()-=-÷-2 4 c c 2c (2) ()y -()246y y -=-÷ (3)303z z z =÷ (4)44a a a m m =÷ 其中,计算错误的有 ( )

指数与指数幂的运算(教学设计)

2.1.1(2)指数与指数幂的运算(教学设计) 内容:分数指数幂 一、教学目标 (一)知识目标 (1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 (2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 (二)能力目标 (1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力. (2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. (3)训练学生思维的灵活性 (三)德育目标 (1)激发学生自主学习的兴趣 (2)养成良好的学习习惯 教学重点: 次方根的概念及其取值规律。 教学难点:分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。 .然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别写出 及 ,同时追问这里 的由来。 二、师生互动,新课讲解: 1.分数指数幂 看下面的例子: 当0>a 时, (1)2552510)(a a a ==,又5102=,所以510 510a a =; (2)3443412)(a a a ==,又4123=,所以412 412a a =. 从上面的例子,我们看到,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 那么,当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢? 根据n 次方根的定义,规定正数的正分数指数幂的意义是:n m n m a a =(0>a ,1*,,>∈n N n m ). 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分,因此当0

(完整版)幂的运算练习题

幕的运算练习题(每日一页) 【基础能力训练】 」、同底数幕相乘 1下列语句正确的是() A ?同底数的幕相加,底数不变,指数相乘; B. 同底数的幕相乘,底数合并,指数相加; C. 同底数的幕相乘,指数不变,底数相加; D. 同底数的幕相乘,底数不变,指数相加 2. a 4 ? a m ? a n =() A. a 4m B . a 4(m+n) C . a m+n+4 D . a m+n+4 7. 计算:a ? (-a ) 2 ?(-a ) 3 8. 计算:(x — y ) 2 ? (x -y ) 3-(x — y ) 4 ? (y -x ) 3. (-x ) ? (-x ) 8 ? (-x ) 3=() A . (-x ) 11 B . (-x ) 24 C . x 12 4. 下列运算正确的是() A . a 2 ? a 3=a 6 B . a 3+a 3=2a T C . a 3a 2=a 6 5. a- a 3x 可以写成() A . (a 3 ) x+1 B . (a x ) 3+1 C . a 3x+1 6. 计算:100X 100m - 1x 100m+1 12 a 8- a 4=a D . (a x ) 2x+1

、幕的乘方 9?填空:(1) (a8) 7= ______ ; (2) (105) m= _______ ; (3) (a m) 3= ______ ; (4) (b2m) 5= _______ ; (5) (a4) 2? (a3) 3= _______ . 10. 下列结论正确的是() A .幕的乘方,指数不变,底数相乘; B .幕的乘方,底数不变,指数相加; C. a的m次幕的n次方等于a的m+n次幕; D. a的m次幕的n次方等于a的mn次幕 11. 下列等式成立的是() A. ( 102) 3=105 B. (a2) 2=a4 C. (a m) 2=a m+2 D. (x n) 2=x2n 12. 下列计算正确的是() A. (a2) 3? (a3) 2=a6? a6=2a6 B. ( —a3) 4? a7=a7? a2=a9 2 3 3 2 6 6 12 C. (—a ) ?( —a ) = ( —a ) ?( —a ) =a D. — (—a3) 3? ( —a2) 2=—(—a9) ? a4=a13 13. 计算:若642X 83=2x,求x的值. 、积的乘方 14. 判断正误: (1)积的乘方,等于把其中一个因式乘方,把幕相乘( ) (2)(xy) n=x ? y n() (3)(3xy) n=3 (xy) n() (4) (ab) nm=a m b n() (5) ( —abc) n= (—1) n a n b n c n() 15. (ab3) 4=()

高中数学指数与指数幂的运算(一)

课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课 教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?(2a 、3a ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根;如果一 个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅,1990年人口数为a 万,则x 年后人口数为多少万? 实例2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8次) 计算:若报纸长50cm ,宽34cm ,厚0.01mm ,进行对折x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析,我国未来20年GDP (国内生产总值)年平均增长率达7.3℅, 则x 年后GDP 为2000年的多少倍? 书P52 问题2. 生物死亡后,体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期),则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义? ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念:2(2)4±=,2±就叫4的平方根;3327=,3就叫27的立方根. 探究:4(3)81±=,3±就叫做81的?次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根:一般地,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如:328=2= ③ 讨论:当n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如: 33-, 记:x 当n 为偶数时,正数的n 次方根情况? 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记: 强调:负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习:4b a =,则a 的4次方根为 ; 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ), 这里n 叫做根指数(radical exponent ), a 叫做被开方数(radicand ). ⑥ 计算2→ 探究: n 、n n a 的意义及结果? (特殊到一般) n a =. 当n 是奇数时,a a n n =;当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?-

幂的运算检测题及答案

第8章《幂的运算》水平检测题 一、选择题 1、下列计算正确的是( ) A. a 3·a 3=a 9 B. (a 3)2=a 5 C. a 3÷a 3=a D. (a 2)3=a 6 2、计算(-3a 2)3÷a 的正确结果是( ) A.-27a 5 B. -9a 5 C.-27a 6 D.-9a 6 3、如果a 2m -1·a m +2=a 7,则m 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、若a m =15,a n =5,则a m -n 等于( ) A.15 B.3 C.5 D.75 5、下列说法中正确的是( ) A.-a n 和(-a ) n 一定是互为相反数 B.当n 为奇数时,-a n 和(-a ) n 相等 C.当n 为偶数时,-a n 和(-a )n 相等 D. -a n 和(-a )n 一定不相等 6、已知│x │=1,│y │= 12 ,则(x 20)3-x 3y 2的值等于( ) A.-34或-54 B.34或54 C.34 D.-54 7、已知(x -2)0=1,则( ) A. x=3 B. x=1 C. x 为任意数 D. x ≠2 8、210+(-2)10所得的结果是( ) A.211 B.-211 C. -2 D. 2 9、计算:()()()4325 a a a -÷?-的结果,正确的是( ) A 、 7a B 、 6a - C 、 7a - D 、 6a 10、下列各式中:(1)()1243 a a =--; (2)()()n n a a 22-=-; (3)()()33 b a b a -=--; (4)()()44b a b a +-=- 正确的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二、填空题 11、计算:a m ·a n =___;(a ·b )m = ;(a n )m = . 12、计算:y 8÷y 5= ______;(-xy 2)3= ;(-x 3)4= ;(x +y )5÷(x +y )2=______. 13、计算:-64×(-6)5=_____;(- 13ab 2c )2=________;(a 2)n ÷a 3=______;(x 2)3·(__)2=x 14; 14、计算:10m+1÷10n -1=_______;10113??- ??? ×3100=_________;(-0.125)8×224 15、已知a m =10,a n =5,则n m a -2=________ 16、若x n =2,y n =3,则(xy)2n =________

指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

指数与指数幂的运算 知能点全解: 知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748L 个; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*=≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 例 1:把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 (1)5256a =;(2)428a -=;(3)765a -=;(4)()353,n m a m n N -+=∈ 解:(1)1 5 256a =;(2)14 28a -=;(3)67 5a -=;(4)533 m n a -= 例 2:计算 (1)32 9 ; (2)32 16- 解:(1)() 3 33223 2 2 2 933327?====; (2)() 3 32312 2 1164 464- ---==== 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 例 3: 化简(式中字母都是正数) (1)( (2)( 2323y y +- (3)(43x y ?-? 解:(1)( ((x =?=

(2 )( )( )( ( ) 2 2 23232349y y y x y -+-=-=- (3 )( 43121212x y x ?-?=-=-=- 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中()*∈>N n n ,1,n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2 、对于根式记号 (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1 ))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2 ))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 例 4: 求下列各式的值 (1) (2 ( 3 (4解:(1 )2=-; ( 22=; ( 333ππ=-=- (4 )()() 0 0x y x y x y x y x y ++≥??= =+=?--+

幂的运算例题精讲

幂的运算例题精讲 【知识方法归纳】 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ?= (m 、n 是正整数); a 可以多项式 幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()( 积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数) n n n ab a )()(= 同底数幂的除法 m m n n a a a -=(m 、n 是正整数,m >n) n m n m a a a ÷≠÷ 方法归纳 注意各运算的意义,合理选用公式 注意:零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则(重点) 同底数幂的乘法法则: +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式. (2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即m n p m n p a a a a ++??=(,,m n p 都是正整数). (3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同, 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?(,m n 都是正整数). 【典型例题】 例1:计算. (1)2 3 4 444??; (2)3 4 5 2 6 22a a a a a a ?+?-?; (3)1 1211()() ()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+ 例2:辨析:下列运算是否正确?不正确的,请改为正确的答案。 (1)x 3 ·x 5 = x 15 ( ) ; (2) b 7 + b 7 =b 14 ( ) ; (3)a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6 ( ) ; (5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ; (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( )

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算(第一课时) 一、学习目标: 1、在初中根式的基础上,理解并掌握n次根式的概念,并会应用它们进行简单的计算; 2、理解分数指数幂的意义,学会根式与分数指数幂的互化,并会利用他们之间的互化对式子进行化简。 3、了解分数指数幂的运算性质与无理指数幂是一个确定的数。 二、学习重点与难点: 重点:根式与分数指数幂的互化; 难点:利用根式与分数指数幂的互化对式子进行化简。 预习: 1、通过阅读书上49页的内容,你能回答什么是n次方根吗?一定要知道什么是根式、根指数、被开方数的概念。 2、通过上面的阅读你能知道 2, a33 分别等于什么吗?n n a 呢? a 3、能自己把书上50页的例1作出来吗? 4、阅读分数指数幂的概念,自己进行思考,并回答下列问题:

1)正分数指数幂的分母和分子分别相当于根式中的哪一部分?这个正分数能进行约分吗? 2)负分数指数幂的化简步骤是怎样的? 3)0的分数指数幂是怎样规定的? 5、做书上51、52页的例题。 6、阅读无理指数幂的内容,了解无理指数幂是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。 7、做书上54页练习。

新课: 一、关于前面预习的内容你有问题问老师吗? 二、测试一下你的预习效果好吗? 请做下面几道题: 4 3 -2 1 - 3 -3 2 81 164100 34 128 1) )()) )() 三、知识链接: 1、在初中我们学习了整数指数幂的有关知识,下面一起来回忆一下: ??? ????∈≠=≠=?????=-),0(1) 0(1*0 N n a a a a a a a a a n n a n n 43421个概念 2、整数指数幂有如下的运算性质:

人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案

2.1.1 指数与指数幂的运算(二) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点:(1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程

备选例题 例1计算 (1).)01.0(4122 5325.02 12 -?? ? ???+?? ? ??- - (1)5.121 3 2 4 1)9 1 ()6449()27()0001.0(--- +-+; 【解析】 (1)原式1122 141149100???? =+ ?- ? ????? 11111.61015 =+-= (2)原式=23 22123234 14])2 1[(])87[() 3() 1.0(---+-+ =3121)31 ()87(31.0---+-+ =7 314 2778910=+-+. 【小结】一般地,进行指数幂运算时,化负 指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748 L 个; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* =≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2 (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)3 4y x = (2))0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3227= ;(6)23)4936(= ;(7)23)4 25 (-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(] - = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264

(完整word版)幂的运算基础练习题(整理1)

幂的运算基础题小测 一.填空题(每空1分) 1.计算:(1)()=-4 2x (2)()=3 2y x (3)()()=-?34 2a a (4)()()=-÷-a a 4 2.填上适当的指数:(1)()5 4a a a =? (2)()45a a a =÷ (3) ()() 8 4 a a = (4)()() () 333 b a ab ab =÷ 3.填上适当的代数式:(1)( )843x x x = ??(2)()612 a a =÷ (3) ()()=-?-4 5 y x y x 4、若2,x a =则3x a = 若a m =2,a n =3,则a m+n = 5. 计算:(b a 2)() 3ab ?2 = 3 23221?? ? ???????? ??-z xy = 6、()() =-?3 4 2a a () [ ]5 2x --= 7、(b a 2)()3ab ?2= (a +b)2 ·(b +a)3 = (2m -n)3·(n -2m)2= ; 二.选择题(每小题2分) 1.下列各式中,正确的是( ) A .844m m m = B.25552m m m = C.933m m m = D.66y y 122y = 2. 下列各式中错误的是( ) A.() [] ()6 2 3y x y x -=- B.(22a -)4=816a C.363 227131n m n m -=?? ? ??- D.()=-3 3 ab -b a 3 6

3.下列各式(1) 523743x x x =?; (2) 933632x x x =? (3) (5x )72x = (4) (3xy)3=933y x ,其中计算正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.下列各式(1)55b b ?52b = (2) (-2a 2)2=4-4a (3) (1-n a )3=13-n a (4) 9 63 32125 6454y x y x =? ?? ??,其中计算错误的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列4个算式(1)()()-=-÷-24c c 2c (2) ()y -()246y y -=-÷(3)303z z z =÷ (4)44a a a m m =÷其中,计算错误的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.()2 1--k x 等于 ( ) A.12--k x B.22--k x C.22-k x D.12-k x 7.已知n 是大于1的自然数,则() c -1 -n () 1 +-?n c 等于 ( ) A. ()12 --n c B.nc 2- C.c -n 2 D.n c 2 8.计算()73 4x x ?的结果是 ( ) A. 12x B. 14x C. x 19 D.84x 9.下列等式正确的是 ( ) A.()53 2x x -=- B. 248x x x =÷ C.3332x x x =+ D.(xy )33xy = 10.下列运算中与44a a ?结果相同的是 ( ) A.82a a ? B.()2a 4 C.()4 4a D.()()24 2a a ?4 11.下列计算正确的是 ( ) A.52 3a a a =? B.a a a =÷33 C.()a a =3 25 D.(a 3)333a =

指数与指数幂的运算练习题

指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2,要注意以下几点: (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1) 3 4y x = (2) )0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3 227= ;(6)23)4936(= ;(7)2 3)4 25(-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(]- = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264 4.化简

第1讲 幂的运算(基础课程讲义例题练习含答案)

幂的运算(基础) 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方); 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 要点一、同底数幂的乘法性质 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、 多项式. (2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即m n p m n p a a a a ++??=(,,m n p 都是正整数). (3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数 与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?(,m n 都是正整数). 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘. 要点诠释:(1)公式的推广:(())=m n p mnp a a (0≠a ,,,m n p 均为正整数) (2)逆用公式: ()()n m mn m n a a a ==,根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形,从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方, 再把所得的幂相乘. 要点诠释:(1)公式的推广:()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). (2)逆用公式:()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其 是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 要点四、注意事项 (1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式. (2)同底数幂的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要 遗漏. (3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加. (4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. (5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁. (6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯.

高一数学指数与指数幂的运算

所有的成就在开始时都不过只是一个想法,坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。 1 第十一节 指数与指数幂的运算 学习目标 1、理解根式、分数指数幂、无理数指数幂的含义 2、会进行根式、分数指数幂、无理数指数幂的简单化简和计算 知识框架 1.根式的概念 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示. 式子n a 叫做根式(radical ),这里n 叫做根指数(radical exponent ),a 叫做被开方数(radicand ). 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 思考:n n a =a 一定成立吗? 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,?? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定:

所有的成就在开始时都不过只是一个想法,坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。 2 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 4.无理指数幂 指出:一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 随堂练习 1、化简:778888)()(b a b a b -+++ 2、若,310,210==n m 则._____2 310=-n m 3、.______)3()3(22=? 4、.________39623223=?+?-- 5、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________ 6、设,21=+-x x 则._________22=+-x x 7、._______2222824=???

七年级数学8.1幂的运算讲解与例题

8.1 幂的运算 1.了解幂的运算性质,会利用幂的运算性质进行计算. 2.通过幂的运算性质的形成和应用,养成观察、归纳、猜想、论证的能力,提高计算和口算的能力. 3.了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律,体验和学习研究问题的方法,培养思维严谨性,做到步步有据,正确熟练,养成良好的学习习惯. 1.同底数幂的乘法 (1)同底数幂的意义 “同底数幂”顾名思义,是指底数相同的幂.如32与35,(-5)2与(-5)6,(a+b)4与(a+b)3等表示的都是同底数的幂. (2)幂的运算性质1 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 用字母可以表示为:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数). (3)性质的推广运用 当三个或三个以上的同底数幂相乘时,也具有这一性质,如:a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p是正整数). (4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时,应注意以下几点: ①幂的底数a可以是任意的有理数,也可以是单项式或多项式;底数是和、差或其他形式的幂相乘,应把这些和或差看作一个“整体”. ②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式,若底数不同,则不能使用;注意:-a n 与(-a)n不是同底数的幂,不能直接用性质. ③不要忽视指数是1的因数或因式. 【例1-1】(1)计算x3·x2的结果是______; (2)a4·(-a3)·(-a)3=__________. 解析:(1)题中的底数都是x,是两个同底数幂相乘的运算式子,只需运用同底数幂相乘的性质进行运算,即x3·x2=x3+2=x5;(2)应先把底数分别是a,-a的幂化成同底数的幂,才能应用同底数幂的乘法性质,原式=a4·(-a3)·(-a3)=a4·a3·a3=a4+3+3=a10. 答案:(1)x5(2)a10 正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论.例如同底数幂的乘法,条件是底数相同,且运算是乘法运算,结论是底数不变,指数相加. 【例1-2】计算: (1)(x+y)2·(x+y)3; (2)(a-2b)2·(2b-a)3. 分析:(1)把(x+y)看作底数,可根据同底数幂的乘法性质来解;(2)题中(a-2b)2可转化为(2b-a)2,或者把(2b-a)3转化为-(a-2b)3,就是两个同底数的幂相乘了.解:(1)原式=(x+y)2+3=(x+y)5;

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